Lineare Algebra und Analytische Geometrie

Baumeister: Lineare Algebra I / Stand: August 1996 95Lemma 4.38Seien X, Y endlichdimensionale IK –Vektorräume und sei L : X −→ Y eine IK –lineare Abbildung. Dann gibt es Basen Φ X , Φ Y in X bzw. Y , sodaß die Matrixdarstellungvon L bzgl. dieser Basen folgende Form hat:( )Er ΘA =. (4.8)Θ ΘDabei ist E r eine Einheitsmatrix in IK r,r und r ist der Rang von A und L.Beweis:Wir wissen: r := rg(L) =dim IK Bild(L).Sei Φ Y := {y 1 ,...,y r ,y r+1 ,...,y m } eine Basis von Y, wobei {y 1 ,...,y r } eine Basis vonBild(L) ist.Wir wissen wegendef(L)+rg(L) =dim IK X =: n,daß dim IK Kern(L) =n − r ist. Sei {x r+1 ,...,x n } eine Basis von Kern(L) . Sei W eindirekter Summand von Kern(L), also X = Kern(L) ⊕ W.Dann ist r =dim IK W undT := L |W ist ein Isomorphismus von W nach Bild(L) . Seien x i := T −1 (y i ) , 1 ≤ i ≤ r.Dann ist Φ X := {x 1 ,...,x r ,x r+1 ,...,x n } also eine Basis von X, wobei {x r+1 ,...,x n } eineBasis von Kern(L) ist und L(x i )=y i ,i=1(1)r, gilt.Bzgl. dieser Basis hat L offenbar eine Darstellung in der gewünschten Form.Satz 4.39Sei A ∈ IK m,n . Es gilt:rg(A) =rg s (A) =rg z (A) .Beweis:Sei r := rg(A) und sei L := T A : IK n,1 ∋ a ↦−→ Aa∈ IK m,1 .Aist die Matrixdarstellungvon L bzgl. der Standardbasis in IK n,1 und IK m,1 . Nach Lemma 4.38 gibt es Basen inX := IK n,1 ,Y := IK m,1 ,sodaßL bzgl. dieser Basen eine Matrixdarstellung( )A ′ Er Θ=Θ Θhat. Nun liest man ab:rg(L) =rg(A ′ )=rg s (A ′ )=rg z (A ′ )=r.Nach Satz 4.31 gibt es invertierbare Matrizen T,S derart, daßA ′ = TAS −1 (4.9)ist. Da aber A ′ und A nach Lemma 4.37 gleichen Spalten– und Zeilenrang besitzen, istder Satz bewiesen.