Bestimmung sehr schneller Übergangsraten in Markov-Prozessen ...

Bestimmung sehr schnellerÜbergangsraten in Markov-Prozessendurch verbesserte Berücksichtigung derAmplitudenverteilung im direktenZeitreihenfitDiplomarbeit derMathematisch-Naturwissenschaftlichen Fakultätder Christian-Albrechts-Universität zu Kielvorgelegt vonPhilipp HarlfingerKiel, im Mai 2000

Inhaltsverzeichnis1. Einleitung .................................................................................................................... 12. Grundlagen .................................................................................................................. 32.1. Die gemessene Zeitreihe .......................................................................................... 32.2. Das Amplitudenhistogramm ................................................................................... 42.3. Rekonstruktion der originalen unverrauschten Zeitreihe ........................................ 52.4. Die Dwell-Time-Analyse ........................................................................................ 62.5. Der direkte Zeitreihenfit ........................................................................................ 73. Das Amplitudenhistogramm bei schnellem Schalten ............................................. 103.1. Einleitung ................................................................................................................ 103.2. Betaverteilungen ...................................................................................................... 133.3. Die Aufgabe dieser Arbeit ...................................................................................... 144. Betaverteilungen höherer Ordnung ......................................................................... 174.1. Das Problem der Filterung höherer Ordnung ...................................................... 174.2. Angleichen der Sprungantworten ........................................................................ 184.3. Vierpoliges Besselfilter ....................................................................................... 224.4. Zwei- und achtpoliges Besselfilter ......................................................................... 274.5. Versuch der direkten Optimierung des einpoligen Ersatzfilters .......................... 284.6. Folgerungen für Fitverfahren ................................................................................... 295. Testmethoden .......................................................................................................... 305.1. Vorgehensweise ..................................................................................................... 305.2. Simulation von Patch-Clamp-Zeitreihen ............................................................... 315.3. Rauschabhängigkeitstest ....................................................................................... 325.4. Reichweitentest ..................................................................................................... 336. Test des Betafits ......................................................................................................... 356.1. Einleitung ............................................................................................................... 356.2. Ergebnisse ............................................................................................................... 366.3. Diskussion ............................................................................................................... 377. Verbesserte Variante des Betafits ......................................................................... 397.1. Unterschiedliche Verteilungen in Abhängigkeit vom Stromwert .......................... 397.2. Ergebnisse des Rauschabhängigkeitstests ............................................................... 417.3. Ergebnisse des Reichweitentests ............................................................................. 43

8. Der verbesserte Betafit mit anderen Gaußverteilungen ......................................... 468.1. Andere Normierung der Gaußverteilungen g i (y) aus Gleichung 7.2 ...................... 468.2. Verschiebung der Gaußverteilungen g i (y) aus Gleichung 7.2 ............................... 508.3. Folgerungen ........................................................................................................... 529. Der Prädiktionsfit ...................................................................................................... 5210. Test des Prädiktionsfits mit dem Positionsfaktor γ= 1 / 2 ........................................ 5410.1. Rauschabhängigkeitstest ........................................................................................ 5410.2. Reichweitentest ...................................................................................................... 5510.3. Diskussion ............................................................................................................... 5610.4. Abhängigkeit der Ergebnisse von der Besetzungswahrscheinlichkeit ................ 5610.5. Abhängigkeit der Ergebnisse von den Anfangswerten ........................................ 6010.6. Ergebnisse beim Fünf-Zustands-Modell ................................................................ 6111. Der Prädiktionsfit mit anderen Positionsfaktoren .................................................. 6411.1. Einführung ............................................................................................................... 6411.2. Reichweitentest ....................................................................................................... 6612. Der Prädiktionsfit mit variablen Positionsfaktoren .............................................. 6712.1. Analytische Beziehung zwischen Reichweite und Positionsfaktor ....................... 6712.2. Variable Positionsfaktoren bei einpolig gefilterten Zeitreihen ................................ 7212.3. Andere Abknickfrequenz des vierpoligen Filters ................................................... 7513. Der Prädiktionsfit mit variablen Positionsfaktoren beim Zwei-Zustands-Modell 7713.1. Einleitung ............................................................................................................ 7713.2. Abhängigkeit der Ergebnisse von der Besetzungswahrscheinlichkeit ............. 7813.3. Abhängigkeit der Ergebnisse von den Anfangswerten ..................................... 8213.4. Abhängigkeit der Ergebnisse vom Rauschen ................................................... 8513.5. Folgerung ............................................................................................................ 8914. Der Prädiktionsfit mit variablen Positionsfaktoren beim Fünf-Zustands-Modell 9114.1. Vorgehensweise .................................................................................................. 9114.2. Positionierung der Sprungverteilungen nach Gleichungen 12.1/12.2 .................. 9114.3. R-γ-Gleichung beim Fünf-Zustands-Modell ........................................................ 9315. Fazit und Ausblick ....................................................................................................... 9616. Zusammenfassung ....................................................................................................... 99Literaturverzeichnis ......................................................................................................... 101Danksagung ....................................................................................................................... 104Erklärung .......................................................................................................................... 105

1. EinleitungEin traditionsreiches und wichtiges Arbeitsgebiet der Biophysik ist die Erforschung vonTransportvorgängen in biologischen Membranen. Am weitesten vorangeschritten ist dieKenntnis solcher Transportmoleküle, deren Transport von Materie an den Transportelektrischer Ladung gekoppelt ist. Bei Ionenkanälen können mit der Patch-Clamp-Technik(Sakman und Neher, 1983) Ströme durch einzelne oder Systeme von einigen wenigenTransportmolekülen gemessen werden.Die Transportmoleküle schalten zwischen aktiven und inaktiven Zuständen. Wenn dieKanäle im aktiven Zustand sind, vermitteln sie den Durchtritt von Ionen durch die Membranund ermöglichen so einen sehr kleinen Strom, der sich im Pico-Ampere-Bereich bewegt.Stand der Forschung ist es, dass sich die Verhaltensweise der Ionenkanäle mit Hilfe vondiskreten Markov-Modellen beschreiben lässt (Neher und Stevens, 1977; Ball und Rice, 1992;Colquhoun und Hawkes, 1995). Da bei diesen Modellen nur relativ wenige Voraussetzungengemacht werden, lassen sie sich gut mathematisch behandeln (Colquhoun und Hawkes, 1977).Insbesondere hängt die Wahrscheinlichkeit, dass sich das System in einem bestimmtenZustand befindet, nur vom direkt vorhergehenden Wert ab, während die weitereVorgeschichte keine Rolle spielt. Diese Eigenschaft ist der Grund dafür, dass bei den meistenFitalgorithmen der Rechenaufwand nur linear mit der Anzahl der Messpunkte ansteigt. Es hatVersuche gegeben, die Kanäle anders zu beschreiben, z.B. durch fraktale Modelle (Liebovitchet al., 1987). Bisher sind aber keine experimentellen Ergebnisse bekannt, die den höherenmathematischen Aufwand rechtfertigen (Korn und Horn, 1988).Geht man also davon aus, dass die Markov-Modelle der richtige Ansatz sind, die Funktionder Kanäle zu beschreiben, ist es ein wesentliches Problem, die Übergangsraten zwischen denverschiedenen Zuständen des Modells aus der gemessenen Zeitreihe des Stroms zu erhalten.Das klassische Verfahren zur Bestimmung der Übergangsraten ist die Auswertung derVerweildauerhistogramme (Sakman und Neher, 1983). Durch die Anpassung vonExponentialfunktionen an die Verweildauerhistogramme lassen sich die Zeitkonstanten unddaraus die Übergangsraten bestimmen (Blunck et al., 1998). Entscheidender Nachteil dieserMethode ist es, dass erst der rauschfreie Stromverlauf rekonstruiert werden muss, bevor dieVerweildauerhistogramme erzeugt werden können. Es gibt verschiedeneDetektionsalgorithmen, die aus der verrauschten Zeitreihe feststellen, in welchemStromzustand das System ist und wie lange es darin verweilt (Schultze und Draber, 1993).Das Problem aller dieser Algorithmen ist es, dass sie schnelle Schaltereignisse, die über demAuflösungsvermögen des Detektors liegen, nicht erkennen.Die Nachteile des Sprungdetektors vermeidet der direkte Zeitreihenfit (Fredkin und Rice,1992; Klein et al., 1997). Dieser vergleicht mit einer Ein-Schritt-Prädiktion dieWahrscheinlichkeiten der im nachfolgenden Schritt möglichen Zustände mit derWahrscheinlichkeit, dass der gemessene Stromwert zum jeweiligen Zustand gehört. Albertsen(1994, Albertsen und Hansen, 1994) erweiterte diese Methode auf Systeme mit mehrerenZuständen und Kanälen. Farokhi et al. (2000) fanden, dass bei schnellem Schalten, das an der

