formel.pdf

Fakultät Maschinenwesen 

Technische Mechanik 

Formelsammlung 

Institut für Festkörpermechanik 

Version: Oktober 2006

Nachfolgend wird von den Bilanzgleichungen der 

Kontinuumsmechanik: 

• Massenerhaltung 

• Impulserhaltung 

• Drehimpulserhaltung 

• Energieerhaltung 

- ohne zusätzlichen Hinweis darauf - Gebrauch gemacht.

Formelsammlung Technische Mechanik i 

Inhaltsverzeichnis 

Statik 

Ebene Statik ......................................................................................... 1 

Lasten (Kräfte und Momente)...................................................... 1 

Lager- und Gelenkreaktionen (Beispiele).................................... 3 

Schnittgrößen beim Balken ......................................................... 4 

Räumliche Probleme ............................................................................ 4 

Lasten (Kräfte und Momente)...................................................... 4 

Lager- und Gelenkreaktionen (Beispiele)................................... 6 

Schnittgrößen beim Balken ......................................................... 7 

Reibung ................................................................................................ 7 

Festigkeitslehre 

Grundlagen…………………………………………………………………..8 

Spannungen................................................................................ 8 

Verzerrungen ............................................................................ 10 

HOOKEsches Gesetz................................................................ 11 

Zulässige Spannungen.............................................................. 13 

Vergleichsspannungen.............................................................. 14 

Linientragwerke .................................................................................. 16 

Zug (Druck) ............................................................................... 16 

Biegung ..................................................................................... 16 

Reine Torsion............................................................................ 18 

Querkraftschub.......................................................................... 19 

Federn....................................................................................... 20 

Satz von CASTIGLIANO ........................................................... 21 

Stabilitätsproblem Knicken........................................................ 21 

Flächentragwerke............................................................................... 22 

Rotationsschalen....................................................................... 22 

Kreis- und Kreisringscheiben ................................................... 23 

Kreis- und Kreisringplatten ........................................................ 24

ii Formelsammlung Technische Mechanik 

Kinematik 

Kinematik des Punktes.............................................................. 27 

Kinematik des starren Körpers .................................................. 28 

Kinetik starrer Körper 

Translation ................................................................................ 30 

Beliebige Bewegung.................................................................. 31 

Bewegung in der x,y-Ebene ...................................................... 33 

Gerader zentrischer Stoß.......................................................... 35 

LAGRANGEsche Gleichungen 2. Art........................................ 35 

Schwingungen mit dem Freiheitsgrad 1 ................................... 36 

Schwingungen mit einem Freiheitsgrad größer 1...................... 40 

Geometrie- und masseabhängige Kennwerte 

Schwerpunkt ebener Linienstrukturen....................................... 41 

Schwerpunkt ebener Flächen.................................................... 42 

Schwerpunkt von Körpern......................................................... 43 

Flächenmomente 2. Ordnung.................................................... 44 

Trägheits- und Widerstandsmomente gegenüber Torsion ........ 46 

Massenmomente 2. Ordnung.................................................... 47

Formelsammlung Technische Mechanik 1 

Statik 

Ebene Statik 

Lasten (Kräfte und Momente) 

(Einzel-)Kraft � F 

Vektorielle Darstellung 

� � � 

F �Fx �Fy 

� � 

�Fxex �Fy 

ey y 

Fy � 

Betrag, Richtung 

� 

2 2 

F � F � Fx�Fy 

y 

Fy 

tan �� 

Fx 

Koordinaten 

ez z 

ex x 

Fx� F cos�� F sin� 

F � F sin �� F cos� 

Moment bezüglich der z-Achse 

� � � 

M � M e � x F � y F e 

Resultierende Kraft aus n Kräften 

F F F 

(Einzel-)Moment 

y 

2 2 

R � Rx � Ry tan�R 

� 

mit: 

F � F F � F 

Rx ix Ry iy 

i�1 i�1 

� 

M 


M � 

� 

M 

� 

e 

z 

n n 

� � 

z 

� � 

z z z y x 

z z 

z 

F 

F 

Ry 

Rx 

y 

� 

F x 

z 

F 

x 

M z 

x

2 

Formelsammlung Technische Mechanik 

Resultierendes Moment aus n Kräften und m Einzelmomenten 

n m n m 

� � �� 

M � M � M � x F � y F � M 

Rz iz kz i iy i ix kz 

i�1 k�1 i�1 k�1 

Gleichung der Wirkungslinie der äquivalenten Kraft 

FRy M Rz 

y � x� 

F F 

Rx Rx 

Gleichgewichtsbedingungen für n Kräfte und m Einzelmomente 

Kräftegleichgewicht Momentengleichgewicht 

� 0 � � 

F M � 0 

n 

i�1 

n 

R 

� Fix 

� 0 

�xi Fiy � yi Fix�� M kz �0 

� 

i�1 

F 

iy 

� 0 

Rz 

n m 

� � 

i�1 k�1 

Integrale von Linienlasten sind mit zu erfassen, z. B. 

q 0 

A 

A 

q(s) 

s 

ds 

l 

l 

l 

q 0 

A 

A 

s R 

F R 

F =q l 

R 0 

l/2 l/2 

2 l/ 3 l/3 

F=ql/ R 0 2 

l 

0 

� � 

FR � � q s ds 

R 

l 

1 

s q s sds 

� 

F � 

R 0 

� � 

l 

FR � q0l sR 

� 

2 

q0l 2 

FR � sR � l 

2 3


Lager- und Gelenkreaktionen (Beispiele) 

Bezeichnung 

Einspannung 

Festlager 

(gelenkiges Lager) 

Loslager 

(Rollenlager) 

Pendelstütze 

(Stützstab, Seil) 

Zug-/Druckfeder 

(Federkonstante c) 

Drehfeder 

(Federkonstante ct) 

Gelenk 

B 

B 

C 

B 

� 

c 

Symbol Lagerreaktionen Reduzierter 

Freiheitsgrad 

B 

B 

c t 

B 

G 

beliebig 

� 

M B 

F Bh 

FB 

� 

F Bh 

F B� 

F S 

FB� 

F = c � 

M = c 

t 

t � 

� 

F F 

Gh Gh 

F F 

G� G� 

0 

1 

(Drehung um B) 

2 

(Verschiebung 

von B entlang der 

Gleitebene, 

Drehung um B) 

2 

(Verschiebung 

von B auf Kreisbogen 

um C, 

Drehung um B) 

2 

(horizontale 

Verschiebung 

von B, Drehung 

um B) 

2 

(horizontale und 

vertikale 

Verschiebung 

von B) 

1 

(Drehung um G)

4 

Schnittgrößen beim Balken 

M b 

F Q 

M b 


Beziehungen zwischen Mb, FQ, q als Funktionen von s 

�M b ��FQ 

�s 

�FQ 

� �q 

�s � 

�� 

� 

�� 

2 

� M b � �q 

2 

ds 

Mb FQ s 

q 

ds 

Für entgegengesetztes s gelten die unteren Vorzeichen. 

Räumliche Probleme 

Lasten (Kräfte und Momente) 

(Einzel-)Kraft � F 


� � � � 

F �Fx �Fy 

� Fz 

� � � 

�Fe �F e �F 

e 

Betrag 

� 

F � F � 

2 2 2 

F �F �F 

Koordinaten 

Fx� F cos� 

F � F cos� 

y 

F � F cos � 

z 

F L 

- 

+ 

F L 

M b 

M b 

F Q 

Auftragerichtung für M b 

x x y y z z 

x y z 

x 

e x 

z 

e z 

O 

y 

r 

F x 

e y 

FL – Längskraft 

FQ – Querkraft 

Mb – Biegemoment 

z 

F z 

� 

� 

x 

� 

M + dM 

b b 

F Q + dF Q 

F 

Fy 

y


Moment bezüglich des Punktes O 

� � � � � � 

M �r�F �Mxex �M y ey �Mz 

ez mit: M � y F �z 

F 

Resultierende Kraft aus n Kräften 

� n � 

FR � � Fi 

(Einzel-)Moment 

� 

M 


� 

M 

� � � 

� Mx �My �Mz 

� � 

�Mxex �M y ey �Mz 

� 

z e 

Resultierendes Moment aus n Kräften und m Einzelmomenten 

� 

M � 

n m � � 

r �F � 

� 

M 

R i i 

i�1 k�1 

Gleichgewichtsbedingungen für n Kräfte und m Einzelmomente 

Kräftegleichgewicht Momentengleichgewicht 

� 0 � � 

F � 0 � � 

M 

i�1 

n 

R 

n 

n m 

� Fix 

� 0 � �yi Fzi � zi Fyi��M kx �0 

i�1 

i�1 k�1 

n m 

� Fiy 

� 0 � �zi Fx � x �� 

�0 

i i Fzi M ky 

i�1 

x z y 

M � z F �x 

F 

y x z 

M � x F � y F 

i�1 

z y x 

� � 

k 

i�1 k�1 

n 

n m 

� Fiz 

� 0 � �xi Fyi � yi Fxi��M kz �0 

i�1 k�1 

Integrale von Linien-, Flächen- und Volumenlasten sind mit zu 

erfassen. 

