Lineare Algebra und Analytische Geometrie

Baumeister: Lineare Algebra I / Stand: August 1996 113(b) =⇒ (a) :Man lese die obige Argumentation rückwärts.Definition 5.2Sei X ein IK –Vektorraum und sei L : X −→ X ein Endomorphismus.Ein Skalar λ ∈ IK heißt Eigenwert von L genau dann, wenn es einen Vektorx ∈ X\{θ}, genannt Eigenvektor, gibt mit L(x) =λx .2Der allgemeine Begriff des Eigenwerts eines Endomorphismus tauchte im achtzehnten Jahrhundertauf, und zwar nicht im Zusammenhang mit linearen Abbildungen, sondern in der Theorie derlinearen Differentialgleichungen. Hierin kann man eine wesentliche Anwendung für die folgendenÜberlegungen zu einer Normalform einer Matrixdarstellung sehen. Die Zusammenfassung allerEigenwerte einer linearen Abbildung mündete später bei F. Riesz (1880 – 1956) in den Begriff desSpektrums.Das Lemma 5.1 sagt uns, welche Basis wir wählen sollten, damit die Matrixdarstellungeines Endomorphismus besonders einfach wird, nämlich eine Basis aus lauter Eigenvektoren.Endomorphismen, für die eine solche Wahl möglich ist, sind ausgezeichnet underhalten einen Namen.Definition 5.3Sei X ein IK –Vektorraum. Ein Endomorphismus L : X −→ X heißt diagonalisierbaroder halbeinfach genau dann, wenn es in X eine Basis gibt, die ausEigenvektoren von L besteht.2Beispiel 5.4Sei IK Körper, X := IK 2 und sei der Endomorphismus L gegeben durch die MatrixA :=(1 00 −1Diese Abbildung beschreibt offenbar eine Spiegelung der “Ebene“ IK 2 an der e 1 –Achse.Man verifiziert leicht, daße 1 Eigenvektor zum Eigenwert λ =1(Auf L({e 1 })istA die Identität!)).unde 2 Eigenvektor zum Eigenwert λ = −1(Auf L({e 2 })ist − A die Identität!)