Lineare Algebra und Analytische Geometrie

Baumeister: Lineare Algebra I / Stand: August 1996 102Das vorliegende Gleichungssystem (4.10)Ax = b, d.h. LUx = b,läßt sich dann zweistufig durch Vorwärts– und Rückwärtssubstitution lösen:Ly = b, Ux= y,In der numerischen Mathematik beschäftigt man sich mit Stabilitäts– und Speicherfragen.Soviel sei hier gesagt: U benötigt die obere Hälfte einer n × n – Matrix, die untere Hälfteohne Diagonale kann L aufnehmen, da wir sowieso wissen, daß in der Diagonalen von Llauter Einsen stehen (Beweis!).4.6 Linearformen und DualraumDefinition 4.50Sei X ein IK –Vektorraum.Der IK –Vektorraum X ′ := Hom IK (X, IK ):={L : X −→ IK |L IK −linear} heißt(algebraischer) Dualraum von X. Jedes Element λ ∈ X ′ heißt eine Linearformoder lineares Funktional auf X.2Beispiel 4.51Sei IK ein Körper. Die Abbildungn∑n∑δ t0 : IK [x] ∋ p = a i x i ↦−→ a i t i 0 ∈ IK (t 0 ∈ IK )i=0i=0ist eine Linearform auf IK [x] , d.h. δ t0 ∈ IK [x] ′ . 2Sei X ein IK –Vektorraum.Die Anwendung eines Elements λ ∈ X ′ auf ein Element x ∈ X schreiben wir allgemeinerGewohnheit folgend anders wie wir es bei (gewöhnlichen) Abbildungen sonst tun:Wir haben damit eine Abbildung:= λ(x) .< ·, · >: X ′ × X ∋ (λ, x) ↦−→ ∈ IK ,die in beiden Argumenten offenbar IK –linear ist. Wir nennen diese Abbildung die kanonischePaarabbildung.