Lineare Algebra und Analytische Geometrie

Baumeister: Lineare Algebra I / Stand: August 1996 94Nützlich im Zusammenhang mit Spalten– und Zeilenrang ist die Einführung der transponiertenMatrix. In der Theorie der Linearformen und der euklidischen Vektorräumebekommt diese Begriffsbildung eine tiefere Bedeutung.Definition 4.36Sei A := (a ij ) i=1(1)m , j =1(1)n∈ IK m,n . Die MatrixA t := (a ji ) j =1(1)n , i=1(1)m∈ IK n,mheißt die zu A transponierte Matrix.2Sofort klar ist für A ∈ IK m,n neben der Tatsache, daß stetsrg(A) ≤ min{m, n} , rg s (A) ≤ n, rg z (A) ≤ m,gilt, auchrg s (A) =rg z (A t ) , rg z (A) =rg s (A t ) . (4.7)Lemma 4.37Sei A ∈ IK m,n . Dann gilt:(a) rg s (A) =rg(A) .(b) rg s (A) =rg s (TAS) , rg z (A) =rg z (TAS) , falls T ∈ IK m,m ,S ∈ IK n,n invertierbarsind.Beweis:Zu (a).Da rg(A) =dim IK Bild(A) gilt und die Spalten von A ein Erzeugendensystem von Bild(A)sind, ist die Behauptung klar.Zu (b).Klar ist, daß def (AS) =def (A) gilt, da S invertierbar ist. Also ist rg(AS) =rg(A) nachder Dimensionsformel. Daraus folgt mit (a) nunrg s (A) =rg s (AS). Entsprechend beweistman rg s (A) =rg s (TA). AlsoSchließlich haben wirrg s (A) =rg s (TA)=rg s (TAS).rg z (A) =rg s (A t )=rg s (S t A t T t )=rg s ((TAS) t )=rg z (TAS).Beachte, daß mit T,S auch T t ,S t invertierbar sind.Bevor wir zum Beweis des Hauptergebnisses dieses Abschnitts (“Spaltenrang = Zeilenrang“)kommen, benötigen wir noch eine “Normalform“ einer Darstellung von IK –linearenAbbildungen.