Lineare Algebra und Analytische Geometrie

Baumeister: Lineare Algebra I / Stand: August 1996 101• Multiplikation einer Matrix A ∈ IK m,n von links mit P kl ∈ IK m,m bedeutet, die l–teZeile von A mit der k–ten Zeile von A zu vertauschen.• Multiplikation einer Matrix A ∈ IK m,n von rechts mit P kl ∈ IK n,n bedeutet, die k–teSpalte von A mit der l–ten Spalte von A zu vertauschen.Damit sind alle elementaren Umformungen, die das Gaußsche Eliminationsverfahren ausmachen,durch Matrixmultiplikation unter Verwendung der Matrizen E kl (a),P kl , 1 ≤k, l ≤ r, k≠ l, beschrieben.Es gilt:• E kl (a)E kl (b) =E kl (a + b) , 1 ≤ k, l ≤ r, k≠ l.• E kl (a) ∈ GL r (IK ) und E kl (a) −1 = E kl (−a) , 1 ≤ k, l ≤ r, k≠ l.• P kl ∈ GL r (IK ) ,P −1kl = P kl , 1 ≤ k, l ≤ r.Da also die bei elementaren Umformungen benötigten E kl (a),P kl invertierbar sind, sehenwir erneut, daß elementare Umformungen der Rang einer Matrix nicht verändern.Ist ( )( ) ( )B C x1 c=Θ Θ x 2 ddie Endform des Gaußschen Eliminationsverfahrens, angewendet auf das Gleichungssystem(4.10), so können wir die Rechenschritte als Berechnungsverfahren für eine LU–Zerlegung einer permutierten Matrix interpretieren. Die Matrix( )B CΘΘensteht nämlich als( )B CG s P s ···G 1 P 1 AΠ 1 ···Π s =(4.11)Θ Θwobei G 1 ,...,G s Gaußmatrizen und P 1 ,...,P s , Π 1 ,...,Π s Permutations– oder Einheitsmatrizensind.Definition 4.49Sei A ∈ IK m,n .DannheißtA = LU eine LU–Zerlegung von A, wenn U, L t Matrizenvon oberer Dreiecksgestalt sind.2Aus (4.11) liest man die LU–Zerlegung von A ab, falls keine Zeilen– und Spaltenvertauschungenbenötigt werden:( )B CA = LU mit L =(G s ···G 1 ) −1 ,U =.Θ ΘMansiehtsofort,daßinderTateineLU–Zerlegung vorliegt.