Lineare Algebra und Analytische Geometrie

Baumeister: Lineare Algebra I / Stand: August 1996 100bzgl. der Addition (Beachte A +(−A) =Θ für alle A ∈ IK n,n ). Die Multiplikation istgemeint!Satz 4.47GL n (IK ) ist eine Gruppe bzgl. der Matrixmultiplikation; Einselement ist die EinheitsmatrixE.Beweis:Wir haben in Folgerung 4.27 schon notiert: (AB) −1 = B −1 A −1 . Also ist GL n (IK )abgeschlossenbzgl. der Multiplikation. Alle anderen Bedingungen sind einfach zu verifizieren.Beispiel 4.48Sei A := (a ij ) i=1(1)n , j =1(1)n∈ IK n,n .Agehört zu GL n (IK ),• falls A reguläre Matrix von oberer Dreiecksgestalt ist;• falls A = B t und B reguläre Matrix von oberer Dreiecksgestalt ist;• falls n = 2 und ∆ := a 11 a 22 − a 12 a 21 ≠ 0 ist, denn:Wir wissen aus Abschnitt 2.1, daß bei ∆ ≠ 0 das GleichungssystemAx = beindeutig für alle b ∈ IK 2,1 lösbar ist. Also ist Kern(A) ={θ} und A ist in GL 2 (IK ).Betrachte die Elementarmatrizenund damit die GaußmatrizenMan sieht:E kl := (δ ik δ lj ) i=1(1)r , j =1(1)r∈ IK r,r , 1 ≤ k, l ≤ r,E kl (a) :=E + aE kl , 1 ≤ k, l ≤ r, a∈ IK .• Multiplikation einer Matrix A ∈ IK m,n von links mit E kl (a) ∈ IK m,m bedeutet, dasa–fache der l–ten Zeile von A zur k–ten Zeile von A zu addieren.• Multiplikation einer Matrix A ∈ IK m,n von rechts mit E kl (a) ∈ IK n,n bedeutet, dasa–fache der k–ten Spalte von A zur l–ten Spalte von A zu addieren.Damit sind die elementaren Zeilenumformungen als Matrixmultiplikation beschrieben.Zeilen– und Spaltenvertauschungen lassen sich ebenfalls als Matrixmultiplikation verstehen:SeienP kl := E + E kl + E lk − E kk − E ll , 1 ≤ k, l ≤ r.Es gilt: