Lineare Algebra und Analytische Geometrie

Baumeister: Lineare Algebra I / Stand: August 1996 93Betrachte die Sequenz{X, Φ ′ X}id X−→ {X, Φ X }L−→ {Y,Φ Y }id Y−→ {Y,Φ ′ Y }wobei vermerkt ist, welche Basis jeweils gewählt ist. Nach Folgerung 4.28 gibt es invertierbareMatrizen S, T die{X, Φ X }id X−→ {X, Φ ′ X } bzw. {Y,Φ Y }id Y−→ {Y,Φ ′ Y }darstellen. Daraus lesen wir mit Satz 4.24 unter Verwendung von Folgerung 4.28 ab, daßTAS −1 die Abbildung{X, Φ ′ LX} −→ {Y,Φ ′ Y }darstellt.Bemerkung 4.32Die Darstellung A ′ = TAS −1 und nicht A ′ = TA˜S mit einer invertierbaren Matrix ˜S istKonvention. Sie ist allerdings durch die Sequenz im Beweis zu Satz 4.31 nahegelegt, dennS ist die Übergangsmatrix von Φ X nach Φ ′ X und T ist die Übergangsmatrix von Φ Y nachΦ ′ Y . 2Bemerkung 4.33Liegt ein Endomorphismus vor, so lautet (4.6)A ′ := SAS −1 ,falls man in Satz 4.31 mit X = Y die Gleichheit Φ X =Φ Y , Φ ′ X =Φ′ Y hat. 2Bemerkung 4.34Jede Matrix A ∈ IK m,n kommt als Matrixdarstellung einer linearen Abbildung vor. Manhat dazu nur die lineare Abbildung L := T A : IK m,1 ∋ a ↦−→ Aa ∈ IK n,1 und ihreMatrixdarstellung bezüglich der Standardbasis zu betrachten. Dann gilt offenbar A = A L .2Definition 4.35Sei A ∈ IK m,n und sei dazu T A : IK n,1 a ∋↦−→ Aa∈ IK m,1 .(a) Bild(A) :=Bild(T A ) , rg(A) :=rg(T A ) .(b) Kern(A) :=Kern(T A ) , def (A) :=def (T A ) .(c) rg s (A) := Maximale Anzahl linear unabhängiger Spalten in A.(d) rg z (A) := Maximale Anzahl linear unabhängiger Zeilen in A.rg(A) heißt Rang von A, rg s (A) heißt Spaltenrang von A und rg z (A) heißt Zeilenrangvon A.2