x 

R 

z 

M z 

� 

M 

ez Mx r � 

� 

My ex O 

y 

ey z 

x y 

5

6 Formelsammlung Technische Mechanik 

Lager- und Gelenkreaktionen (Beispiele) 

Bezeichnung 

Symbol Lagerreaktionen 

y 

MBz 

FBz 

x 

Einspannung FBx 

FBy 

MBx 

B z 

Festlager 

(gelenkiges 

Lager) 

Loslager 

(Rollenlager) 

Pendelstütze 

(Stützstab, Seil) 

Hülse 

(ohne axiale 

Verschieblichkeit) 

Gelenk 

y 

C 

B 

z 

B 

B 

y 

x 

y 

y 

B 

x 

x 

z 

z 

x 

z 

G 

F 

M 

Bx 

F 

Bx 

Bz 

F 

FBy 

F S 

Bx 

F 

B 

Bz 

FBy 

M 

FBy 

M 

By 

By 

F F 

Gx Gx 

FGz 

F F 

Gy Gy 

Reduzierter 

Freiheitsgrad 

0 

3 

(Drehung um 

x-, y-, z-Achse 

durch B) 

5 

(Drehung um 


durch B, 

Verschiebung in 

x- und z- 

Richtung) 

5 

(Verschiebung 

von B auf Kugelfläche 

mit Radius 

BC um C, 

Drehung um B) 

1 

(Drehung um 

z-Achse) 

3 

(Drehung um 


durch G)


Schnittgrößen beim Balken 

x 

S 

y 

z 

M bx 

F Qx 

F L 

M by 

F Qy 

Haftreibung F �� 0 F 

H N 

Gleitreibung FGl ��FN, 

entgegengesetzt zur 

Relativgeschwindigkeit 

Rollreibung FRo � 

f 

FN 

R 

M t 

mit: x, y, z bilden körperfestes Rechtssystem 

Reibung 

Seilreibung FS2 �0 � 

� FS1 e Haften 

F � F 

� � 

e Gleiten 

S2 S1 

mit: FH - Haftreibungskraft 

FGl - Gleitreibungskraft 

FRo - Rollreibungskraft 

FN - Normalkraft (Druckkraft) 

FS1, FS2 - Seilkräfte 

�0 - Haftreibungskoeffizient 

� - Gleitreibungskoeffizient 

f - Hebelarm der Rollreibung 

R - Radius des Rollkörpers 

� - Umschlingungswinkel 

FL - Längskraft 

FQx , FQy - Querkräfte 

Mbx , Mby - Biegemomente 

Mt - Torsionsmoment 

} meist: f 

R 

� 

�


Festigkeitslehre 

Grundlagen 

Spannungen 

Spannungsvektor 

� 

� dF 

� � 

t � ��n��s dA 

mit: Koordinaten: 

� 

n - Einheitsvektor in Normalenrichtung 

� 

s - Einheitsvektor in Tangentenrichtung 

Räumlicher Spannungszustand 

Spannungstensor 

��xx �xy � � xz 

� � 

�kl ��yx�yy �yz 

� 

�� 

� zx zy zz � 

Normalspannung 

�kl ��lk k, l � x, y, z 

� �� 

kl kl 

dFN 

�� 

dA 

dFT 

�� 

dA 

Tangentialspannung 

oder Schubspannung 

x 

z 

M k 

y 

F i 

F 

zz 

Jzx �xz Jzy 

Jyz Fxx Jxy Jyx 

s 

F 

yy 

dA 

n 

A 

dF T dF 

dF N


Hauptspannungen � ( � 1,2,3) 

aus: 

i i 

� � � � � � � 

3 2 

S1 S2 S3 

0 

i i i 

mit: 

S 

S 

S 

1 

2 

�� 

xx yy zz 

�1 ��2 ��3 

�� 

2 2 2 

xx yy yy zz zz xx xy yz zx 

2 2 

2 

3 ��xx �yy �zz �2 �xy �yz �zx ��xx �yz ��yy �zx ��zz �xy 

Hauptspannungsrichtungen i n� aus: 

� � 

� �� n � � n � � n �0 

mit: 

xx i ix xy iy xz iz 

� � 

� n � � �� n � � n �0 

yx ix yy i iy yz iz 

� � 

�zx nix� �zy niy� �zz��iniz�0 � � 

n �n e 

� 

�n e 

� 

�n 

e 

i ix x iy y iz z 

� 

n � n �1 

2 2 

i ik 

( k ) 

Ebener Spannungszustand (ESZ) 

Spannungstensor 

�� 

xx xy 

�kl �� 

� 

� 

yx �yy 

� � 

�kl ��lk k, l � x, y 

� �� 

kl kl 

Für gedrehtes Koordinatensystem 

�xx��yy �xx ��yy 

�uu � � cos 2��xy sin 2� 

2 2 

�xx ��yy �xx��yy �� cos 2��xy sin 2� 

2 2 

�xx ��yy 

�u� ��u �� sin 2��xy cos 2� 

2 

Einheitsvektor der i-ten 

Hauptspannungsrichtung 

k = x, y, z 

σ yy 

σxx � y xy 

�yx x 

� 

y 

�� 

�yx u 

� 

x 

�yx �xy σxx σ yy 

��u 

σ yy 

�xy σxx


Hauptspannungen 

�1,2 �xx � 

��yy � 

2 

��xx ��yy 

� 

� � 

� 2 � 

�� 

Hauptspannungsrichtungen 

tan 2�01,02 

2 �xy 

� 

� �� 

tan 

xy 

�01 � 

�xx ��2 

Verzerrungen 

Verschiebungsvektor 

� � � � 

u �uxex �uy ey �uz 

z 

� � � 

�u e ��e �we 

e 

� 

xx yy 

x y z 

2 

Räumlicher Verzerrungszustand 

Verzerrungstensor 

x 

� 

� �xx � 

1 

�kl �� yx �2 � 

� 

1 

�zx �2 1 

�xy 2 

�yy 1 

�zy 2 

1 � 

�xz 

2 

� 

� 

1 

� � 

yz 

2 � 

� 

� � 

zz 

� 

�kl ��lk �kl �2�kl k, l �x, 

y, z 

Dehnungen Gleitungen 

�ux �xx � �ux, x 

�x �u 

�u 

x y 

�xy � � �ux, y �uy, 

x 

�y 

�x 

�u �u �u 

� � �u � � � �u �u 

�y �z 

�y 

y y z 

yy y, y yz y, z z, y 

�u �u 

�u 

� � �u � � � �u �u 

�z �z 

�x 

z x z 

zz zz , xz xz , zx , 

Ermittlung der Hauptdehnungen und Hauptdehnungsrichtungen 

wie beim räumlichen Spannungszustand ( � �� ) 

2 

xy 

2 

1 

y 

für eindeutige Hauptspannungsrichtung 1 

e x 

z 

e z 

�2 

1 

� 

2 

O 

�� 

� yx 

x 

e y 

u x 

u z 

σ yy 

P 

� xy 

u 

kl kl S. 9 

σ xx 

P' 

u y 

y


Ebener Verzerrungszustand (EVZ) 