2 Kapitel 1: EinleitungGrenze des zeitlichen Auflösungsvermögen liegt, der direkte Zeitreihenfit dem Dwell-Time-Fit überlegen ist. So konnte mit dem Dwell-Time-Fit das schnelle Schalten des K + -Kanals vonChara, das beim anomalen Molfraktionseffekt (AMFE) in der Mischung aus K + und Tl +scheinbar eine Reduktion des Einzelkanalstroms erzeugt, nicht entdeckt werden. Mit Hilfe desdirekten Zeitreihenfits konnte diese scheinbare Stromreduzierung auf die Mittelung überschnelle Schaltprozesse zurückgeführt werden.Auch der direkte Zeitreihenfit findet aber Übergangsraten in der Größenordnung von 100kHz nicht zuverlässig. Er gibt zu niedrige Werte an, die mit Korrekturfaktoren ausSimulationen berichtigt werden müssen. Untersuchungen am AMFE (Farokhi et al., 2000)haben aber ergeben, dass an der Grenze des derzeitigen Auflösungsvermögens Prozesseexistieren, deren Erforschung weichenstellend für weitere Hypothesen über dieTransportprozesse im Kanalprotein sein könnten. Es ist deswegen erstrebenswert, die zeitlicheAuflösung der Auswerteverfahren zu verbessern.Ein Verfahren, das speziell zum Erkennen schneller Schaltereignisse geeignet ist, hatFitzHugh (1983) eingeführt. Er wendete die einstmals für Telegraphensignale entwickelteTheorie der Betaverteilungen auf die Amplitudenverteilungen von Kanalströmen an. DasVerfahren nutzt die Tatsache, dass das Tiefpassfilter auf Änderungen des Stromwerts immermit einer gewissen Trägheit reagiert und so Informationen über das schnelle Schalten in dieVerteilung der Stromwerte überträgt. Rießner (1998) hat die Theorie der Betaverteilungen aufMehrkanal- und Mehrzustandsmodelle erweitert.Ein Nachteil des Verfahrens liegt darin, dass es ausschließlich auf die Verteilung derStromwerte Bezug nimmt. Die konkrete Abfolge der Werte in der Zeitreihe wird dagegennicht berücksichtigt. Es ist deswegen davon auszugehen, dass ein Großteil der in der Zeitreiheenthaltenen Information verloren geht. Wie in dieser Arbeit gezeigt wird, ist es ein weitererNachteil, dass das für Filter erster Ordnung entwickelte Verfahren nicht ohne weiteres aufSignale angewendet werden kann, die mit Filtern höherer Ordnung gefiltert wurden.Da in der bisherigen Form des direkten Zeitreihenfits (Albertsen und Hansen, 1994) derEinfluss des Tiefpassfilters auf das im Schätzalgorithmus benutzte Amplitudenhistogrammnicht berücksichtigt ist, stand am Anfang dieser Arbeit der Gedanke, den direktenZeitreihenfit mit der Theorie der Betaverteilungen zu verschmelzen. Es zeigt sich allerdings,dass sich das Zeitauflösungsvermögen des direkten Zeitreihenfits auf diese Weise nichterhöhen lässt.Im zweiten Teil der Arbeit wird deswegen ein anderer Ansatz verfolgt. Hier wird direkt inder Ein-Schritt-Prädiktion die Zuordnung der Stromwerte zu den verschiedenen Zuständendes Markov-Modells davon abhängig gemacht, ob in der Prädiktion ein Zustandswechselangenommen wird oder nicht.

2. GrundlagenGrundsätzliches Ziel der Auswertung von Patch-Clamp-Messungen ist es, möglichst vieleInformationen über das der Zeitreihe zu Grunde liegende Markov-Modell zu erhalten.Interessant sind z.B. Anzahl der Kanäle, Anzahl der Zustände pro Kanal, Stromniveaus derverschiedenen Zustände, Art des Rauschens und Signal-Rausch-Verhältnis. Dieses Kapitelsoll einen Überblick über die bisher benutzten Auswerteverfahren geben. Insbesondere wirddie Funktionsweise des direkten Zeitreihenfits erklärt. Dadurch soll deutlich werden, anwelchem Punkt die Arbeit ansetzt.2.1. Die gemessene ZeitreiheAbbildung 2.1.1 zeigt den Zeitverlauf des Stroms durch den K + -Kanal des Plasmatropfensvon Chara (Farokhi et al., 2000).I/pA0 3,3 6,60,25 0,5Zeit/sAbbildung 2.1.1 Ausschnitt aus der Zeitreihe des K + -Kanals von Chara, Abtastrate 100 kHz,Abknickfrequenz des Tiefpasses 25 kHz, Membranspannung 80 mV. Die Badlösung enthält 230mM KNO 3 , 20 mM TlNO 3 , 5 mM Ca(NO 3 ) 2 , die Pipettenlösung 250 mM KNO 3 , 5 mM Ca(NO 3 ) 2 .

4 Kapitel 2: GrundlagenDer Darstellung der Zeitreihe können folgende für die Analyse wichtigen Aussagen sofortentnommen werden:1. Der Strom springt zwischen diskreten Niveaus hin und her.2. Die Daten sind mit starkem Rauschen überlagert.3. Die Schaltvorgänge sind zum Teil sehr schnell.Nicht ohne weiteres können hingegen Aussagen darüber gemacht werden, ob zu jedemStromniveau genau ein Zustand des Kanals gehört oder ob mehrere Zustände einem Niveauzuzuordnen sind. Insbesondere ist auch nicht zu erkennen, mit welchen Übergangsratenzwischen den Zuständen gewechselt wird.2.2. Das AmplitudenhistogrammDie erste Information, die aus einer Messreihe wie in Abbildung 2.1.1 gewonnen wird, ist dasAmplitudenhistogramm. Das Amplitudenhistogramm enthält die Information, welcheStromwerte wie oft auftreten. Dazu zählt ein Programm, wie viele Messwerte im Zeitintervall∆t im Bereich I bis I+∆I liegen, und trägt diese Zahl N über I auf. Bei nicht allzu starkverrauschten Daten ergibt sich eine mehrgipflige Verteilung. Die Abszissenwerte der Maximadieser Verteilungen werden als die Niveaus der unverrauschten Zeitreihe angesehen.100001000N100100 3,3 6,6I/pAAbbildung 2.2.1: Amplitudenhistogramm der Zeitreihe aus Abbildung 2.1.1 durchGaußverteilungen angenähert; Nominalniveaus: I c =0 pA, I o1 =3,3 pA, I o2 =6,6 pA, σ Rausch =1,8 pADie nominellen Ströme der Zustände des Markov-Prozesses sind durch die senkrechtenLinien gekennzeichnet. Ist die Messreihe mit gaußverteiltem Rauschen überlagert, kann dasAmplitudenhistogramm f ges (I) durch eine Summe von Gaußfunktionen angenähert werden,deren Maxima gleich den Nominalniveaus sind.

Kapitel 2: Grundlagen 5∑2⎛⎟ ⎞⎜( I − I )k( 2.1)f ( I)= N expgesk2⎝ 2σkk ⎠Die I k sind die nominellen Ströme, die σ k die zugehörigen Standardabweichungen desRauschens und die N k Normierungsfaktoren.Diese Näherung gilt jedoch nur für langsame, mit Gaußschem Rauschen überlagerteSchaltprozesse. Unten, in Kapitel 3, wird dieses Problem detaillierter besprochen.2.3. Rekonstruktion der originalen unverrauschtenZeitreiheBevor man versucht, die unverrauschte Zeitreihe wiederzugewinnen, also das Rauschen derMessapparatur zu eliminieren, muss man sich darüber im Klaren sein, wie viel Rauschen imKanal selbst erzeugt wird.Als einzige Rauschquelle des Stroms durch das Transportmolekül wird Poisson-Rauschenangenommen (Schottky, 1918, 1922; Läuger, 1980). Ein Kanal von 3,2 pA Leitfähigkeit lässtbei 10 µs Öffnungszeit 200 Ionen hindurch. Der Effektivwert des Rauschens bei Annahmeeiner Poisson-Verteilung berechnet sich dann als Quadratwurzel der durchgelassenen Ionenzu 14 Ionen und ist damit gegenüber dem Rauschen der Messapparatur vernachlässigbar. DerStrom durch das Transportprotein wird deswegen ab jetzt als unverrauscht vorausgesetzt.Um aus der verrauschten Zeitreihe in Abbildung 2.1.1 die Originalreihe zu gewinnen, mussein Detektor eingesetzt werden, der erkennt, wann das Transportmolekül schaltet, also zuwelchen Zeitpunkten Sprünge in der Zeitreihe vorkommen. Ein Ausschnitt der mit solcheinem Sprungdetektor rekonstruierten Originalzeitreihe ist in Abbildung 2.3.1 dargestellt.I/pA0 3,3 6,63 6Zeit/msAbbildung 2.3.1: Ausschnitt aus der Rekonstruktion des originalen Verlaufs der Zeitreihe ausAbbildung 2.1.1

6 Kapitel 2: GrundlagenDerartige Sprungdetektoren haben immer einen eingebauten Integrator. Das kann einTiefpassfilter sein, das für den nachfolgenden Schwellenwertschalter das Rauschen glättet,oder ein Summationsprozess, wie in dem von Schultze und Draber (1993) eingeführtenHinkley-Detektor.Dieser Integrator verhindert aber die Detektion schneller Prozesse. Er führt zu sogenannten missed events, also zu Schaltereignissen, die nicht erkannt werden. Hierfür gibt esretrospektive Missed-Events-Korrekturen (Crouzy und Sigworth, 1990; Draber und Schultze,1994) und auch solche, die direkt in den Fitalgorithmus eingebaut werden (Survivor-Funktionen: Ball und Sansom, 1989; Hawkes et al., 1990; Colquhoun et al., 1996).Untersuchungen von Farokhi et al. (2000) ergeben allerdings geringe Erfolgsaussichten fürdiese mathematisch sehr aufwändigen Verfahren. Bei der unten beschriebenen Dwell-Time-Analyse, deren Zeitauflösung vom benutzten Detektor abhängt, hat sich nämlich einehorizontale Abhängigkeit der Fitergebnisse von den in der Simulation benutztenÜbergangsraten ergeben. Aus einer horizontalen Linie lassen sich jedoch selbst mitkompliziertesten Verfahren keine Rückschlüsse auf die Abszissenwerte ziehen.2.4. Die Dwell-Time-AnalyseIn einem Dwell-Time-Histogramm (Verweildauerhistogramm) ist die Information enthalten,wie oft das System für bestimmte Zeitintervalle in einem Zustand bleibt, ohne dass einSprung stattfindet. Das Histogramm entsteht, indem in einer rekonstruierten Zeitreihe wie inAbbildung 2.3.1 abgezählt wird, wie häufig der Strom für eine Verweildauer zwischen τ undτ+∆t auf dem Stromniveau n verweilt. Diese Zahl N wird über τ aufgetragen.N/1000001 2 31 2τ/msAbbildung 2.4.1: Dwell-Time-Histogramm des Offen-Niveaus der Zeitreihe aus Abbildung 2.1.1Das Histogramm kann mit einer Summe von Exponentialfunktionen angenähert werden. Hatein Kanal z.B. L Offen-Zustände ist das zugehörige Dwell-Time-Histogramm der Offen-Zustände gegeben durch:

Kapitel 2: Grundlagen 7yoffen=L∑i=1a ei−λ τi( 2.2)Es gibt zwei Möglichkeiten, aus den Dwell-Time-Histogrammen Rückschlüsse auf dieÜbergangsraten des Markov-Modells zu ziehen. Der Zeitkonstantenfit nach Gleichung 2.2nähert durch Variation der Zeitkonstanten der Exponentialfunktionen das theoretische Dwell-Time-Histogramm an das gemessene an. Nachdem der Fit die beste Übereinstimmungzwischen gemessenem und theoretischem Histogramm gefunden hat, werden dieÜbergangsraten des Markov-Modells aus den Zeitkonstanten berechnet. Der Zusammenhangzwischen Zeitkonstanten und Übergangsraten ist aber teilweise sehr kompliziert (Jackson,1997).Der Target-Fit hingegen variiert direkt die Übergangsraten. Indem aus den Übergangsratendie Zeitkonstanten berechnet werden, kann auch hier die Abweichung zwischen gemessenemund theoretischem Dwell-Time-Histogramm minimiert werden. Im allgemeinen sind dieErgebnisse des Target-Fits besser als die des Zeitkonstantenfits (Blunck et al., 1998).Die Minimierung der Abweichung kann in beiden Fällen entweder nach der Methode derkleinsten Quadrate oder durch einen Maximum-Likelihood-Fit durchgeführt werden(Kukulenz, 1997).2.5. Der direkte ZeitreihenfitDieses Verfahren wurde zuerst von Fredkin und Rice (1992) in die Patch-Clamp-Analyseeingeführt. Albertsen und Hansen (1994) erweiterten es für die Mehrkanalanalyse.Bevor der unten zu besprechende direkte Zeitreihenfit angewendet werden kann, werdeneinige Eingangsinformationen benötigt, die mit den oben dargestellten Verfahren gewonnenwerden müssen. Diese sind in der folgenden Abbildung links dargestellt.Anzahl derZustände pro KanalAnzahl der KanäleSignal-Rausch-VerhältnisStromniveausZeitreiheDirekterZeitreihenfitÜbergangsratenzwischen denZuständen desEinzelkanalsAbbildung 2.5.1: Funktionsweise des direkten ZeitreihenfitsAnzahl der Kanäle, Stromniveaus und Signal-Rausch-Verhältnis können dem in Kapitel 2.2eingeführten Amplitudenhistogramm entnommen werden. Die Anzahl der Zustände gewinnt

8 Kapitel 2: Grundlagenman mit Hilfe eines Dwell-Time-Fits aus dem in Kapitel 2.4 vorgestellten Dwell-Time-Histogramm.Die grundsätzliche Idee, die hinter dem Algorithmus steckt, wird durch die folgende Ein-Schritt-Schätzgleichung (forward-probability; Huang et al., 1990) beschrieben.Lak( i)= ∑ak−1 ( j)pjifi(yk)(2.3)j=1Die a k-1 (j) geben die (rekursiv berechnete) Wahrscheinlichkeit an, das Modell zum Zeitpunkt(k-1)∆t im Zustand j zu finden. Durch die Übergangswahrscheinlichkeiten p ji wird dieWahrscheinlichkeit angegeben, dass das System im Zeitintervall zwischen (k-1)∆t und k∆tvom Zustand j in den Zustand i wechselt. Die Wahrscheinlichkeit a k (i), das System zumZeitpunkt k im Zustand i zu finden, ist gleich der Summe der Wahrscheinlichkeiten, dass voneinem Zustand j in den Zustand i gewechselt wurde.Der Vergleich zwischen gemessenem und vorhergesagtem Datenwert wird durch dieMultiplikation mit f i (y k ) realisiert. Die f i (y k ) stehen für die Wahrscheinlichkeit, dass dergemessene Strom y k zum Zustand i gehört. Um die Verteilungen f i (y) zu erhalten, wird dasAmplitudenhistogramm f(y) (Abbildung 2.2.1) in Einzelhistogramme aufgespaltet:f ( y)= ∑f i( y)( 2.4)iAuf diese Aufspaltung wird in Kapitel 3 noch genauer eingegangen.Für die Bestimmung der Wahrscheinlichkeit muss jede der Verteilungen f i auf 1 normiertwerden. f i (y k ) ist dann die Ordinate des Stromwerts y k im i-ten Histogramm.Enthält das Markov-Modell mehrere Zustände gleicher Leitfähigkeit (Hidden-Markov-Modell), muss nicht jede einzelne Verteilung auf 1 normiert werden, sondern die Summe derEinzelverteilungen, die auf diesem Niveau liegen. Formal heißt das:y∑maxm f ( y ) = 1 ( j = 1... N)( 2.5)jy=0jwobei die m j jeweils die Anzahl der Zustände gleicher Leitfähigkeit und N die Anzahl derverschiedenen Niveaus angeben.Das Produkt a k-1 (j)p ji f i (y k ) nimmt maximale Werte an, wenn der vorhergesagte Zustandder ist, der zu dem Einzelhistogramm f i (y) gehört, das für das gemessene y k den größten Wertannimmt. Das tritt ein, wenn der Strom des vorhergesagten Zustandes am besten mit demgemessenen Strom übereinstimmt.Diese Schätzung nach Gleichung 2.3 wird für jeden Zeitpunkt k der Zeitreihe durchgeführt.Aus allen Schätzungen wird die Likelihood L berechnet.= ∏∑k iL a ki)( ( 2.6)Beim Fit eines neuen Datensatzes sind die Anfangsverteilung der Zustände, also die a 0 (i),sowie die Übergangswahrscheinlichkeiten p ji unbekannt.Die beste Schätzung für die a 0 (i) sind die Steady-State-Werte, die sich als Intergral überdie aus dem Amplitudenhistogramm gewonnen Einzelverteilungen f i (y k ) ergeben. Auf dieWahl der a 0 (i) wird hier kein besonderes Augenmerk gelegt, da ihr Einfluss auf dieLikelihood bei langen Zeitreihen sehr gering ist (Chung et al., 1991).

Kapitel 2: Grundlagen 9Die p ji werden mit Hilfe eines Fitalgorithmus variiert, bis die Likelihood L in Gleichung2.6 einen Maximalwert annimmt (Maximum-Likelihood-Verfahren). Diese Maximierung istsehr zeitaufwendig und führte bei den Analysen von Farokhi et al. (2000) zu Rechenzeitenvon drei Tagen für eine Messreihe von 20 s.Das Ziel der Kanalstrom-Analyse sind aber nicht die in Gleichung 2.3 angegebenen p ji , diesich auf endliche Abtastraten beziehen, sondern die k ji , die die Übergangsraten ininfinitesimal kurzer Zeit beschreiben. Nur die k ji haben nämlich eine vom Messverfahrenunabhängige Bedeutung und erlauben die Einführung physikalischer Nebenbedingungen.Die Matrix P der p ji erhält man aus der Matrix K der k ji durch Lösen der Kolmogorov-Gleichung:ddtP( K,∆t)= K * P(K,∆t)( 2.7)Die Lösung dieser Differentialgleichung ist gegeben durch (Albertsen, 1994):P( K , ∆t)= exp( K∆t)( 2.8)Durchgeführt wird diese mehrdimensionale Maximierungsaufgabe mit Hilfe des Downhill-Simplex-Algorithmus (Press et al., 1987). Da auch mit modernen PCs die Rechenzeit, die dieFitalgorithmen benötigen, nicht zu vernachlässigen ist, ist es ein wichtiger Vorteil desdirekten Zeitreihenfits, dass die Zahl der benötigten Rechenschritte nur linear mit der Anzahlder Datenpunkte steigt. Diese Eigenschaft wird dadurch erreicht, dass im Prädiktionsschritt(Gleichung 2.3) jeweils nur auf den direkt vorhergehenden Zeitpunkt Bezug genommen wird.Damit ist die Behandlung des Kanalschaltens als Markov-Prozess eine wesentlicheVoraussetzung.

