Optimale Schachtel.pdf - Hans & Meta Walser

Hans Walser: Optimale Schachtel 6 / 87 Andere Dimensionen7.1 Allgemein. Eine VermutungAbb. 6: Oben offener KreiszylinderIch vermute, dass sich die Sache in den n verallgmeinern lässt: Im n beginnen wirmit einem Polytop (Verallgemeinerung von Punkt, Strecke, Polygon, Polyeder ... , vgl.[Coxeter 1973]), das eine Sphäre S n−1 mit dem Radius R als Insphäre hat. Das Polytophabe das n-dimensionale Volumen A.Nun reduzieren wir das Polytop mit dem Längenfaktor r R(zentrische Streckung). Dasreduzierte Polytop hat das n-dimensionale Volumen rnnA . Die für mich offene Frageist nun, wie das Ausschneiden an den Ecken zu verallgemeinern ist. Man muss wohlauch noch an Kanten etc. etwas wegschneiden. Jedenfalls klappen wir dann hoch in den n+1 . So entsteht eine oben offene Schachtel im n+1 mit dem reduzierten Polytop alsBoden. Boden und Seiten der Schachtel sind n-dimensionale Hyperebenen im n+1 .Für das n +1 ( )-dimensionale Volumen V der Schachtel erhalten wir:V ( r) = A rnR n( R − r)= A (R n Rrn − r n+1)REs ist:( )dVdr= A R n nRrn−1 − ( n +1)r nDas optimale Volumen erhalten wir für r = nn+1 R und h = 1n+1 R .