Verzerrungstensor 

� 1 � 

� �xx �xy 

2 

� 

�kl �� 

�1� � �yx �yy 

� 

�2� Für gedrehtes Koordinatensystem 

� � 

� �� k, l �x, 

y 

kl lk 

� �2� kl kl 

�uu �xx � 

��yy�xx � 

2 

��yy 

1 

cos2�� xy sin 2� 

2 2 

�� xx � 

��yy �xx � 

2 

��yy 

1 

cos 2�� xy 2 2 

sin 2� 

� � � � � � �� sin 2�� cos2� 

u� �u 

xx yy xy 

�xx �uu �yy � 

y 

� 

��xy 

2 

Ermittlung der Hauptdehnungen und Hauptdehnungsrichtungen 

� �� 

wie beim ebenen Spannungszustand � � 

HOOKEsches Gesetz 

Voraussetzung: isotropes Material 

1 

�xx � � 

� 

�xx ��yy ��zz �� 

� 

��T 

E 

1 

�yy � ��yy ��zz��xx ��T 

E 

1 

�zz � � 

� 

�zz ��xx��yy�� 

��T 

E 

1 

�xy � �xy 

G 

1 

�yz � �yz 

G 

1 

�zx � �zx 

G 

� 

kl kl S. 10 

u 

x 

� 

��u 

2 

�� 

�


mit: 

E � 2�1��G E – Elastizitätsmodul (YOUNGs Modul) 

G – Schubmodul 

1 

m � 

� 

��– Querkontraktionszahl ( - POISSONsche Zahl) 

� – Temperaturdehnzahl 

�T - Temperaturdifferenz 

Sonderfall: Ebener Spannungszustand (ESZ) 

1 

�xx � ��xx ��yy ��T 

E 

1 

�yy � ��yy ��xx ��T 

E 

� 

�zz�� xx ��yy ��T 

E 

1 


G 

Sonderfall: Ebener Verzerrungszustand (EVZ) 

1�� 

�xx � ��1��xx ��yy ��1��T 

E 

1�� 

�yy � ��1��yy��xx ��1��T 

E 

1 


G


Zulässige Spannungen 

� � 

� 

� 

�zul �� 

� 

�� 

S 

� 

S 

mit: 

F 

F 

B 

B 

zähes Material 

sprödes Material 

�F �Fließfestigkeit 

( Re) 

�B �Bruchfestigkeit 

( Rm) 

SF �Sicherheitsfaktor gegen Fließen ( SF 

�1,2...2) 

S �Sicherheitsfaktor gegen Bruch ( S �4...9) 

B B 

Sicherheitsfaktoren aus Regelwerken für jeweilige Anwendung 

Bei anisotropem Material zusätzlich �dzulmit analoger 

Definition


Vergleichsspannungen 

Festigkeitskriterium 

� � ��zul mit: 

�� Vergleichsspannung 

Bei anisotropem Material zusätzlich 

Allgemein 

�� d ��d 

zul 

Formulierung mit den Hauptspannungen �1 ��2 �� 3 S. 9 

� Normalspannungshypothese 

Isotropes Material: 

�1 � �3 : ��1 ��1 

� � � : � � � 

1 3 �1 

Anisotropes Material: 

�1 �0, �3 �0: ��1 ��1 

� �0, � �0: � �� und � � � 

1 3 �1 1 �1d 

� �0, � �0: � � � 

1 3 �1d3 

� Schubspannungshypothese 

��2 ��1��3 � Gestaltänderungsenergiehypothese 

��3 � 

1 

2 2 2 

��1��2� ��2 ��3� ��3��1� � 

2 � � 

� 

1 � 

2 � 

� 

� 

�� 

� 

�3 � 

� �� 

3 

2 2 2 2 2 2 

� xx yy� � yy zz� � zz xx� � xy yz zx� 

Analog für Zylinderkoordinaten: 

1 

��3� � � �� 

�� 

2 �� 

2 2 2 2 2 2 

� rr � � zz � � zz rr � 3 � r �zzr 

� 

3


Linientragwerke (Balken, Wellen) S. 16 ff 

� Normalspannungshypothese 

Formulierung mit den Hauptspannungen �1 �� 2 (ESZ) S. 10 

Isotropes Material: 

�1 � �2 : ��1 ��1 

� � � : � � � 

1 2 �1 

Anisotropes Material: 

�1 �0, �2 �0: ��1 ��1 

� �0, � �0: � �� und � � � 

1 2 �1 1 �1d 

� �0, � �0: � � � 

1 2 �1d2 

� Schubspannungshypothese 

� � � �4� �2 

2 2 

� Gestaltänderungsenergiehypothese 

� � � �3� �3 

2 2 

Flächentragwerke (Behälter, Scheiben, Platten – ESZ) 

� Gestaltänderungsenergiehypothese 

Behälter S. 22 

2 2 

��3� �l ��u ��l �u 

Scheiben, Platten S. 23 ff 

� � � �� 

2 2 

�3rr �� rr �� 

2 

2


Linientragwerke 

Zug (Druck) 

FL() z FL 

�zz () z � �zz�uz, z � ��T 

Az () 

EA 

Sonderfall: 

mit: 

�zz �konst., �T�0 �l 

�zz � 

l 

A - Querschnittsfläche 

EA - Dehnsteifigkeit 

�l - Längenänderung 

l - Ursprungslänge 

Biegung 

Spannung 

� Gerade Biegung (Biegung um Hauptträgheitsachse x) 

M bx �zz � y 

I 

zz 

mit: 

max 

xx 

� � 

W 

M bx 

W 

bx 

max 

I 

xx 

bx � Widerstandsmoment gegenüber Biegung 

y max 

� Schiefe Biegung, x, y – Hauptträgheitsachsen, 

einschließlich Längskrafteinfluss 

FL 

M M 

bx 

by 

�zz � � y� x 

A I I 

xx yy 

Gleichung der Spannungsnulllinie � � � 0 � 

M by I xx FL 

I xx 

y � x� 

M I M 

bx yy bx 

A 

zz


� Schiefe Biegung, x, y – beliebige Schwerpunktsachsen, 

einschließlich Längskrafteinfluss 

F 

M I �M I M I �M 

I 

y x 

L bx yy by xy bx xy by xx 

�zz � � � 

2 2 

A Ixx Iyy�Ixy Ixx Iyy�Ixy Gleichung der Spannungsnulllinie � � � 0 � 

2 

Mbx Ixy�Mby Ixx F Ixx Iyy�I L 

xy 

y �� x� 

M I �M I A M I �M 

I 

bx yy by xy bx yy by xy 

mit: I xx, Iyy, I xy - Flächenmomente 2. Ordnung S. 44 

Verformung (gerade Biegung) 

Differenzialgleichung der Biegelinie 

�� ´´ 

M 

EI 

b( x) 

( xx) 

mit: ´ d� 

�� Neigung 

dz 

EI(xx) – Biegesteifigkeit 

I(xx) – axiales Flächenträgheitsmoment S. 44 

Randbedingungen für � bzw. � ´ 

x 

zz 

z 

M b(x) 

M b(x) 

y, � y, � 

z 

x


Reine Torsion 

M � M 

�max � �� 

W l GI 

t t 

t t 

mit: �� - Verdrehwinkel 

l - Stablänge 

�� - Drillung 

GIt - Torsionssteifigkeit 

It - Torsionsträgheitsmoment 

Wt - Widerstandsmoment gegenüber Torsion 

Sonderfall: Kreis(ring)querschnitt 

� r 

M 

� 

I 

r 

M 

�max � 

W 

() t t 

p p 

mit: Ip - polares Flächenträgheitsmoment Ip = It = 2 Ixx= 2 Iyy 

� p I 

Wp r 

a 

- polares Widerstandsmoment Wp=Wt =2Wbx=2Wby 

r – (beliebiger) Radius innerhalb des Querschnitts 

ra – Außenradius 

Trägheits- und Widerstandsmomente gegenüber Torsion S. 46


Querkraftschub 

Voraussetzung: x, y – Hauptträgheitsachsen 

Massive Querschnitte (annähernd rechteckig) F Qy 

Schubspannungen 

FQy Sx( y) 

�zy ( y) 

� 

I b ( y) 

mit: 

Analog: 

xx x 

y 

R 

S ( y) � � yb � ( y�) dy� 

x x 

y 

FQx Sy( x) 

�zx ( x) 

� 

I b ( x) 

Ay ( ) 

x 

y R 

-y 

dy - 

statisches Moment der (unterlegten) 