12 Kapitel 3: Das Amplitudenhistogramm bei schnellem SchaltenA) B)NC)0 I/pA 3,30 I/pA 3,3NN0 I/pA 3,3Abbildung 3.1.2: Unverrauschte Amplitudenhistogramme des Ein-Kanal-C/O-Modells mitk OC =k CO =100kHz, A) Ungefiltertes Signal, B) Abknickfrequenz des Filters erster Ordnung 100kHz, C) Abknickfrequenz des Filters erster Ordnung 10 kHzIn Abbildung 3.1.2.A liegen alle Stromwerte auf den Nominalniveaus und die Verteilungbesteht nur aus zwei Deltapeaks. Eine derartige Verteilung kommt jedoch bei Messungen nievor, weil zu jeder Aufnahmeanlage notwendigerweise ein Tiefpass gehört. Dieser kann einerÄnderung des Stroms aber nicht instantan folgen, sondern er nähert sich immer exponentiellan das neue Niveau an. Das führt dazu, dass bei jedem Sprung einige Messwerte zwischenden Niveaus entstehen. Das nur aus den Peaks bestehende Amplitudenhistogramm inAbbildung 3.1.2.A kann als Näherung verwendet werden, wenn die Übergangsraten einesMarkov-Modells klein sind im Vergleich zur Abknickfrequenz des Filters. Dann gibt esnämlich so wenige Sprünge, dass die Zwischenwerte im Vergleich zu den Peaks nicht insGewicht fallen.

Kapitel 3: Das Amplitudenhistogramm bei schnellem Schalten 13In Abbildung 3.1.2.B sind die Übergangsraten gleich der Abknickfrequenz des Filters. Esfinden dann schon so viele Sprünge statt, dass einige Werte neben den Nominalniveausliegen. Mit größer werdenden Übergangsraten liegen immer mehr Werte zwischen denNiveaus, bis im Extremfall ein Gleichstrom entsteht und das Amplitudenhistogramm nur nochaus einem Deltapeak in der Mitte besteht. Abbildung 3.1.2.C zeigt dasAmplitudenhistogramm, wenn die Übergangsraten beim Zehnfachen der Abknickfrequenzliegen. Die Peaks auf den Nominalniveaus sind schon völlig verschwunden, und es bleibt nurnoch ein Hügel in der Mitte.Unverrauschte Verteilungen wie in Abbildung 3.1.2 sind jedoch bei Patch-Clamp-Messungen nie gegeben. Die Tatsache, dass der Filterausgangswert u sich mit demRauschwert (y-u) auf verschiedene Weise zum Messwert y zusammensetzen kann, wirdmittels eines Faltungsintegrals der zugehörigen Verteilungen f, a und r berücksichtigt.f y)= ∫ a(u)*r(y − u)du( (3.1)Die verrauschten Amplitudenhistogramme der Verteilungen in Abbildung 3.1.2 erhält manalso durch Faltung mit dem Gaußhügel. Es ergibt aber gerade die Faltung des Deltapeaks mitder Gaußverteilung wieder eine Gaußverteilung. Wenn man also wie in Abbildung 2.2.1davon ausgeht, dass sich das Amplitudenhistogramm in Gaußverteilungen aufspalten lässt, istdarin gleichzeitig die Annahme enthalten, das unverrauschte Amplitudenhistogramm bestehenur aus Deltapeaks auf den Nominalniveaus. Abbildung 3.1.2 zeigt jedoch, dass dieseNäherung nur legitim ist, wenn die Übergangsraten klein im Vergleich zur Abknickfrequenzdes Filters sind.Obwohl man in Abbildung 3.1.2.B, in der die Übergangsraten gleich der Abknickfrequenzsind, den Eindruck hat, dass die Zwischenwerte im Vergleich zu den Peaks kaum ins Gewichtfallen, zeigt Abbildung 3.1.1, dass diese Abweichungen von den Deltapeaks schon einendeutlichen Einfluss auf das verrauschte Amplitudenhistogramm haben. Abbildung 3.1.1.Bzeigt nämlich gerade das Amplitudenhistogramm einer verrauschten Zeitreihe, bei dem dieÜbergangsraten gleich der Abknickfrequenz sind. Wenn also die Abweichungen vonDeltapeaks in Abbildung 3.1.2.B vernachlässigbar wären, dürfte kein Unterschied zwischenAbbildung 3.1.1.B und Abbildung 3.1.1.A zu sehen sein.Durch die Aufspaltung des Amplitudenhistogramms in Gaußverteilungen wird zwar dieVerbreiterung der Nominalniveaus durch Rauschen berücksichtigt, nicht jedoch die, die durchschnelles Schalten entsteht. Abbildung 3.1.1 zeigt aber deutlich, dass dieser Einfluss nichtvernachlässigbar ist. Im folgenden Abschnitt wird die Theorie der Betaverteilungenvorgestellt, mit der die Veränderung des Amplitudenhistogramms durch schnelles Schaltenberechnet werden kann.3.2. BetaverteilungenDie mathematische Behandlung der Auswirkung schnellen Schaltens auf dasAmplitudenhistogramm geht auf FitzHugh (1983) zurück. Mit Hilfe einer Theorie zurBehandlung von Telegraphensignalen (Theorie der Betaverteilungen, Pawula 1970) konnte erdas Amplitudenhistogramm des Ein-Kanal-C/O-Modells berechnen. Rießner (1994, 1998)entwickelte die Theorie der erweiterten Betaverteilungen, die die Berechnung desAmplitudenhistogramms allgemeiner Mehrzustands- und Mehrkanalmodelle ermöglicht. Die

14 Kapitel 3: Das Amplitudenhistogramm bei schnellem Schaltengesamte Theorie der Betaverteilungen ist allerdings beschränkt auf Signale, die mit einemFilter erster Ordnung gefiltert sind.Zur Berechnung der Betaverteilung werden sowohl der Kanal als auch das Filter alsMarkov-Prozess betrachtet. Für jeden Übergang vom Zustand i in den Zustand j, der im Kanalmöglich ist, wird dann eine eigene Dichtefunktion f ij (I) für den Stromwert I am Ausgang desFilters berechnet. Die Dichtefunktion des Zustands j ergibt sich als Summe derDichtefunktionen der einzelnen Übergänge nach j über alle vorherigen Zustände i.fj( I)= ∑ fij( I)(3.2)iUm die absolute Wahrscheinlichkeit zu finden, einen bestimmten Stromwert I amFilterausgang zu messen, muss die Dichtefunktion f j noch mit derBesetzungswahrscheinlichkeit q j des Zustandes j multipliziert werden. Berechnet wird dieDichtefunktion q j f j (I) des Zustandes j nach folgender Differentialgleichung:qjf/j( I)=( ujj−1)*qjf ( I)−jI − I∑≠ i jjuij* q f ( I)ii(3.3)I j ist das Stromniveau des Zustandes j. Die u ij sind das Produkt der Übergangsraten k ij vomZustand i in den Zustand j mit der Zeitkonstante τ des Filters.uij= k ij*τ(3.4)Das Lösen der Differentialgleichung 3.3 für alle Zustände j liefert dann alleEinzelverteilungen des Amplitudenhistogramms. Eine Erweiterung dieser Theorie auf Filterhöherer Ordnung ist nicht ohne weiteres möglich, weil sich nur Filter erster Ordnung einfachals Markov-Prozess darstellen lassen.3.3. Die Aufgabe dieser ArbeitDer in Kapitel 2.5 beschriebene Algorithmus des direkten Zeitreihenfits berücksichtigt dieWirkung des Filters auf die Zeitreihe nicht. Es sind zwei Möglichkeiten denkbar, hier eineVerbesserung einzuführen.1. Aufspaltung des Amplitudenhistogramms in Betaverteilungen anstatt inGaußverteilungen2. Einbau des Filters in den VorhersagealgorithmusZu 1:Die folgende Abbildung zeigt, dass bei Vorliegen schnellen Schaltens die Wahrscheinlichkeitder Zuordnung eines Stroms zu einem bestimmten Niveau sich erheblich ändert, wenn manvon Gauß- auf Betaverteilungen übergeht. Bei schnellem Schalten könnte also dieVerwendung von Gauß- anstatt von Betaverteilungen zu Fehlern in der Prädiktionsgleichung2.3 und damit zu Fehleinschätzungen der Parameter führen.

Kapitel 3: Das Amplitudenhistogramm bei schnellem Schalten 15A) B)Beta IcBeta IoGauss IcGauss IoAmpl-HistogrammBeta-SummeGauß-SummeNN0 I/pA 3,30 I/pA 3,3Abbildung 3.3.1: A) Gauß- und Beta-Einzelverteilungen eines Ein-Kanal-C/O-Modells mitÜbergangsraten bei der fünffachen Abknickfrequenz (I O , I C : Nominalniveaus von Offen- undGeschlossen-Zustand), B) Summe der Einzelverteilungen aus Abbildung A) im Vergleich mitdem wahren AmplitudenhistogrammAbbildung 3.3.1.A zeigt die Gauß- und Beta-Einzelverteilungen eines Ein-Kanal-C/O-Modells, bei dem beide Übergangsraten bei der fünffachen Abknickfrequenz liegen. InAbbildung 3.3.1.B sind die Summen der Einzelverteilungen aus Abbildung 3.3.1.A imVergleich mit dem tatsächlichen Amplitudenhistogramm dargestellt.Abbildung 3.3.1.B stellt sehr anschaulich die Idee dar. Die Summe der Gaußverteilungenweicht deutlich vom wahren Amplitudenhistogramm ab, während die Summe derBetaverteilungen gut mit ihm übereinstimmt. Dass mit Hilfe dieser EinzelverteilungenPrädiktion und Messwert verglichen werden, ist aber die einzige Kopplung, die der direkteZeitreihenfit zur Messreihe hat. Da nun das Amplitudenhistogramm durch die Aufspaltung inBeta-Einzelverteilungen wesentlich besser repräsentiert wird als durch die Aufspaltung inGauß-Einzelverteilungen, ist es eine scheinbar einleuchtende Maßnahme, im direktenZeitreihenfit Beta- anstatt von Gaußverteilungen für die Zuordnung der Stromwerte zuverwenden.Probleme bei der Verwendung von Betaverteilungen anstatt von Gaußverteilungen könntenauftreten, wenn eine Messreihe schnelles und langsames Schalten enthält. Für die langsamenBereiche müsste man Gaußverteilungen nehmen, für die schnellen Betaverteilungen. Eskönnte also sein, dass sich die Leistungsfähigkeit des Verfahrens verbessern lässt, wenn manversucht, aus der Abfolge der Messwerte Informationen über das Schalten zu gewinnen, undin Abhängigkeit davon Gauß- oder Betaverteilungen zum Einsatz bringt.

