Lineare Algebra und Analytische Geometrie

Baumeister: Lineare Algebra I / Stand: August 1996 115SeiHier istA :=⎛⎜⎝⎛⎜A − λE = ⎝2 0 00 0 10 −1 0⎞2 − λ 0 00 −λ 10 −1 −λ⎟⎠ ∈ IR 3,3 .⎞⎟⎠ ∈ IR 3,3 .Da der Rang von A−λE drei ist für λ =0, ist λ = 0 schon mal auszuschließen. Elimination,angewendet auf A − λE führt auf⎛⎜⎝⎞2 − λ 0 0⎟0 −λ 10 −1 −λ − λ −1⎠ ∈ IR 3,3 .Da die Gleichung λ 2 +1=0keineLösung besitzt, bleibt nur noch λ = 2 als Eigenwert.Dazu ist⎛ ⎞1⎜ ⎟x := ⎝ 0 ⎠0ein Eigenvektor. 2Lemma 5.7Sei X ein IK –Vektorraum und sei L : X −→ X ein Endomorphismus. Sindλ 1 ,...,λ r ∈ IK paarweise verschiedene Eigenwerte mit zugehörigen Eigenvektorenx 1 ,...,x r ∈ X, dann sind x 1 ,...,x r linear unabhängig.Beweis:Vollständige Induktion nach r.Ist r =1, so ist x 1 linear uanabhängig, da x 1 ≠ θ ist.Sei die Behauptung nun für r − 1 richtig. Seir∑a i x i = θ. (5.1)i=1Wenden wir L auf diese Linearkombination an, so entstehtr∑a i λ i x i = θ. (5.2)i=1Multipliziert man (5.1) mit λ r und subtrahiert die so erhaltenen Gleichung von (5.2),erhält manr−1 ∑a i (λ i − λ r )x i = θ.i=1Also folgt nun aus der Induktionsvoraussetzunga i (λ i − λ r )=0, also a i =0, 1 ≤ i ≤ r − 1 .