Restfläche 

yy y 

Dünnwandige offene Querschnitte 

Schubspannungen 

FQy Sx() s FQxSy() s 

�zs () s � � 

I �() s I �() 

s 

mit: 

xx yy 

l s 

� � � � 

� � 

S () s � y s� �() s� ds� �� y s� �() 

s� 

ds� 

x 

s 

0 

l s 

� � � � 

� � 

S () s � x s� �() s� ds� �� x s� �() 

s� ds� 

y 

s 

Koordinaten des Schubmittelpunktes M 

l 

1 

x � S �s�r() s ds 

I � 

M x t 

xx 0 

1 

y � � 

M �� Sy s rt() 

s ds 

I 

yy 

l 

0 

0 

y 

z 

S 

y 

b - 

x( y) 

b y 

x () 

x S 

yM z 

� () s 

M s �() 

s 

F Qx 

FQy 

rs 

t( ) 

~ 

s s=l 

x M 

y 

~ 

Ay () 

s=s=0 

ds


Federn 

Federgesetze 

Zug-/Druck-Feder 

Drehfeder 

Ersatzfederkonstanten 

Reihenschaltung 

Parallelschaltung 

Feder Federgesetz 

Potenzielle 

Energie 

Federschaltung Ersatzfederkonstante 

Federkonstanten elastischer Linientragwerke 

Zug 

Biegung 

Torsion 

c 1 

c t1 

c 1 

c t1 

w 1 

� 1 

w 

c 2 

c t2 

F L 

� 

M t 

1 1 1 

� � 

c c1 c2 

1 1 1 

� � 

c c c 

t t1 t2 

c � c � c 

1 2 

c � c � c 

t t1 t2 

Beanspruchungsart Federkonstanten 

EA, l 

EI, 

l 

GI , l 

t 

c 

c 

t 

F Q 

M b 

F L 

w 

F L 

� 

M t 

c 2 

c t2 

M t 

w2 FL � 2 

M t 

F � c w 

M t � ct 

� 

EA 

c � 

l 

FQ : 

3 EI 

c � 3 

l 

2 EI 

ct 

� 2 

l 

Mb : 

2 EI 

c � 2 

l 

EI 

ct 

� 

l 

c 

t 

GI 

� 

l 

t 

1 

U � c w 

2 

1 

U � ct� 

2 

2 

2


Satz von CASTIGLIANO 

Voraussetzungen: x, y – Hauptträgheitsachsen, �T = 0 

n �U 

� Mbxi � � 

k � �� F � 

k i�1 

( ) ��EI 

l � i xx � i 

�M M bxi byi 

� 

�Fk �EI yy �i �Mbyi 

Mti � 

�Fk �GIt�i �Mti� 

�Fk 

�U 

�k� �... 

�M 

k 

F � � � 

Li �F 

FQxi FQxi FQyi F 

Li 

Qyi 

� ��xi ��yi � ds 

�EA� �Fk �GA� �Fk �GA� �F i i i k �� 

analog 

mit: U - linearelastische Verzerrungsenergie 

�x, �y - Schubfaktoren des jeweiligen Querschnitts 

Stabilitätsproblem Knicken 

Kritische Kraft für EULERsche Knickfälle 

F 

K 

�� 

2 

E I 

l 

2 

k 

(für �� 

mit: 

lK 

p 

E 

� 

P 

) 

l K 

l : 

F K 

�� 

i 

Schlankheitsgrad 

i - Trägheitsradius S. 45 

F K 

�P - Proportionalitätsgrenze 

F K 

F K 

2 1 �0,7 0,5 

i


Flächentragwerke 

Voraussetzung: 

Belastung, Geometrie, Materialverhalten sind rotationssymmetrisch 

� Spannungs- und Verzerrungszustand ist rotationssymmetrisch 

Rotationsschalen (Behälter - Membrantheorie) 

allgemein 

Kugelschale 

Zylinderschale 

Kegelschale 

Behälter Längs- Umfangs- 

spannung spannung 

� u 

�l 

�l 

� l 

p 

�u u � 

R 

h 

h 

p 

h 

� 

h 

p 

Ø2R 

� l 

p 

� u 

R 2 

R 1 

R 

�u u � 

� 

�u u 

�l 

R 

p 

2 h 

R 

2hsin� �l �u 

p 

� � 

R R h 

1 2 

�: 

(Rotationsachse) 

R 

p 

2 h 

p 

R p 

h 

R 

h sin � 

p


Kreis- und Kreisringscheiben 

n 

F nn 

dn 

Frr 

Differenzialgleichung 

r 

DT 2 

r 

dr 

Fnn 

Frr+dFrr 2 

ur´ ur 

�1 � 1�� 

2 

ur´´ � � � 2 �r ur�´ ´ r �1 � � ´ 

r r � 

�� 

r � 

T� 

� � E 

mit: ur() r 

� 

- Verschiebung in radialer Richtung 

- Massendichte 

��2 � n Winkelgeschwindigkeit (n – Drehzahl) 

� �´ 

�� 

� 

� 

�r 

Allgemeine Lösung 

2 

�� 2 3 � 

1 1 

ur�C1 r�C2 � �� r ��1 �� r �T( 

r d 

r 8 E r � ) r 

mit: 

0 

� 

Innenradius 

( Vollscheibe) 

( Ringscheibe) 

, Integrationskonstanten aus Randbedingungen 

� a � 

� 

C C � 

1 2 

Randbedingungen (je 1 pro Rand) für u r bzw. �rr 

Spannungen 

E � ur 

� 

�rr � ´ 2 

�1 � 

1 � 

� �ur� �� T 

�� r 

� 

� 

E �ur� �� ´ � 2 

�1�� 1�� 

� 

urT � r 

� 

� 

r 

a


Vergleichsspannung nach Gestaltänderungsenergiehypothese S. 15 

Dehnungen 

�rr �ur´ ur 

�� 

r 

� 

�zz �� rr �� T 

E 

Alternative Lösung (günstig bei Spannungs-Randbedingungen) 

2 

1�� 1��1 1�� 

2 3 � 

ur� K1 r� K2 � �� r ��1 �� ( 

8 

� r T r)dr 

E E r E r 

r 

1 3�� 

2 2 E � 

�rr � 1� 2 2 � �� 

r 8 

r � 

a 

K K r r T( r) dr 

r 

1 1�3� � 2 2 

1 

� 

�� K1� K 2 2 � �� r �E ��T � � ( ) 

2 

� 

8 

� r T r dr 

r � r a 

� 

mit: K1, K2 – Integrationskonstanten 

Dehnungen wie oben 

Kreis- und Kreisringplatten 

h 

n 

z,w 

dn 

mn 

mr 

q 

r 

r 

pr () 

mn 

dr 

mr+dm r 

q r+dq r 

r 

a


Differenzialgleichung 

w´´´ w´´ w´ 1 � �1 � � p( r) 

��w�w´´´´ �2 � � � 2 3 �r � �r w´ 

�´ 

� 

´ �´ 

� 

r r r r � �r � � K 

mit: w(r) – Verschiebung der Plattenmittelfläche in z-Richtung 

Eh 

K � 

12 1 

� � 

´ � 

2 � �� 

� � 

d 

dr 

3 

Plattensteifigkeit 

Allgemeine Lösung für 0 

pr () � p � konst. 