16 Kapitel 3: Das Amplitudenhistogramm bei schnellem SchaltenZu 2:Ein von Betaverteilungen völlig unabhängiger Ansatz wird im zweiten Teil verfolgt. Dortwerden in Prädiktionsgleichung 2.3 unterschiedliche Verteilungen f i (y) in Abhängigkeitdavon gewählt, ob die Wahrscheinlichkeit für einen Sprung oder für ein Verbleiben imZustand während des letzten Abtastintervalls bestimmt wird. Formal heißt das:L⎧ g (y ) für i = j⎪ i kak( i)= ∑ak−1( j)pji*(3.5)⎨j=1 ⎪gv(y ) für i ≠ j⎩ i kFür i=j werden wie bisher Gaußverteilungen g i (y) verwendet, deren Maxima auf denNominalniveaus liegen. Findet jedoch ein Sprung statt (i≠j), werden verschobeneGaußverteilungen g i v (y) eingesetzt, deren Maxima vom Nominalniveau des Zielzustandes inRichtung des Quellzustandes verschoben sind.

4. Betaverteilungen höherer Ordnung4.1. Das Problem der Filterung höherer OrdnungUm im direkten Zeitreihenfit die Gaußverteilungen durch Betaverteilungen ersetzen zukönnen, ist es notwendige Voraussetzung, dass die Betaverteilungen überhaupt berechnetwerden können. In Kapitel 3.2 hatte ich die Theorie der Betaverteilungen dargestellt. Diesegilt aber nur für mit Filtern erster Ordnung gefilterte Signale. In Aufzeichnungsanlagenwerden aber wegen des günstigeren Frequenzganges (steiler Übergang vom Durchlass- zumDämpfungsbereich) im allgemeinen Filter höherer Ordnung verwendet. Die Messungenunserer Arbeitsgruppe z.B. sind mit einem vierpoligen Tiefpass gefiltert. Es muss also zuerstüberprüft werden, wie sehr sich das Amplitudenhistogramm der einpolig gefiltertenMessreihe von dem der vierpolig gefilterten unterscheidet. Um vorhandene Unterschiedebesser erkennen zu können, sind alle Amplitudenhistogramme dieses Kapitels unverrauscht.Dass nicht ohne weiteres vernachlässigt werden kann, mit Filtern welcher Ordnung dieZeitreihe gefiltert wurde, zeigt Abbildung 4.1.1. Dargestellt ist zweimal dasAmplitudenhistogramm eines Ein-Kanal-C/O-Modells mit k CO =k OC =100 kHz. Einmal wurdedie Zeitreihe durch ein Filter erster Ordnung mit einer Abknickfrequenz von 20 kHz gefiltertund einmal durch ein Filter vierter Ordnung mit einer Abknickfrequenz von 20 kHz. DieAbtastrate lag bei 200 kHz.Bessel 4, 20kHzBessel 1, 20khzN0 I/pA 3,3Abbildung 4.1.1: Amplitudenhistogramme eines Ein-Kanal-C/O-Modells mit k CO =k OC =100 kHz,Zeitreihe einmal mit einpoligem und einmal mit vierpoligem Tiefpass der Abknickfrequenz 20kHz gefiltert

18 Kapitel 4: Betaverteilungen höherer OrdnungEs ist gut zu sehen, dass die Filterung mit dem vierpoligen Filter dazu führt, dass die Wertewesentlich stärker in der Mitte konzentriert sind und dass dafür die Peaks auf denNominalniveaus weniger ausgeprägt sind.Um die Theorie der Betaverteilungen von Filtern erster Ordnung dennoch auf Filterhöherer Ordnung anwenden zu können, hat Yellen (1984) einen Skalierungsfaktor für dieAbknickfrequenz des einpoligen Tiefpasses eingeführt. Er ging davon aus, dass durch denKorrekturfaktor für die Abknickfrequenz die Amplitudenhistogramme aneinanderangeglichen werden. Dieser Ansatz soll hier anhand von Simulationen überprüft werden.Dazu werden folgende Untersuchungen durchgeführt.4.2. Angleichen der SprungantwortenAls erster Ansatz soll versucht werden, die Unterschiede der Amplitudenhistogrammedadurch zu minimieren, dass durch Korrekturfaktoren für die Abknickfrequenzen dieSprungantworten der verschiedenen Filter einander angenähert werden.Die Sprungantwort lässt sich aus der Übertragungsfunktion des Filters berechnen.Gleichung 4.1 gibt die Übertragungsfunktion F(p) eines Tiefpassfilters n-ter Ordnung an.aF(p)=n(4.1)( p − p0)Durch die Konstanten in Gleichung 4.1 werden die Eigenschaften des Filters festgelegt. DieAntwort des Filters auf die Anregung mit einem δ-Impuls erhält man durch Laplace-Transformation der Übertragungsfunktion des Filters. Gleichung 4.2 gibt die ImpulsantwortI(t) für die verschiedenen Ordnungen n des Filters an.It=An−1−Bt( ) *(4.2)A und B sind von der Art des Filters abhängige Konstanten. Durch Faltung der Impulsantwortmit der Stufenfunktion nach Gleichung 3.1 lässt sich daraus die Sprungantwort S(t)bestimmen:teS(t)= 1−P ( t)* e( n−1)−Bt(4.3)P (n-1) ist ein alternierendes Polynom vom Grade n-1.Die Gleichungen 4.1 – 4.3 beziehen sich auf das einfache Tiefpassfilter. In der Praxiswerden jedoch Besselfilter benutzt, in deren Übertragungsfunktionen nicht alle Pole auf dergleichen Stelle liegen. Die Übertragungsfunktionen der Besselfilter verschiedener Ordnungkönnen der gängigen Filterliteratur (z.B. Tietze und Schenk, 1971) entnommen werden unddaraus die Sprungantworten auf die in Gleichungen 4.1 – 4.3 beschriebene Weise berechnetwerden. Da die Gleichungen des Besselfilters sehr unanschaulich sind, habe ich hier davonabgesehen, sie anzugeben, zumal die Struktur der Sprungantworten anhand von Gleichung 4.3besser zu erkennen ist. Ich beschränke mich auf die graphische Darstellung derSprungantworten der verschiedenen Besselfilter in Abbildung 4.2.1. Berechnung undDarstellung dieser Sprungantworten wurden mit dem Programm „Matlab for Windows,Version 4.2.1“ durchgeführt.

Kapitel 4: Betaverteilungen höherer Ordnung 191.210.80.60.40.20Bessel 1Bessel 2Bessel 4Bessel 80 1 2 3 4t/10e-04sAbbildung 4.2.1: Sprungantworten von ein-, zwei-, vier- und achtpoligem Besselfilter bei einerAbknickfrequenz von 5 kHzJe mehr Pole das Filter hat, desto mehr Verzögerung erfährt das Signal und desto wenigersteil ist der Anstieg. Da bei der Simulation der Zeitreihen das Filter nur in Form dieserSprungantworten eingeht, ist es ein sinnvoller Ansatz, zu versuchen, die Form der Antworteneinander möglichst gut anzunähern. Dazu habe ich zunächst festgestellt, dass es keinenEinfluss auf das Amplitudenhistogramm hat, wenn man die Sprungantworten auf derZeitachse parallel verschiebt. Wenn die Sprungantworten, wie bei uns, in digitaler Formvorliegen, kann das einfach dadurch geschehen, dass vor die eigentliche Antwort einebeliebige Zahl von Nullen gesetzt wird.Die Sprungantwort des einpoligen Filters kann also soweit nach rechts verschoben werden,dass der Anstieg genauso spät erfolgt wie beim vierpoligen Filter (Abbildung 4.2.2.A). Eineweitere Annäherung kann nun dadurch erreicht werden, dass die Zeitachse des vierpoligenFilters neu skaliert wird und damit die Steigung des vierpoligen Filters an die des einpoligenangepasst wird. Die Umskalierung der Zeitachse entspricht aber einer Änderung derAbknickfrequenz des Filters. Staucht man die Sprungantwort z.B. auf die halbe Zeitzusammen, erhöht man damit die Abknickfrequenz auf das Doppelte.Mit Hilfe eines Minimierungs-Algorithmus habe ich die Abknickfrequenzen von zwei-,vier- und achtpoligem Filter so variiert, dass die Sprungantworten optimal an die deseinpoligen Filters angenähert sind. Da die Sprungantworten in digitaler Form vorliegen,konnte die Minimierung so vollzogen werden, dass für jeden Punkt i die Differenz zwischeneinpoliger Sprungantwort S 1 und mehrpoliger Sprungantwort S M berechnet wurde und dieSumme der quadrierten Differenzen durch Variation der Abknickfrequenz der Filter höhererOrdnung minimiert wurde.∑i2( S1 ( i)− SM( i))→ Min.(4.4)Das Ergebnis dieser Minimierungen zeigen die Abbildungen 4.2.2.B-D. Dargestellt sindjeweils die angepassten Sprungantworten der Filter höherer Ordnung sowie die einpoligeAntwort.

