Lineare Algebra und Analytische Geometrie

Baumeister: Lineare Algebra I / Stand: August 1996 99wobei⎛2 n ⎞⎛1 z 0 z 0 ··· z 0 2 n1 z 1 z 1 ··· z 1 A(z 0 ,...,z n ):=⎜⎟⎝ ..∈ IK n+1,n+1 ,a:=⎜⎠ ⎝2 n1 z n z n ··· z n⎞a 0a 1⎟.a n⎠ ∈ IK n+1,1 ,ist. Dieses Gleichungssystem besitzt nur die triviale Lösung, da wir zeigen können:rg(A(z 0 ,...,z n )) = n +1.Der Beweis dazu geht so:Wir wenden elementare Umformungen auf A(z 0 ,...,z n )an.Für k =(n+1)(−1)1 subtrahieredas z 0 – fache der (k − 1)–ten Spalte von der k–ten Spalte. Dies ergibt eine MatrixA ′ ,diee 1 als erste Zeile undals i–te (i >1) Zeile hat. Dann ist(1,z i − z 0 ,z i 2 − z 0 z i ,...,z i n − z 0 z i n−1 )rg(A(z 0 ,...,z n )) = rg z (A(z 0 ,...,z n )) = rg z (A ′ )=rg s (A ′ )=1+rg s (B) =1+rg(B) ,wobei( )1 θA ′ =mit b ∈ IKb Bn,1ist. Der Rang ändert sich nicht, wenn wir die i–te Zeile von B mit (z i −z 0 ) −1 multiplizieren;1 ≤ i ≤ n. Dann entsteht aus B die Matrix A(z 1 ,...,z n ) ∈ IK n,n . Induktiv erhalten wiralsorg(A(z 0 ,...,z n )) = 1 + rg(A(z 1 ,...,z n )) = n +1.Wir können aus Beispiel 3.38 ableiten, daß der Identitätssatz in endlichen Körpern nichtgilt.4.5 Die allgemeine lineare GruppeDefinition 4.46Die MengeGL n (IK ):={A ∈ IK n,n |A invertierbar}heißt die allgemeine lineare Gruppe (general linear group).2Die Definition unterstellt, daß GL n (IK )eineGruppeist.WelcheVerknüpfung ist gemeint?Die Addition von Matrizen kann nicht gemeint sein, denn GL n (IK ) ist nicht abgeschlossen