Lineare Algebra und Analytische Geometrie

Baumeister: Lineare Algebra I / Stand: August 1996 114ist. Also ist A diagonalisierbar. Beachte, daß die Matrix A als Diagonalmatrix vorliegt.2Die Bezeichnung “diagonalisierbar“ wird später erst klarer werden. Einige Arbeit werdenwir in die Problemstellung investieren, Basen zu finden, zu denen eine Matrixdarstellungvon oberer Dreiecksgestalt gehört.Das folgende Beispiel erläutert die Bezeichnung und macht klar, daß Diagonalisierbarkeitnicht immer errreichbar ist.Beispiel 5.5Sei X = IR 2 und sei der Endomorphismus L gegeben durch die Matrix( )0 −1A :=.1 0Diese Abbildung beschreibt offenbar eine Drehung der “Ebene“ IR 2 um den Winkel π/2 .Dieser Endomorphismus besitzt keine Eigenwerte, und damit definitionsgemäß auch keineEigenvektoren. Da eine Drehung um π/2 vorliegt, überrascht dies auch nicht, denn Eigenvektorenwerden durch die Anwendung des Endomorphismus ja nur “gestreckt“. Daßin der Tat keine Eigenwerte existieren, verifiziert man so:Aus Ax = λx folgt −x 2 = λx 1 ,x 1 = λx 2 , also, falls etwa x 2 ≠0, −x 2 = λ 2 x 2 ,d.h.λ 2 +1 = 0. Da diese Gleichung in IR nicht lösbar ist, kann auch kein Eigenwert existieren.Betrachtet man den obigen Endomorphismus bzgl. des Skalarkörpers ′C ,dannändert sichdie Situation vollständig, es existiert nun in ′C 2,1 sogar eine Basis aus Eigenvektoren,nämlich:u := ie 1 + e 2 ist Eigenvektor zum Eigenwert λ = i,v := e 1 + ie 2 ist Eigenvektor zum Eigenwert λ = −i.Der Endomorphismus L ist also diagonalisierbar. Man rechnet nach, daß es eine MatrixS ∈ ′C 2,2 gibt mit S −1 AS = D, wobei D eine Diagonalmatrix ist; S := (u|v) leistetnämlich das gewünschte. 2Die Frage nach der Existenz von Eigenwerten führt auf das Gleichungssystem(A − λE)x = θ ;gesucht ist eine nichttriviale Lösung dieses Gleichungssystems. Bringt man dieses Gleichungssystemmit Hilfe der Gaußschen Elimination auf obere Dreiecksgestalt, so ist zuerwarten, daß sich eine Bedingung an λ ergibt, die hinreichend dafür ist, daß sich einenichttriviale Lösung finden läßt. Da sich die Divisionen mit Pivotelementen bei denUmformungsschritten nachträglich durch Multiplikation mit dem Hauptnenner wieder“beseitigen“ lassen, ist zu erwarten, daß diese hinreichende Bedingung eine polynomialeGleichung in λ ist; der Grad kann höchstens n sein, da maximal n−1Einträge zu eliminierensind. Später wird uns diese Gleichung als Nullstellengleichung für das charakteristischePolynom wieder begegnen.Beispiel 5.6