20 Kapitel 4: Betaverteilungen höherer OrdnungA) B)1.21.2110.80.80.60.60.40.40.2Bessel 1, verschoben0.2Bessel 10Bessel 40Bessel 2, optimal0 t/10e-04s50 t/10e-04 s3C) D)1.21.2110.80.80.60.60.40.40.2Bessel 10.2Bessel 10Bessel 4, optimal0Bessel 8, optimal0 t/10e-04s50 t/10e-04s5Abbildung 4.2.2: A) Sprungantwort des einpoligen Filters gegenüber der des vierpoligenzeitverschoben, B) Abknickfrequenz des zweipoligen Filters um den Faktor 1,10 erhöht, C)Abknickfrequenz des vierpoligen Filters um den Faktor 1,35 erhöht, D) Abknickfrequenz desachtpoligen Filters um den Faktor 1,69 erhöhtFür eine optimale Annäherung der Sprungantworten muss also die Abknickfrequenz desvierpoligen Filters um den Faktor 1,35 höher sein als die Abknickfrequenz des einpoligenFilters. Beim zweipoligen Besselfilter beträgt dieser Faktor 1,1, beim achtpoligen 1,69.Der Faktor, den Yellen (1984) durch Simulationen für das achtpolige Besselfilter gefundenhatte, liegt zum Vergleich bei 1,43.

Kapitel 4: Betaverteilungen höherer Ordnung 214.3. Vierpoliges BesselfilterDurch Simulationen muss jetzt gezeigt werden, dass die Anpassung der einpoligen an diemehrpoligen Filterantworten tatsächlich den gewünschten Effekt, nämlich möglichst geringeAbweichungen zwischen den mit verschiedenen Filtern erzeugten Amplitudenhistogrammen,bringt. Zuerst soll das einpolige mit dem vierpoligen Filter verglichen werden. Ich habe dazueine Testreihe mit den drei in Abbildung 4.3.1 dargestellten Einkanal-C/O-Modellendurchgeführt.Modell 1: Modell 2:100 kHzC100 kHzModell 3:OC50 kHz100 kHzOC10 kHz100 kHzOAbbildung 4.3.1: Ein-Kanal-C/O-Modelle mit den Besetzungswahrscheinlichkeiten 1:1, 1:2 und1:10Die Übergangsrate k CO beträgt bei allen drei Modellen 100 kHz. Die Raten k OC sind sogewählt, dass sich Besetzungswahrscheinlichkeiten von 1:1, 1:2 und 1:10 ergeben. Durch dieBesetzungswahrscheinlichkeit eines Zustandes wird die Wahrscheinlichkeit angegeben, dasssich das System zu einem bestimmten Zeitpunkt in diesem Zustand befindet. Bei den hierbehandelten Markov-Modellen ist das Besetzungsverhältnis der beiden Zustände gleich demKehrwert des Verhältnisses der Übergangsraten.Für die Modelle aus Abbildung 4.3.1 wurden jeweils mit sieben verschiedenenAbknickfrequenzen ein- und vierpoliger Filter Zeitreihen erzeugt. Diese Abknickfrequenzenwaren 100 kHz, 50 kHz, 30 kHz, 20 kHz, 15 kHz, 10 kHz und 5 kHz, die Abtastrate war 200kHz. Außerdem wurden Zeitreihen mit einer um den in Abschnitt 4.2 gefundenenKorrekturfaktor 1,35 erhöhten Abknickfrequenz des vierpoligen Filters erzeugt. Im folgendensollen die aus diesen Zeitreihen gewonnenen Amplitudenhistogramme verglichen werden.Schon in Abbildung 4.1.1 wurde gezeigt, dass sich die Amplitudenhistogramme von einundvierpolig gefilterter Zeitreihe deutlich unterscheiden, wenn beide Filter die gleicheAbknickfrequenz haben. Die erste Aussage, die nach dem Vergleich der vierpoligenAmplitudenhistogramme mit und ohne Korrekturfaktor getroffen werden kann, ist die, dassfür alle Modelle und alle Abknickfrequenzen durch den Korrekturfaktor tatsächlich eineAnnäherung an das einpolige Amplitudenhistogramm erreicht wird. Beispielhaft dazu nur diefolgende Abbildung:

22 Kapitel 4: Betaverteilungen höherer OrdnungBessel 4, 20kHzBessel 1, 20khzBessel 4, korrigiertN0 I/pA 3,3Abbildung 4.3.2: Amplitudenhistogramme des Modells 1 (100/100 kHz), Abknickfrequenz desFilters erster und vierter Ordnung 20 kHz im Vergleich mit korrigierter Abknickfrequenz desFilters vierter Ordnung (27 kHz)Die Amplitudenhistogramme von Modell 1 (100/100 kHz) mit einer Abknickfrequenz von 20kHz der Filter erster und vierter Ordnung, die in Abbildung 4.3.2 zu sehen sind, waren inAbbildung 4.1.1 schon einmal dargestellt. Hier ist zusätzlich das Amplitudenhistogramm desFilters vierter Ordnung mit korrigierter Abknickfrequenz (20 kHz*1,35=27 kHz) abgebildet.Man sieht, dass durch den Korrekturfaktor eine deutliche Annäherung an das einpoligeAmplitudenhistogramm stattgefunden hat. Die Peaks haben jetzt die gleiche Höhe, und auchim Mittelbereich sind sich die Histogramme ähnlicher geworden. Eine völligeÜbereinstimmung im Mittelbereich wurde durch den Korrekturfaktor aber nicht erreicht.Im folgenden werden nur noch das einpolige Amplitudenhistogramm und das vierpoligemit Korrekturfaktor betrachtet, denn es muss die Frage beantwortet werden, ob dieAnnäherung, die durch den Korrekturfaktor in allen Fällen erreicht wird, für den hierverfolgten Zweck ausreichend ist.In Abbildung 4.3.3 sind die Amplitudenhistogramme aller drei Modelle für eineAbknickfrequenz des einpoligen Filters von 100 kHz und eine korrigierte Abknickfrequenzdes vierpoligen Filters von 135 kHz dargestellt.

Kapitel 4: Betaverteilungen höherer Ordnung 23A) B)Bessel 4, korrigiertBessel 1, 100kHzBessel 4, korrigiertBessel 1, 100kHZNN0 I/pA 3,30 I/pA 3,3C)Bessel 4, korrigiertBessel 1, 100kHzN0 I/pA 3,3Abbildung 4.3.3: Amplitudenhistogramme der Modelle 1 – 3 bei Abknickfrequenz deseinpoligen Tiefpasses von 100 kHz und des korrigierten vierpoligen Filters von 135 kHz, A)Modell 1 (100/100 kHz), B) Modell 2 (100/50 kHz), C) Modell 3 (100/10 kHz)In allen drei Diagrammen haben die Peaks beider Amplitudenhistogramme die gleiche Höhe.Zwischen den Nominalniveaus liegen so wenige Werte, dass nur geringe Unterschiedezwischen einpolig und vierpolig erzeugtem Amplitudenhistogramm zu erkennen sind.Die Beobachtung, dass die Peaks der Amplitudenhistogramme immer die gleiche Höhehaben, macht man für alle Abknickfrequenzen bis hinunter zu 20 kHz. Mit abnehmenderAbknickfrequenz werden die Peaks allerdings immer weniger ausgeprägt, und mehr Wertesind zwischen den Niveaus verstreut. Dabei führt das korrigierte vierpolige Filter eher zuWerten, die in der Mitte zwischen den Niveaus liegen, während sich beim einpoligen einGroßteil der Werte in direkter Umgebung der Nominalniveaus befindet.Abbildung 4.3.4 zeigt die Amplitudenhistogramme der drei Modelle nochmals für eineAbknickfrequenz des einpoligen Filters von 20 kHz.

24 Kapitel 4: Betaverteilungen höherer OrdnungA) B)Bessel 4, korrigiertBessel 1, 20khzBessel 4,korrigiertBessel 1, 20khz0 I/pA 3,3C)Bessel 4, korrigiertBessel 1, 20kHzNNN0 I/pA 3,30 I/pA 3,3Abbildung 4.3.4: Amplitudenhistogramme der Modelle 1 – 3 bei Abknickfrequenz deseinpoligen Tiefpasses von 20 kHz und des korrigierten vierpoligen Filters von 27 kHz, A) Modell1 (100/100 kHz), B) Modell 2 (100/50 kHz), C) Modell 3 (100/10 kHz)Bei weiterer Absenkung der Abknickfrequenzen kommt man in den Übergangsbereich, indem die Peaks sehr schnell kleiner werden und alle Werte nur noch im Mittelbereich liegen.Die um den Faktor 1,35 höhere Abknickfrequenz des vierpoligen Filters führt dazu, dass imAmplitudenhistogramm noch deutliche Peaks zu sehen sind, während dasAmplitudenhistogramm des einpoligen Filters nur noch eine gleichmäßige Verteilungzwischen den beiden Niveaus ist. Deutlich zu erkennen ist dieser Effekt in Abbildung 4.3.5.B,dem Amplitudenhistogramm des Modells 1 (100/100 kHz) bei einer Abknickfrequenz von 15kHz (vierpolig korrigiert: 20,25 kHz).Bei einer Abknickfrequenz von 10 kHz (vierpolig korrigiert: 13,5 kHz) in Abbildung4.3.5.A hat auch das Amplitudenhistogramm des vierpoligen Filters keine Peaks mehr. Es