4 

r 2 2 r p0 r 

w�C1�C2 ln �C3 r �C4 r ln � 

r r 64 K 

0 0 

mit: r0 - beliebiger Bezugsradius 

C1, …, C4 - Integrationskonstanten aus Randbedingungen 

Randbedingungen (je 2 pro Rand) für w oder qr bzw. w´ oder mr 

Schnittgrößen 

� w´ � � w´ 

� 

mr��K �w´´ �� m��K ��w´´ 

� � 

� r � � r � 

� w´´ w´ 

� 

qr��K �w´´´ � � 2 � 

� r r � 

Spannungen 

12 mr �rr � z 3 

h 

�� 12 m� 

� z 3 

h 

mit: 

h h 

� �z� 2 2 

Vergleichsspannung nach Gestaltänderungsenergiehypothese S. 15 

Dehnungen 

�rr ��zw´´ w´ 

�� z r 

�zz �0

26 Formelsammlung Technische Mechanik


Kinematik- 

Kinematik des Punktes 

Bewegung auf einer Geraden 

Weg s � st () 

Geschwindigkeit � � s� 

Beschleunigung a�� s 

� d� � d� � � d��d�� mit: ( ) � � � bzw. ( ) � � 

dt ds dt d� � 

Bewegung auf beliebiger Bahn, verschieden beschrieben 

� Kartesische Koordinaten 

� 

r() t � 

� 

x() t e 

� 

� y() t e 

� 

� z() t e 

� � 

� () t � r�� 

x�() t e 

� 

� y�() t e 

� 

� z�() t e 

� � � � 

a() t �� r � �� x() t e 

� 

� �� y() t e 

� 

� �� z() t e 

� Natürliche Koordinaten 

� � 

s�s t 

� � 

� () t �s�() t et � 

��() 

t et 

� 

a () t � 

� 

et 2 � 

� en 

ρ( t) 

mit: � - Krümmungsradius 

() t () t 

() t 

� � () t () t () t 

x y z 

x y z 

x y z 

x 

e z 

O 

z 

e x 

� e n 

� Polarkoordinaten (ebene Bewegung) 

� � 

r � rt () er 

� � � 

� () t �r�e � �� 

r r e� 

� 2 � 

� 

a () t � �� r �r �� e �( 2 r�� r ��) 

e 

mit: 

� � r � 

CORIOLIS- 

Beschleunigung 

2 � 

�� Winkelgeschwindigkeit 

T 

T – Kreisfrequenz (Umlaufzeit) 

� 

O 

rt () 

e y 

yt () 

st () 

� 

O 

P 

e 

� 

zt () 

e t 

r( t) 

�() 

t 

P 

� 

P 

x( t) 

e r 

y


Kinematik des starren Körpers 

Translation 

Ein Körperpunkt ( A bzw. B ) repräsentativ 

für alle Körperpunkte; 

Kinematik des Punktes anwendbar 

A 

t � t0 

Rotation um raum- und körperfesten Punkt O 

� � � � � � 

��r��r � � � � � � � 

a �� r �� r 

� � 

Allgemeine Bewegung 

� � � 

r � rA�rAP 

� � � � � 

��r� � r� A��rAP � � � � � � � � 

a�� r � �� rA��rAP�� rAP Ebene Bewegung 

� � � 

r � rA �rAP 

� � � � � 

� � r� � r� 

A ��ez�rAP � � � � � 2 � 

a�� r � �� r ��e�r �� r 

A z 

AP AP 

Momentanpol 

� � 

� � ez 

� � A 

rM �rA � 

� 

� � � � 

mit: e � � x� e � y� 

e 

z � A A y A x 

� � 

O 

O 

e y 

e z 

r A 

B 

� 

A 

e� 

A 

r A 

O 

A´ 

t � t1 

r 

e x 

r 

r 

e 

AP 

A´´ 

B´ B´´ 

e r 

� 

P 

r 

r 

P 

AP 

t � t2 

P


Bewegung des Punktes P relativ zu bewegtem Bezugssystem 

� � 

� 

r � rB 

�r 

O 

BP 

� � � � � � 

��r� �r� B ��rBP��rel � 

�� 

�� 

� � � � � � � � � 

a r r ��r ��r �� 2 �� a 

�� 

B BP 

BP rel rel 

Führungsbeschleunigung 

CORIOLIS- 

Beschleunigung 

B (körperfestes 

Bezugssystem) 

� 

mit: � - absolute Winkelgeschwindigkeit des bewegten 

Bezugssystems 

r 

P 

r 

B 

r 

BP


Kinetik starrer Körper- 

Translation 

NEWTONs statische Interpretation 

Bewegungsgleichung (D´ ALEMBERT) 

� geradlinige Translation infolge der Kraft F 

s 

F 

s 

F 

m 

m 

O 

S 

F � m s�� 

R S 

t 

� � � 

ms 

: F�ms�� 0 

mit: ms�� - Hilfskraft 

(Trägheitskraft) 

� 

� beliebige Translation ( M R � 0) 

� � � 

F � m r�� F � m r � 0 

Mathematische Folgerungen für beliebige Translation 

� 

t 

1 

� () � � 

0 

� � � 

R t dt m 

t 

� � 

F � � 

1 0 

mit: 0, 1 - Indizes für Weganfang bzw. Wegende 

� 

� 

Für F � 0 (Impulserhaltung) : � � konst. 

R 

� Mechanischer Arbeitssatz (Translation) 

1 � 1 

� � � 1 1 

FR( r) �dr � FR() t ��() t dt � m� � m� �T �T 

2 2 

0 t0 

� � 

mit: P �FR�� Leistung (bei Translation) 

1 2 

T � m � 

kinetische Energie (der Translation) 

2 

O 

R 

S 

�� S 

2 2 

1 0 1 0


� Mechanischer Energiesatz (Translation) 

1 

� 

� � � 

FR( r) �dr �U 0 

1 2 1 2 

�U1 � m�1 � m�0 � T1 �T 

2 2 

0 

U0 �T0 �U1�T1 �konst. 

mit: � 

F R - Potenzialkraft 

U - potenzielle Energie (der Translation) 

Beispiele: Gewicht: U � mgh mit : h-Höhe 

Federenergie S. 20 

Beliebige Bewegung 

Schwerpunktsdefinition 

� 1 � 

rS� dm 

m � r 

( m) 

folglich: 

�� 1 � 

rS � � dm 

m � r Schwerpunktssatz 

( m) 

Definition von Impuls und Drehimpuls 

� Impuls 

� � 

� � � 

p r dm �mr� 

� 

( m) 

� Drehimpuls bezüglich des Punktes O 

� � � 

L � r�r�dm � 

( m) 

EULERs Grundgesetze der Kinetik 

� Impulsbilanz 

� 

FR � � 

� p� �m�r� 

S 

� Drehimpulsbilanz 

� 

M 

�� L 

S 

R 

m 

O 

O 

r S 

r S 

m 

S 

Mk 

0 

r 

dm 

r dm SP 

S P 

r i 

r 

F i


Formulierung im x,y,z-Koordinatensystem 

� Impulsbilanz 

n 

FRx � � F 

i�1 

n 

� 

ix 

� 

m �� x 

F � F � m 

�� y 

Ry iy S 

i�1 

n 

� 

� 

F � F � m 

�� z 

Rz iz S 

i�1 

� Drehimpulsbilanz 

� � 

� � 

� � 

MR1 � J1 �1� J2 �J3 �2 �3 

M � J �� J �J � � 

R2 

2 2 3 1 3 1 

M � J �� J �J � � 

R3 

3 3 1 2 1 

S 

bezüglich körperfester Hauptträgheitsachsen i � 1, 2, 3 durch 

den Schwerpunkt S (EULERsche Gleichungen) 

mit: 

2 

MRi - Koordinaten des resultierenden Moments 

Ji - (Massen-)Hauptträgheitsmomente S. 48 

�i - Koordinaten der absoluten Winkelgeschwindigkeit


Bewegung in der x,y-Ebene 

Statische Interpretation von Impuls- und Drehimpulsbilanz für 

verschiedene Bezugspunkte 

y 

y i 

Kräftegleichgewicht (für alle Bezugspunkte gleich) 

n n 

� � 

�: F �m�� x �0 �: 

F �m �� y �0 

ix s iy S 

i�1 i�1 

Momentengleichgewichte 

n m 

� � � � 

O: F x �F y � M �my �� x �mx �� y �J �� 0 

bzw. 

iy i ix i k S S S S zz 

i�1 k�1 

n m 

� � 

Mechanischer Energiesatz 

0 0 1 1 

mit: 

J �� - Hilfsmoment 

zz 

(Moment der Trägheit) 

� � � � �� 

B: � 

�F x � x �F y �y � 

�� 

M �my x �x �mx y �y �J �� 0 

bzw. 

