Lineare Algebra und Analytische Geometrie

Baumeister: Lineare Algebra I / Stand: August 1996 105Koordinatenabbildungen k X : X −→ IK n ,k X ′ : X ′ −→ IK n erhalten wir nun fürλ ∈ X ′ ,x∈ X : =n∑< λ i ,x>i=1=n∑k X ′(λ) i k X (x) ii=1= k X ′(λ) t k X (x) .Auf diese Weise können wir dann eine Gleichung= b (λ ∈ X ′ ,x∈ X,b∈ IK )mit einer Gleichunga t x = b (a ∈ IK n ,x∈ IK n )identifizieren; siehe Beispiel 4.55. Damit ist die Brücke zu den Gleichungssystemen geschlagen.2Satz 4.57Sei X ein IK –Vektorraum. Dann gilt:(a) Für jedes x ∈ X ist die Abbildungein Element von (X ′ ) ′ .(b) Die Abbildungg x : X ′ ∋ λ ↦−→ g x (λ) :=∈ IKj X : X ∋ x ↦−→ g x ∈ (X ′ ) ′ist injektiv und ein Element von Hom IK (X, (X ′ ) ′ ) .Beweis:Zu (a): Trivial.Zu (b): Für alle x, y ∈ X, a, b ∈ IK giltj X (ax + by)(λ) == a+b für alle λ ∈ X ′ ,d.h. j X (ax + by) =aj X (x)+bj X (y) . Damit ist die Linearität von j X klar. Die Injektivitätfolgt aus Folgerung 4.54.Definition 4.58Sei X ein IK –Vektorraum. Der IK –Vektorraum (X ′ ) ′ heißt Bidualraum zu X undwir schreiben dafür X ′′ .2