Lineare Algebra und Analytische Geometrie

Baumeister: Lineare Algebra I / Stand: August 1996 111Satz 4.73Seien X, Y endlichdimensionale IK –Vektorräume, sei L : X −→ Y linear. Betrachtedie folgenden vier Gleichungen:(1) L(x) =y (3) L(x) =θ(2) L ′ (λ) =µ (4) L ′ (λ) =θDamit gilt:Entweder sind beide Gleichungen (1), (2) lösbar für alle λ, µ, und in diesem Fallesind sie eindeutig lösbar, oder die Gleichungen (3), (4) haben diesselbe Anzahl vonlinear unabhängigen Lösungen x 1 ,...,x l und λ 1 ,...,λ l , und in diesem Falle ist (1)(bzw. (2)) lösbar genau dann, wenn = ···=< λ l ,y >=0(bzw. =···=< µ,x l >=0)gilt.Beweis:Lösbarkeit von (1), (2) für alle λ, µ bedeutet, daß Bild(L) =Y,Bild(L ′ )=X ′ , d.h. daßKern(L ′ ) a = Y,Kern(L ′ ) a = X ′ ist; also Kern(L ′ )={θ}, Kern(L) ={θ}.Ist Kern(L) ≠ {θ}, dann ist dim Kern(L ′ )=dimKern(L ′ ) und y ∈ Bild(L) genau dann,wenn y ∈ Kern(L ′ ) a ist, d.h. wenn = ··· =< λ l ,y >= 0 gilt. Entsprechenderhält man µ ∈ Bild(L ′ ) genau dann, wenn = ···=< µ,x l >= 0 gilt.Im Abschnitt über Euklidische Vektorräume werden wir auf obigen Satz zurückkommen.Die Fredholm–Alternative (Fredholm, I., 1866 – 1927, Schwede) in unendlichdimensionalen Räumenist von überragender Bedeutung in der Theorie der linearen Integralgleichungen. Die lineareAbbildung kommt hier als kompakte Störung der Identität daher. Der besondere Wert liegt darin,daß aus der Injektivität einer Abbildung (Eindeutigkeit) auf Surjektivität (Existenz) geschlossenwerden kann. Mit Integralgleichungen können u.a. Randwertaufgaben äquivalent beschrieben werden.