Lineare Algebra und Analytische Geometrie

Baumeister: Lineare Algebra I / Stand: August 1996 4Das Symbol “ :=“ haben wir als definierendes Gleichsetzen von Mengen eingeführt.Die Nützlichkeit der leeren Menge ∅ wird deutlich bei der Definition des Durchschnitts.Hier ist ja der Fall, daß A ∩ B kein Element enthält, sicherlich nicht auszuschließen.Nun ist es nützlich, einige abkürzende Rechenregeln zur Hand zu haben.Rechenregeln: Seien A, B, C Mengen.(R1) A ⊂ B,B ⊂ C =⇒ A ⊂ C(R2) A ∪ (B ∪ C) =(A ∪ B) ∪ C(R3) A ∩ (B ∩ C) =(A ∩ B) ∩ C(R4) A ∪ B = B ∪ A(R5) A ∩ B = B ∩ A(R6) A ∩ (B ∪ C) =(A ∩ B) ∪ (A ∩ C)(R7) A ∪ (B ∩ C) =(A ∪ B) ∩ (A ∪ C)(Transitivität)(Assoziativgesetz)(Assoziativgesetz)(Kommutativgesetz)(Kommutativgesetz)(Distributivgesetz)(Distributivgesetz)Beweis von (R6):Wir haben zu zeigen: A ∩ (B ∪ C) ⊂ (A ∩ B) ∪ (A ∩ C), (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) ⊂ A ∩ (B ∪ C) .Sei x ∈ A ∩(B ∪C). Dann gilt: x ∈ A, x ∈ B ∪C.Daraus folgt: x ∈ A ∩B oder x ∈ A ∩C,je nachdem, ob x ∈ B und/oder x ∈ C. Daraus schließen wir: x ∈ (A ∩ B) ⊂ (A ∩ C).Für den Beweis der anderen Inklusion lese man die eben vorgeführten Beweisschritterückwärts.Ein wichtiges Konstruktionsverfahren für Mengen ist die Produktbildung:Definition 1.2Seien A, B Mengen.(a) Sind a ∈ A, b ∈ B, so heißt (a, b) das zugeordnete geordnete Paar (bezogenauf die Reihenfolge “zuerst A, dann B“).(b) Zwei Paare (a, b), (a ′ ,b ′ ) mit a, a ′ ∈ A, b, b ′ ∈ B, heißen gleich genau dann,wenn a = a ′ ,b= b ′ .(c) Die Menge A × B := {(a, b)|a ∈ A, b ∈ B} heißt das kartesische Produktvon A, B.2Wir haben folgende Rechenregeln: Seien A, B, C Mengen:(R8) A × (B ∪ C) =(A × B) ∪ (A × C) .(R9) A × (B ∩ C) =(A × B) ∩ (A × C) .