Kapitel 4: Betaverteilungen höherer Ordnung 25setzt sich hier fort, was auch bei höheren Abknickfrequenzen schon zu beobachten war. Dasvierpolige Filter führt zu einer starken Konzentration der Werte um die Mittellage, währenddie Verteilung des einpoligen breiter und flacher ist.A) B)NNBessel 4,korrigiertBessel 1, 10 kHz0 I/pA 3,3Bessel 4, korrigiertBessel 1, 15kHz0 I/pA 3,3Abbildung 4.3.5: A) Amplitudenhistogramm des Modells 1 (100/100 kHz) bei Abknickfrequenzdes einpoligen Tiefpasses von 10 kHz und des korrigierten vierpoligen Filters von 13,5 kHz, B)Amplitudenhistogramm des Modells 1 (100/100 kHz) bei Abknickfrequenz des einpoligenTiefpasses von 15 kHz und des korrigierten vierpoligen Filters von 20,25 kHzFestzuhalten ist also, dass durch die Anpassung der einpoligen an die vierpoligeSprungantwort erreicht wird, dass mit beiden Filtern die Peaks auf den Nominalniveaus gleichhoch sind, solange die schnellste Übergangsrate die fünffache Abknickfrequenz deseinpoligen Filters nicht überschreitet. Eine Angleichung der Amplitudenhistogrammezwischen den Niveaus gelingt dagegen nicht. Das vierpolige Filter führt zu einerKonzentration der Werte in der Mitte, während das einpolige Filter eher Werte in direkterUmgebung der Nominalniveaus erzeugt.Werden die Übergangsraten größer als die fünffache Abknickfrequenz, werden die Peaksauf den Niveaus sehr schnell kleiner, und alle Stromwerte liegen im Mittelbereich. Auch jetztist die vom vierpoligen Filter erzeugte Verteilung stark in der Mitte konzentriert, während dievom einpoligen erzeugte breiter und flacher ist.Das Amplitudenhistogramm eines ungefilterten Signals, das gar nichts über die Größe derÜbergangsraten aussagt, besteht nur aus Peaks auf den Nominalniveaus. Gerade der Bereichzwischen den Niveaus, in dem es nicht gelungen ist, das Amplitudenhistogramm desvierpoligen Filters an das des einpoligen anzunähern, ist also der, der Informationen über dieÜbergangsraten enthält.

26 Kapitel 4: Betaverteilungen höherer Ordnung4.4. Zwei- und achtpoliges BesselfilterDer Vollständigkeit halber sollen die Aussagen, die in Kapitel 4.3 für das vierpolige Filtergetroffen wurden, hier auf das zwei- und achtpolige Filter erweitert werden. Dafür wurden dieAmplitudenhistogramme der Modelle 1 – 3 aus Abbildung 4.3.1 mit zwei- und achtpoligenFiltern, deren Abknickfrequenzen bei 100 kHz, 50 kHz, 30 kHz, 20 kHz, 15 kHz, 10 kHz und5 kHz lagen, erzeugt. Für das zweipolige Filter hatte ich in Kapitel 4.2 festgestellt, dass dieSprungantwort optimal an die des einpoligen Filters angenähert ist, wenn dieAbknickfrequenz des zweipoligen um den Faktor 1,10 höher liegt als die des einpoligenFilters. Beim achtpoligen Filter beträgt dieser Faktor 1,69.Alle Aussagen aus Kapitel 4.3 lassen sich auf das zwei- und achtpolige Filter übertragen.Auch hier haben die Peaks die gleiche Höhe, wenn die Abknickfrequenz des einpoligenFilters nicht kleiner wird als 20 kHz, und die mehrpoligen Filter führen zu einer stärkerenKonzentration der Messwerte in der Mitte. Die Messwerte sind desto konzentrierter, je mehrPole das Filter hat.Als Beispiel sind auch hier wieder die Amplitudenhistogramme des Modells 1 (100/100kHz) bei einer Abknickfrequenz von 20 kHz dargestellt.A) B)Bessel 2, 20kHzBessel 1, 20khzBessel 2, korrigiertBessel 8, 20kHzBessel 1, 20khzBessel 8, korrigiertNN0 I/pA 3,30 I/pA 3,3Abbildung 4.4.1: A) Amplitudenhistogramme des Modells 1 (100/100 kHz) bei einerAbknickfrequenz des ein- und zweipoligen Filters von 20 kHz sowie der korrigiertenAbknickfrequenz des zweipoligen Filters von 22 kHz, B) Amplitudenhistogramme des Modells 1(100/100 kHz) bei einer Abknickfrequenz des ein- und achtpoligen Filters von 20 kHz sowie derkorrigierten Abknickfrequenz des achtpoligen Filters von 33,8 kHzDie um nur 10% erhöhte Abknickfrequenz des korrigierten Filters zweiter Ordnung führt imMittelbereich zu keiner großen Änderung gegenüber dem nicht korrigierten Filter. Erreichtwird durch die Korrektur aber, dass die Peaks die gleiche Höhe haben wie beim einpoligenFilter.Einen wesentlich größeren Unterschied verursacht der Korrekturfaktor beim achtpoligenFilter. Bei einer Abknickfrequenz von 20 kHz sind fast keine Peaks mehr zu erkennen,während die Peaks nach der Korrektur die gleiche Höhe haben wie im

Kapitel 4: Betaverteilungen höherer Ordnung 27Amplitudenhistogramm des Filters erster Ordnung. Dennoch unterscheiden sich auch hiertrotz Korrektur die Histogramme im Mittelbereich deutlich.Allgemein hat sich gezeigt, dass das Minimum des einpoligen Amplitudenhistogramms inder Mitte zwischen den Nominalniveaus liegt, wenn das Amplitudenhistogramm Peaks aufden Nominalniveaus hat. Dagegen enthalten die mehrpoligen Amplitudenhistogramme in derMitte ein weiteres Maximum. Dieser Unterschied kann durch einen Korrekturfaktor für dieAbknickfrequenz nicht ausgeglichen werden.Ob eine Angleichung im Mittelbereich grundsätzlich möglich ist, soll im nächstenAbschnitt am Beispiel des Filters vierter Ordnung geklärt werden.4.5. Versuch der direkten Optimierung des einpoligenErsatzfiltersBereits in dem einfachen Beispiel des Ein-Kanal-C/O-Modells ist es also nicht gelungen, dasvierpolige Filter durch ein einpoliges zu ersetzen, indem die Abknickfrequenz desErsatzfilters nach dem Kriterium möglichst ähnlicher Sprungantworten gewählt wurde. DieFrage ist, ob daraus prinzipiell der Schluss gezogen werden kann, dass mit einem einpoligenFilter keine Amplitudenhistogramme erzeugt werden können, die dem vierpolig erzeugtenentsprechen, oder ob nur die Frequenzbestimmung für das Ersatzfilter nicht optimal war.Die folgenden Simulationen zeigen, dass eine solche Übereinstimmung grundsätzlich nichtgefunden werden kann. Dazu wurde das Amplitudenhistogramm des Modells 1 (100/100kHz) mit einem vierpoligen und verschiedenen einpoligen Filtern erzeugt. DieAmplitudenhistogramme sind in der folgenden Abbildung dargestellt.A) B)5 kHz 10 kHz20kHz50 kHzNNBessel 4, 20kHz0 I/pA 3,30 I/pA 3,3Abbildung 4.5.1: A) Amplitudenhistogramm des Modells 1 (100/100 kHz), Abknickfrequenz desvierpoligen Filters 20 kHz, B) Amplitudenhistogramm des Modells 1 (100/100 kHz) mitverschiedenen Abknickfrequenzen des einpoligen FiltersAbbildung 4.5.1.A zeigt das Amplitudenhistogramm des Modells 1 bei einerAbknickfrequenz des vierpoligen Filters von 20 kHz. Im Vergleich dazu sieht man inAbbildung 4.5.1.B die Amplitudenhistogramme des gleichen Modells, dieses Mal aber mit

