Lineare Algebra und Analytische Geometrie

Baumeister: Lineare Algebra I / Stand: August 1996 107also j X (u) ∈ (U a ) a ,d.h.u ∈ W. Damit wissen wir, daß U ⊂ W gilt. Ausdim IK U +dim IK U a =dim IK X =dim IK X ′ =dim IK U a +dim IK (U a ) a ,(siehe 4.61) folgt dim IK U =dim IK (U a ) a =dim IK W, also U = W.Folgerung 4.63Sei X ein endlichdimensionaler IK –Vektorraum, x 0 ∈ X und sei U ein linearerTeilraum von X. Sei l := dim IK U a und sei λ 1 ,...,λ l ∈ X ′ eine Basis von U a .Damit sind für x ∈ X äquivalent sind:(a) =< λ i ,x 0 >, i=1(1)l.(b) x ∈ x 0 + U.Beweis:Es gilt offenbar für x ∈ X :x − x 0 ∈ U ⇐⇒ =0,i=1(1)l,⇐⇒ =0,i=1(1)l.Definition 4.64Eine Teilmenge A von X heißt affiner Teilraum (der Dimension r), wenn esx 0 ∈ X und einen linearen Teilraum (der Dimension r) gibt mit A = x 0 + U.2Nun ist wegen Folgerung 4.63 klar, daß jeder affine Teilraum als Lösungsraum eines linearenGleichungssystem auftritt; die Umkehrung kennen wir schon aus Satz 4.44. Beachtehierzu Bemerkung 4.56. Mehr noch, wir können nun ganz einfach den noch ausstehendenBeweis von Satz 2.22 führen. Dieser Satz über Ebenen lautet:Satz 4.65Sei IK ein Körper und sei E⊂IK 3 , E≠ ∅. Dann sind äquivalent:(a) E ist Ebene.(b) Es gibt a ∈ IK 3 ,a≠ θ, und b ∈ IK mitE = {(x 1 ,x 2 ,x 3 ) ∈ IK 3 |a 1 x 1 + a 2 x 2 + a 3 x 3 = b} .Beweis:Zu (a) =⇒ (b).Ist E eine Ebene, dann ist E ein affiner Teilraum der Dimension 2, da der Richtungsraum