Jzz� S 

.. 

yS .. z 

y B 

O 

m, J zz 

M k 

mx S 

B 

y 

iy i B ix i B k S S B S S B zz 

i�1 k�1 

n m 

� � � � � �� 

� 

S: �F x �x �F y �y �� 

M �J �� 0 

iy i S ix i S k zz 

i�1 k�1 

� 

.. 

myS F iy 

xB xS xi 1 2 2 1 

U0 �U1 � m�x�S1� y�S1�� Jzz 2 2 

2 1 2 2 1 

��1 � m�x�S0 � y�S0�� Jzz 2 2 

2 

�� 0 �T1�T0 U �T�U�T�konst. F ix 

x 

x


Sonderfall: Rotation um raumfeste Achse durch den Punkt A 

Bewegungsgleichung (analog zur Translation) 

mit 

mit: zz zz s Satz von STEINER 

S. 45 

Mathematische Folgerungen aus der Bewegungsgleichung 

� 

MRz � Jzz 

�� 

Für M Rz � 0 (Drehimpulserhaltung) : 

� Mechanischer Arbeitssatz (Rotation) 

�1 

t1 

1 

M Rz( �) d�� M Rz( 

t) �( t) dt � Jzz 2 

2 1 

�1 � Jzz 2 

2 �0 �T1� � � � � � T 

� 

0 0 

t 

mit: P�M �� Rz Leistung (bei Rotation) 

1 2 

T � J � 

2 

kinetische Energie (der Rotation) 

� Mechanischer Energiesatz (Rotation) 

�1 

1 2 1 2 

� MRz( �) d��U0�U1� Jzz ��1 � Jzz 

��0 

2 2 

� 

0 

U �T �U �T �konst. 

0 0 1 1 

n m 

� �� 

M Rz F x F y M 

� � 

n m 

iy i ix i k 

i�1 k�1 

� F x �F y ��M �J �� 

�0 

iy i ix i k zz 

i�1 k�1 

t 

1 

0 

J J r 

S. 2 

mit: M Rz aus Potenzial ableitbar 

U - potenzielle Energie (der Rotation) 

: 

m, J zz 

F Ah 

O=A 

y 

y i 

y 

S 

yS z 

� � 

2 

m A� 

2 2 

S S 

� M Rz() t dt � Jzz �� Jzz 

�� 

t 

1 0 

z 

F 

M k 

r S 

� 

x S 

F iy 

x i 

r � x � y 

2 

J �� konst. bzw. �� 

�konst. 

zz 

S 

0 

F ix 

x 

x


Gerader zentrischer Stoß 

Geschwindigkeiten nach dem Stoß 

� 

1 

� 

� 

2 

� 

� 

� 

�1��2 mit: k �� Stoßzahl 

� �� 

�1, �2 � Geschwindigkeiten vor dem Stoß 

Verlust an kinetischer Energie 

LAGRANGEsche Gleichungen 2. Art 

mit: T - kinetische Energie des Gesamtsystems 

ql 

- verallgemeinerte Koordinate 

Q - verallgemeinerte Last aus �W � Q �q 

l 

� � 

m � � m � � k m � �� 

1 1 2 2 2 1 2 

m � m 

1 2 

� � 

m � � m � � k m � �� 

1 1 2 2 1 1 2 

� � 

m � m 

1 2 

1 2 

� 2 

1� 

k m1 m2 

1 2 

�� T �T � � 

2 m � m 

� 

1 2 

� �T � �T 

� � � �Qll �1, 

..., 

��q�l � �ql 

� �W - Arbeitszuwachs der eingeprägten Lasten 

� ql 

- virtuelle Verschiebung für konstant gehaltene Zeit 

f - reduzierter Freiheitsgrad 

Sonderfall: Existenz einer potenziellen Energie U für alle verall- 

gemeinerten Lasten 

� 

2 

m 1 

S 1 

�� 

� � � �� 

� � � 

m 2 

( k � 1: elastischer Stoß 

k � 0 : plastischer Stoß ) 

f 

� 

�1 

f 

l 

l l 

� �L � �L 

� � � �0 mit : L �T �U 

��q�l � �ql 

S 2


Schwingungen mit dem Freiheitsgrad 1 

Anm.: Aufgeführt sind jeweils die Beziehungen für Schwingungen 

mit geschwindigkeitsproportionaler Dämpfung. 

Ist die Schwingung ungedämpft, dann gilt: 

� Freie gedämpfte Schwingungen 

Bewegungsgleichung 

ms �� bs��cs� andere Formulierung: 

mit: 

� 

Lösung für schwache Dämpfung ( � D � 1) 

� 

�δt 

C C 

andere Formulierung: 

mit: 

b�0 ��0 

2 

0 

0 

�� s�2δs�� s �0 

� � 

st ( ) �ecos�t� sin �t 

1 2 

D� 0 ( Formelzeichen s. u. ) 

b- Dämpfung 

b 

δ = Abklingkonstante 

2 m 

2 c 

�0� Eigenkreisfrequenz der ungedämpften Schwingung 

m 

s im raumfesten Koordinatensystem (analog für Winkel) 

st e C t 

� � 

�δt 

() � cos� �α 

0 

m 

c b 

C1, C2 - Integrationskonstanten aus Anfangsbedingungen: 

C � C �C 

t �0: s � s , s�� 

2 2 

1 2 

α arctan C 

� 

C 

2 

1 

0 0 

Phasenwinkel 

O 

s


Eigenkreisfrequenz der gedämpften Schwingung 

�� δ �� 1�D 2 

2 2 

0 0 

LEHRsches Dämpfungsmaß (Dämpfungsgrad) 

� 

D � 

� 

b 

� 

2 m � 

s(t) 

Schwingungsdauer 

2 � 

T � 

� 

0 0 

Logarithmisches Dekrement 

st � k � 2 π D 

� � 2 

��ln � ��T 

stk�T 1� 

D 

� Erzwungene gedämpfte Schwingungen 

Voraussetzung: Harmonische Erregung 

Lasterregung Unwuchterregung Bewegungserregung 

F() t=Fsin 0 �t 

m 

c b 

O 

s 

m u 

r u 

�t 

m 

c b 

O 

s 

t k 

s=s-u 

r 

T 

t 

e �� 

t 

e �� 

� 

m 

c b 

O 

B 

s 

u=u0 sin�t t


Erregungsfunktion 

Erregungsart Lasterregung 


Homogene Lösung 

Anfangsbedingungen 

Ft () � F0sin�t F0 - konstante Lastamplitude 

ms �� bs� �cs�F�t 0 sin 

�δt 

s e C t 

� � 

� cos � �α 

t � 0: s � s , s�� 

0 0 

0 Partikuläre (stationäre) Lösung s � V sin �� t � 

Vergrößerungsfunktion 

V 

V 

F 

c 

p I 

I 

� 

I max 

V I 

� 

� � 2 

1 

� � 

2 2 2 

1 η 4 η 

1 

� 

2D 1�D 

2 D η 

Phasenwinkel ��arctan 

2 

1� η 

Frequenzverhältnis 

Eigenkreisfrequenz (gedämpft) 

LEHRsches Dämpfungsmaß 

� 

�� 

� 

0 

� 

2 

��0 1 �D 

2 

D 

b b � 

D� � � 

2m� 2 mc 

� 

0 0 

D = 0 

D = 0,2 

�


Unwuchterregung Bewegungserregung 

mu ru � 2 2 

Ft () �mu ru � sin�t 

ut () � u0sin�t - konstante Kraftamplitude u0 - konstante Wegamplitude 

2 � � � � � � � sin 

2 

m m �� s bs�cs m r �t 

m�� s � bs� �cs�mu � sin �t 

u u u 

�δt 

s � e C cos��t 

�� 

t �0: s � s0, s��0 

mu 

sp � 

m�m ru VII sin �t�� V 

V 

II 

� 

V II 

� 

� 

2 D η 

��arctan 

2 

1� η 

u 

� � 

� 

2 

2 2 2 

1�� 4 D � 

1 

� 

2 D 1�D 

II max 2 

b 

D � � 

2 

� 

�m�mu��0 �0 

� � 

2 

D = 0 

D = 0,2 

� 

r r r 

�δt 

sre C t 

0 

� � 

� cos � �α 

t � 0: s � s , s��r rp 0 III 

VIII 

� 

r r 0 r 0 

� � 

s � u V sin �� t 

V 

III 

� 

�� 

� 

� 

1�4 D � 

� � 

3 

2 D η 

��arctan 

1� η 

� 

2 2 

2 

2 

2 2 

1�� 4 D � 

1 

VIII max � für D �1 

2 D 

2 

��0 1 �D 

0 

D = 0 

�1�4 D � 

D = 0,2 

2 2 

b b � 

D � � � 

2 m � 2 mc � 

0 0 

�


Schwingungen mit einem Freiheitsgrad größer 1 


� � � � � � � 

Mq�� Bq��Cq�F � 

mit: q � Vektor der verallgemeinerten Koordinaten qk 

� 

M � Massenmatrix Komponenten: m �m 

� 

B � Dämpfungsmatrix 

bkl 

�blk 

� 

C � Steifigkeitsmatrix 

ckl �clk 

� 

F � Vektor der Erregerlasten 

Fk 

k, l � 1,..., f 

Spezialfall: Freiheitsgrad f = 2, Erregerlast F1(t) = F0 sin�t, 

keine Dämpfung 

m11 q��1 � m12q��2 � c11 q1� c12q2� F0sin �t 

m q�� m q�� c q � c q � 0 

21 1 22 2 21 1 22 2 

Anfangsbedingungen für t = 0 : 

