Lineare Algebra und Analytische Geometrie

Baumeister: Lineare Algebra I / Stand: August 1996 96Folgerung 4.40Sei A ∈ IK m,n . Dann ist rg(A) =rg(A t ) .Beweis:Folgt aus der Tatsache, daß rg(A t )=rg s (A t )=rg z (A) =rg(A) .Die Aussage aus Satz 4.31 kann man als Äquivalenzrelation begreifen, denn in der Tatwird auf IK m,n durchA ∼ B : ⇐⇒ Es existieren invertierbare Matrizen T,S mit A = TBS −1eine Äquivalenzrelation definiert. Dies halten wir fest inDefinition 4.41Zwei Matrizen A, B ∈ IK m,n heißen äquivalent – wir schreiben dafür “∼“ – genaudann, wenn es invertierbare Matrizen T ∈ IK m,m und S ∈ IK n,n gibt mit A =TBS −1 .2Nun kann ein Hauptergebnis dieses Abschnitts bewiesen werden.Satz 4.42Seien A, B ∈ IK m,n . Dann sind äquivalent:(a) A ∼ B.(b) rg(A) =rg(B) .( )Er Θ(c) A, B ∼für ein r ∈ INΘ Θ0 .Beweis:Zu (a) =⇒ (b). Siehe Lemma 4.37 mit Satz 4.39.(Er ΘZu (b) =⇒ (c). Nach Lemma 4.38 und Satz 4.31 sind A, B äquivalent zuΘ ΘZu (c) =⇒ (a). Aus der Transitivität von “∼“ folgt A ∼ B.).Der Satz 4.42 besagt, daß der Rang eine Invariante (Unveränderliche) von Matrizen bzgl.der Äquivalenz ist. Für jede Äquivalenzklasse haben wir eine Normalform wie in (4.8)angegeben. Die Bemerkung 4.33 führt uns bei quadratischen Matrizen zu einer weiterenÄquivalenzrelation, nämlich zu der der Ähnlichkeit.Definition 4.43Zwei Matrizen A, B ∈ IK n,n heißen ähnlich genau dann, wenn es eine invertierbareMatrix T ∈ IK n,n gibt mit A = TBT −1 .2Das Klassifikationsproblem, d.h. die Charakterisierung der Äquivalenzklassen bzgl. Ähnlichkeitdurch eine Invariante ist schwieriger als bei der Äquivalenz. Wir kommen späterzu diesem Problem zurück.