q � q q� ��q � q q� 

�� 

1 10 1 10 2 20 2 20 

Lösungsanteil der freien Schwingung 

q � qˆC cos �t �C 

sin �t 

Eigenfrequenzen �i (i = 1, 2) und dazugehörige -moden ( qˆ1/ qˆ2) 

i 

aus: 

c �m 2 

� qˆ � c �m 2 

� qˆ 

� 0 

Lösungsanteil der erzwungenen Schwingung 

qp1 �Cp1 q�1 

sin �t 

q �C q�sin 

�t 

Amplituden q� q� 

aus: 

� � 

� � � 

h1 

1 11 12 

q � qˆC cos �t �C 

sin t 

h 2 2 21 22 

� � � � 

� 2��2� 11 11 1 12 12 2 

c �m � qˆ � c �m � qˆ 

� 0 

21 21 1 22 22 2 

p2 p2 

2 

1 , 

2 

� 2��2� � 2��2� c �m � q� � c �m � q� � F 

11 11 1 12 12 2 0 

c �m � q� � c �m � q� 

�0 

21 21 1 22 22 2 

kl lk


Geometrie- und masseabhängige Kennwerte 

Schwerpunkt ebener Linienstrukturen 

Allgemein 

1 

xSL � xds 

y 

l � 

� 

l � ds 

() l 

() l 

1 

ySL � y 

l � ds 

() l 

Spezielle Linien 

b 

y S L 

y y 

y S L 

y S L 

y 

Linie Schwerpunktskoordinaten 

S 

� 

y y 

S 

x S L 

x S L 

R 

c 

a 

x 

x 

x 

x 

x 

y 

SL 

SL 

a c 

� � cos� 

2 2 

b c 

� � sin � 

2 2 

2 

xSL � ySL � R 

� 

Bei bekannten Werten für n Teillinien 

n 1 

x � x l 

SL 

l i�1 

n 

SLi i 

1 

y � y 

SL 

l i�1 

SLi i 

n 

� 

l � l 

i�1 

i 

� 

� 

l 

yS Li 

ySL s 

x 

S 

ds 

y y 

S 

x S L 

y 

x S L 

l i 

s=l 

x SLi 

x 

x 

S Li 

x 

x


Schwerpunkt ebener Flächen 

Allgemein 

1 

xSA� xdA 

A � 

� 

A�dA ( A) 

( A) 

1 

ySA� y 

A � dA 

( A) 

Spezielle Flächen 

b 

y S A 

y 

y S A 

Fläche Schwerpunktskoordinaten 

y y 

2 

y S A 

y y 

S 

x S A 

R 

S 

x S A 

x 

x 

a 

Bei bekannten Werten für n Teilflächen 

x 

x 

n 1 

x � x A 

SA 

A i�1 

n 

SAi i 

1 

y � y 

SA 

A i�1 

SAi i 

n 

� 

A�A i�1 

� 

� 

i 

A 

xSA� a 

3 

1 

ySA� b 

3 

4 

xSA� ySA� R 

3 � 

_ 

y S Ai 

_ 

yS A 

y 

y 

y 

S 

S 

y 

A dA 

y i 

Si 

xS A 

xS A 

i 

x S A 

A i 

x 

x i 

x 

_ 

x 

x 

x


Schwerpunkt von Körpern 

Allgemein 

1 

xSm � � xdm 

m 

( V ) 

( V ) 

1 

ySm � � y dm 

m 

( V ) 

1 

zSm � � zdm 

m 

� 

( V ) 

m�dm Spezielle Körper 

Keil(stumpf) 

Pyramide(-nstumpf) 

Quader 

x 

x 

z 

x 

y S m 

y 

m 

S 

z S m 

z 

z 

dm 

x S m x 

Körper Schwerpunktskoordinaten 

b 1 

Kegel(stumpf) 

Pyramide(-nstumpf) 

Bei bekannten Werten für n Teilkörper 

n 1 

x � x m 

Sm 

m i�1 

n 

Smi i 

1 

y � y 

S m 

m i�1 

n 

S mi i 

1 

z � z 

S m 

m i�1 

S mi i 

n 

� 

m�m i�1 

� 

� 

� 

i 

x 

m 

m 

h 

b 2 

x 

z 

x 

a 1 

A 2 

z 

z 

a 2 

z S m 

z 

S2 r2 S 

S 1 

z S m 

A 1 

r 1 

y 

h 

y 

y 

y 

z 

Sm 

z 

h ab 1 1�ab 1 2�ab 2 1�3ab 2 2 

� 

22ab�ab�ab�2ab Sm 

1 1 1 2 2 1 2 2 

y 

h r �2rr �3r 

� 

4 

2 2 

1 1 2 2 

2 2 

r1 �rr 1 2 �r2 

h A1�2 AA 1 2 �3A2 

� 

4 A � AA � A 

y 

1 1 2 2


Flächenmomente 2. Ordnung 

Trägheitstensor 

I 

kl 

mit : 

�Ixx I xy� 

� � 

I I 

� 

� yx yy � 

� 

Ixx � 

2 

y dA 

( A) 

� 

2 

Iyy x dA 

( A) 

Satz von STEINER 

� 

�� 

� 

� � �� 

� 

Axiale 

Flächenträgheitsmomente 

I �� x y dA Zentrifugal- oder Deviationsmoment ( I �I 

) 

xy xy yx 

( A) 

I I y A I I x A I I x y A 

2 2 

xx � xx � S yy � yy � S xy � xy � S S 

Spezielle Flächen 

h 

h 

Fläche 

y y 

y 

S 

y 

S 

b 

b 

x 

x 

x 

x 

Flächenmomente 2. Ordnung 

x,y- Koordinatensystem 

3 

bh 

I xx � 

12 

3 

hb 

I yy � 

12 

I � 0 

I 

I 

I 

xy 

xx 

yy 

xy 

3 

bh 

� 

36 

3 

hb 

� 

36 

b h 

� 

72 

2 2 

x, y -Koordinatensystem 

3 

bh 

I xx � 

3 

3 

hb 

I yy � 

3 

2 2 

b h 

I xy �� 

4 

I 

I 

I 

xx 

yy 

xy 

3 

bh 

� 

12 

3 

hb 

� 

12 

b h 

�� 

24 

2 2


y 

y 

S 

y 

S 

D=2R 

R 

x 

x 

x 

� � 4 � 

Ixx � Iyy �� R 

�16 9 � � 

� 4 1� 

4 

Ixy �� R 

�9�8� Ixx � Iyy � 4 

� R 

4 

� 

� D 

64 

� 0,5 I 

Bei bekannten Werten für n Teilflächen 

n 

� 

2 � � 

I � I �y 

A 

xx xixi Si i 

i�1 

n 

� 

2 � � 

I � I �x 

A 

yy yiyi Si i 

i�1 

n 

� 

� � 

I � I �x 

y A 

xy 

i�1 

xiyi Si Si 

i 

Hauptträgheitsmomente I1 � I2 

Ixx �Iyy �Ixx �Iyy 

� 

I1,2 � � � � �I 

2 � 2 � 

Hauptträgheitsrichtungen 

2 I xy 

tan 2�01,02 

� 

I � I 

I 

�01 � 

I � I 

xx yy 

2 

p 

4 

4 

� 

I xx �Iyy� R 

16 

1 4 

Ixy �� R 

8 

xy 

tan für eindeutige Hauptträgheitsrichtung 1 

xx 

Trägheitsradius 

Ikk 

ik� k � x, y 

A 

2 

2 

xy 

_ 

y Si 

_ 

y 

S 

y 

2 

y 

xS 

S 

y i 

Si 

xS i 

�02 

S 

1 

y 

A ,I ,I ,I 

4 

i x i x i y ii y 

xi x ii y 

1 

�01 

1 

x 

_ 

x 

2 

2 

x


Trägheits- und Widerstandsmomente gegenüber 

Torsion 

Kreis (Ri=0), 

Kreisring 

dünnwandig 

offen 

dünnwandig 

geschlossen 

Rechteck 

(h>b) 

Querschnitt It Wt 

A m 

D i=2R i 

D a=2R a 

�(s) 

b 

s 

h 

� 

2 

� 

32 

4 4 �Ra Ri 

� 

1 

3 

�� 

� � 

4 4 �Da � Di 

� 

n 

� 

i�1 

l 

� 

3 

i i 

2 

4 Am 

1 

ds 

�() 

s 

chb 

1 

3 

� R � R 

2 R 

4 4 

a i 

a 

4 4 

a � i 

� D D 

16 D 

I 

� 

2 m 

t 

a 

i max 

A � 

c hb 

min 

h/b 1 1,5 2 3 4 

c1 0,141 0,196 0,229 0,263 0,281 

c2 0,208 0,231 0,246 0,267 0,282 

2 

2 

�


Massenmomente 2. Ordnung 

Trägheitstensor 

�Jxx Jxy J � 

xz 

� � 

J kl � �JyxJyy Jyz 

� 

�JJ J � 

mit: 

� zx zy zz � 

xx 

yy 

zz 

� 

( m) 

( m) 

( m) 

2 2 � � 

J � y � z dm 

� 

2 2 � � 

J � z � x dm 

� 

2 2 � � 

J � x � y dm 

J �� x y dm 

xy 

xz 

yz 

( m) 

J �� x z dm 

( m) 

J �� y zdm 

( m) 

Satz von STEINER 

� 

� 

� 

� 2 2� 

� 2 2� 

� 2 2� 

� 

� 

� 

� 

� 

� 

� 

� 

� 

� 

� 

� 

� 

� 

�� 

� 

� 

m 

_ 

x 

_ 

z 

_ 

y S 

dm 

Axiale Massenträgheitsmomente 

Zentrifugal- oder Deviationsmomente 

( J � J k, l � x, y, 

z) 

kl lk 

J � J � y � z m J � J �x 

y m 

xx xx S S xy xy S S 

J � J � z � x m J � J �x 

z m 

yy yy S S xz xz S S 

J � J � x � y m J � J � y z m 

zz zz S S yz yz S S 

Trägheitsradius 

J kk jk � k � x, y, 

z 

m 

S 

_ 

z S 

_ 

x S 

_ 

y


Spezielle Körper (Masse m) 

Kreiszylinder 

Stab 

Kreisscheibe 

Kreisring 

(dünner 

Kreiszylinder) 

Kugel 

Quader 

Körper Massenmomente 2. Ordnung 

b 

y 

z 

x 

z 

z 

y 

l 

m 

� � 

y 2 2 

2 

S 

J Jzz � R 

xx � Jyy � 3 R �l 

z 

x 

12 

2 

R 

y 

z 

z 

a 

l 

y 

S 

S 

y 

y 

S 

S 

x 

x 

R 

x 

x 

R 

x 

R 

c 

m 

Jxx �Jyy � l 

12 

m 

Jxx �Jyy� l 

3 

m 

Jzz � R 

2 

zz 

2 

J � mR 

2 

Jxx �Jyy �Jzz� mR 

5 

m 2 2 

Jxx � �b �c 

� 

12 

m 2 2 

J yy � �a �c 

� 

12 

m 

Jzz � a �b 

12 

2 

2 

2 

2 

m 

2 2 � �


Bei bekannten Werten für n Teilkörper 

2 2 � � � m � 

n n 

� � 

J � � � � � 

� 

J y z m 

� 

J � J �x 

y 

xx 

i�1 xixi Si Si i xy 

i�1 

xiyi Si Si i 

n n 

2 2 � � � m � 

� � 

J � � � � � 

� 

J z x m 

� 

J � J �x 

z 

yy 

i�1 yiyi Si Si i xz 

i�1 

xizi Si Si i 

n n 

2 2 � � � m � 

� � 

J � � � � � 

� 

J x y m 

� 

J � J � y z 

zz zizi Si Si i yz yizi Si Si i 

i�1 i�1 

Hauptträgheitsmomente Ji (i =1,2,3) aus (vgl. Hauptspannungen): 

3 2 

Ji �S1 Ji �S2 Ji �S3 �0 

1 2 

mit: 

1 

� � 

S � J �J �J 

2 

3 

J � J c � J c � J c 

xx i ix xy iy xz iz 

� � 

J c � J � J c � J c � 

yx ix yy i iy yz iz 

� � 

J c � J c � J � J c 

zx ix zy iy zz i iz 

� � � � 

e �c e �c e �c 

e 

J � J � J 

xx yy zz 

2 2 2 

xx yy yy zz zz xx xy yz zx 

xx yy zz 2 xy yz zx xx 

2 

yz yy 

2 

zx zz 

2 

xy 

S � J J �J J �J J �J �J �J 

S � J J J � J J J �J J �J J �J 

J 

� 

Hauptträgheitsrichtungen ei aus (vgl. Hauptspannungen): 

mit: 

i ix x iy y iz z Einheitsvektor der i-ten 

Hauptträgheitsrichtung 

2 2 

ei ��cik �1 

k = x, y, z 

( k ) 

� 

� 

0 

0 

0 

3


Sonderfall: Zur x,y-Ebene symmetrischer Körper 

(vgl. Flächenmomente 2. Ordnung) 

Hauptträgheitsmomente 

2 

Jxx� Jyy � Jxx � Jyy 

� 2 

1,2 � � � xy J1 � J2 

J 

2 

� 

� 2 

� 

� 

J 

J � J 

3 

zz 

Hauptträgheitsrichtungen 

2 J xy 

tan 2�01,02 

� 

J � J 

J xy 

tan �01 � 

J � 

J 

xx 

xx yy 

2 

2 

für eindeutige Hauptträgheitsrichtung 1 

v 

1 

y 

S 

y 

1 

1 

�01 

2 

2 

x

Formelzeichen 

O Koordinatenursprung im raumfesten Koordinatensystem 

Z, z alphanumerisches Zeichen zur Symbolisierung einer 

physikalischen oder mathematischen Größe 

� 

z Vektor bzw. Matrix z 

z ´ (Orts-)Ableitung der Größe z 

z ,x partielle (Orts-)Ableitung der Größe z nach x 

z� Zeitableitung der Größe z 

z parallele Achse zur (durch den Schwerpunkt 

gehenden) Achse z 

Z bewegter Punkt Z im raumfesten Koordinatensystem 

� 

� 

e z-Komponente des Einheitsvektors e 

z 

Kombinationen von Symbolen sind möglich. 

Die „doppelte“ Symbolik für Vektoren und Matrizen wird benutzt, weil 

die ausschließlich „fette“ Darstellung in handschriftlichen Aufzeichnungen 

nicht eindeutig ist. 

Farbsymbolik im Text 

S. Z Verweis auf Seite Z 

Farbsymbolik in den Skizzen 

Einheitsvektoren 

Lasten, Spannungen, Drücke 

Koordinaten, Wege, Geschwindigkeiten, Beschleunigungen

Stoffauswahl, didaktisch-methodische Aufbereitung, Layout, Satz und Druck: 

apl. Doz. Dr.-Ing. habil. G. Georgi 

e-Mail: w311@online.de 

Vorschläge für Berichtungen und Ergänzungen an obige e-Mail-Adresse werden gern entgegengenommen. 

Der Autor ist Mitarbeiter an der Professur Elastizitätstheorie/Bruchmechanik: 

Inhaber: Prof. Dr.-Ing. habil. H. Balke 

Technische Universität Dresden 

Fakultät Maschinenwesen 

Institut für Festkörpermechanik 

01062 Dresden 

George-Bähr-Straße 3c 

Zeunerbau Zimmer 343 

georgi@mfk.mw.tu-dresden.de 

Gunter.Georgi@tu-dresden.de

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