28 Kapitel 4: Betaverteilungen höherer Ordnungeinpoligen Filtern mit Abknickfrequenzen von 5 kHz, 10 kHz, 20 kHz und 50 kHz gefiltert. Inkeinem Fall gelingt es, den Hügel, den das vierpolige Amplitudenhistogramm in der Mittehat, auch mit einem einpoligen Filter zu erzeugen. Solange das einpolige Filter noch Peaksauf den Systemniveaus hervorruft, liegt das Minimum des Amplitudenhistogramms immergenau in der Mitte zwischen den beiden Peaks. Nur wenn die Abknickfrequenz des Filters imVergleich zu den Übergangsraten so klein ist, dass gar keine Peaks mehr erzeugt werden,entsteht ein Maximum in der Mitte. Für diesen Fall zeigt aber schon Abbildung 4.3.5, dasssich die Amplitudenhistogramme von ein- und mehrpolig gefilterten Zeitreihen deutlichunterscheiden.Dass das vierpolige Filter in der Mitte des Amplitudenhistogramms ein Maximum erzeugt,kann man sich anhand des Spektrums des Filtereingangssignals, das aus der Grundwelle undden höheren harmonischen besteht, klar machen. Eine wichtiger Vorzug des Frequenzgangesvon Besselfiltern höherer Ordnung ist der steile Übergang vom Durchlass- in denDämpfungsbereich (Tietze und Schenk, 1971). Dieser führt dazu, dass nur die Grundwelle dasFilter höherer Ordnung ungehindert passieren kann, wohingegen die höheren harmonischenstark gedämpft werden. Durch den Wegfall der Oberwellen wird der Mittelbereich langsamdurchlaufen und viele Werte liegen in diesem Bereich.Nach den Untersuchungen dieses Abschnitts ist es folglich nicht möglich, dieAmplitudenhistogramme von ein- und vierpolig gefilterten Signalen allein durch einenKorrekturfaktor für die Abknickfrequenz eines Filters so aneinander anzugleichen, dass dieForm der Histogramme auch zwischen den Nominalniveaus übereinstimmt.4.6. Folgerungen für FitverfahrenObige Untersuchungen haben Auswirkungen auf zwei verschiedene Fitverfahren:1. Rießner (1994, 1998) wollte die Übergangsraten eines Markov-Prozesses aus derAmplitudenverteilung gewinnen. Dazu werden die Übergangsraten variiert, bis das mit diesenRaten erzeugte Amplitudenhistogramm das gemessene möglichst exakt annähert. Bisherkönnen die Amplitudenhistogramme aber nur für einpolig gefilterte Signale berechnetwerden.Dieses Kapitel hat gezeigt, dass die mit Filtern höherer Ordnung erzeugtenAmplitudenhistogramme sich deutlich von einpolig gefilterten unterscheiden und dass durcheinen Korrekturfaktor für die Abknickfrequenz auch keine hinreichende Annäherung derAmplitudenhistogramme erreicht werden kann.Mit diesem Verfahren können also keine Zeitreihen gefittet werden, die mit Filtern höhererOrdnung gefiltert wurden.2. Auch für die hier vorgesehene Erweiterung des direkten Zeitreihenfits wird einezuverlässige Theorie zur Berechnung von Betaverteilungen benötigt, um die gemessenenStromwerte in Prädiktionsgleichung 2.3 den jeweiligen Niveaus zuordnen zu können. Fürreale Zeitreihen mit Filtern höherer Ordnung existiert diese Theorie wegen Kapitel 4.5 abergerade nicht.Der Ausweg ist in beiden Fällen der gleiche: Die Anpassung eines Modells an die gemesseneAmplitudenverteilung kann nur über Simulationen realisiert werden. Es muss also mit demMarkov-Modell eine Zeitreihe erzeugt werden, aus der dann das Amplitudenhistogrammgewonnen wird. Die Ratenkonstanten werden solange variiert, bis gemessenes und simuliertes

Kapitel 4: Betaverteilungen höherer Ordnung 29Amplitudenhistogramm übereinstimmen. Dieser Weg ist allerdings umständlich und führt zueiner Vervielfachung der Rechenzeit, weil die Simulation einer Zeitreihe um ein Vielfacheslänger dauert als die Berechnung der Likelihood nach Gleichung 2.6.Dieses Problem hat aber, wie die Untersuchungen der folgenden Kapitel zeigen, keineschwerwiegenden Folgen, weil der geplante Weg, das Amplitudenhistogramm inBetaverteilungen anstatt in Gaußverteilungen aufzuspalten, sowieso nicht zum Erfolg führt.

5. TestmethodenEin Großteil der weiteren Arbeit wird sich damit beschäftigen, die Leistungsfähigkeit der hiervorgeschlagenen Fitverfahren zu untersuchen. Im Mittelpunkt werden dabei die Fragenstehen, wie sehr die Fitergebnisse von der Stärke des Rauschens abhängen und ob eineVerbesserung des Zeitauflösungsvermögens (Reichweite) erreicht wird. Speziell ist es immervon Interesse, ob das neue Verfahren Vorteile gegenüber dem ursprünglichen direktenZeitreihenfit aufweist. Um eine möglichst gute Vergleichbarkeit der Ergebnisse zu erreichen,werden alle Verfahren den in diesem Kapitel beschriebenen Tests unterzogen.5.1. VorgehensweiseAm Anfang steht immer ein Markov-Modell, von dem alle Übergangsraten bekannt sind. Mitdiesem Modell wird eine Zeitreihe simuliert, die vom Fitprogramm eingelesen wird. DasProgramm soll dann die Übergangsraten des zu Grunde liegenden Markov-Modells aus derZeitreihe wiedergewinnen.In Abbildung 5.1.1 ist diese Vorgehensweise graphisch dargestellt.Markov-ModellSimulationder ZeitreiheAlter FitNeuer FitÜbergangsratenÜbergangsratenVergleichAbbildung 5.1.1: Vorgehensweise zum Vergleich der FitsEntscheidender Schritt ist immer der Vergleich der Ergebnisse und die Aussage darüber, obdas neue Verfahren besser ist als das alte.5.2. Simulation von Patch-Clamp-ZeitreihenUm Zeitreihen fitten zu können, wird zuerst ein Programm benötigt, das diese Zeitreihenerstellt. In der Arbeitsgruppe ist ein Simulationsprogramm, das auch Zeitreihen eines Kanalsmit schnellen Übergangsraten zeitkontinuierlich erzeugen kann, vorhanden (Rießner, 1994;

Kapitel 5: Testmethoden 31Blunck et al., 1998). Es erlaubt also nicht nur Sprünge zu den Abtastzeitpunkten, sondernauch beliebig häufige Zustandswechsel zwischen zwei Messpunkten.Die simulierten Zeitreihen werden folgendermaßen erzeugt. Per Zufallsgenerator wird einZustand bestimmt, in dem das System startet. Dann werden zwei weitere zwischen 0 und 1gleichverteilte Zufallszahlen n 1 und n 2 benötigt. Aus der ersten wird die Länge desAufenthalts t in dem Anfangszustand bestimmt. Die Verteilung y r (t) der Aufenthaltslängen(dwell-time distribution) eines Zustandes R r ist gegeben durch:y−λrtmitr( t)= e− krr= λr= ∑ k (5.1)rss≠rDie k rs stehen für die Übergangsraten vom Zustand R r in alle möglichen Zustände R s .Für die Bestimmung der Aufenthaltslänge t wird in Gleichung 5.1 y r (t) gleich der Zufallszahln 1 gesetzt und die Gleichung nach t aufgelöst.Aus der zweiten Zufallszahl wird der Zielzustand des nächsten Sprungs bestimmt. Dazuwird das Intervall [0;1] in Abschnitte der Länge k rs /λ unterteilt. Als Zielzustand R s wirdderjenige ausgewählt, in dessen Abschnitt die Zufallszahl n 2 fällt. Nach dem Sprung startetder Algorithmus von neuem mit der Erzeugung zweier Zufallszahlen.Die Antwort des Filters, die separat gespeichert ist, folgt auf jeden Sprung. Die Abfolgevon Sprüngen, die mit dem Zufallsgenerator erzeugt wurde, führt also zu einer Summe vonzeitlich verzögerten Sprungantworten des Filters. Die Antworten der einzelnen Sprüngewerden so lange in der Summe berücksichtigt, bis sie auf einen Wert abgeklungen sind, derkleiner ist als 1 Bit des D/A-Wandlers.Gegenüber einem alternativen Algorithmus, der zu jedem Zeitpunkt entscheidet, ob undwohin ein Sprung stattfindet, wird so eine deutliche Verminderung der benötigten Rechenzeiterreicht.Im Programm besteht die Möglichkeit, das Signal-Rausch-Verhältnis (SNR, signal-tonoise-ratio)frei zu wählen. Definiert ist das SNR als Quadrat des Verhältnisses derStromstärke eines Kanals im Offen-Zustand I o zur Standardabweichung des Rauschens σ.⎛ Io= ⎜⎝ σDas Rauschen wird einmal von einem zusätzlichen Programm, mit dem es auch beliebiggefiltert werden kann, erzeugt und in einer separaten Datei gespeichert. Es wird dann vomSimulationsprogramm eingelesen und der frisch erzeugten Zeitreihe mit dem gewählten SNRüberlagert.Ist die gewünschte Anzahl von Datenpunkten berechnet, wird die gesamte Zeitreihe ineinem binären File abgelegt, dessen Format genau demjenigen entspricht, das in derArbeitsgruppe zur Speicherung gemessener Daten verwendet wird.⎞⎟⎠2SNR(5.2)

32 Kapitel 5: Testmethoden5.3. RauschabhängigkeitstestEs ist bei allen Patch-Clamp-Messungen das entscheidende Problem, dasHintergrundrauschen so weit zu reduzieren, dass nicht die kleinen Änderungen im Kanalstromvöllig von ihm überlagert werden (Keunecke, 1995). Dennoch bleibt immer einunvermeidbares Restrauschen. Vor diesem Hintergrund ist es natürlich erstrebenswert, dassdie Auswertungsprogramme trotz schlechten Signal-Rausch-Verhältnisses die richtigenErgebnisse liefern. Deswegen wird mit allen Verfahren der im folgenden beschriebeneRauschabhängigkeitstest durchgeführt, der Aussagen darüber liefern soll, wie schlecht dasSignal-Rausch-Verhältnis werden darf, bevor die Konvergenz des Fitalgorithmus sichverschlechtert.Für diesen Test werden die neun in der folgenden Abbildung dargestellten Ein-Kanal-C/O-Modelle verwendet, die alle die gleiche Besetzungswahrscheinlichkeit der beiden Zuständevon 1:2 haben.Modell 1:Modell 2:C0,5 kHz1 kHzOC1 kHz2 kHzOModell 3:Modell 4:C2 kHz4 kHzOC5 kHz10 kHzOModell 5:Modell 6:C10 kHz20 kHzOC20 kHz40 kHzOModell 7:Modell 8:C50 kHz100 kHzOC100 kHz200 kHzO

Kapitel 5: Testmethoden 33Modell 9:C200 kHz400 kHzAbbildung 5.3.1: Ein-Kanal-C/O-Modelle des RauschabhängigkeitstestsOVon jedem der neun Modelle werden 135 Zeitreihen gefittet, wobei jede dieser Zeitreihen miteinem anderen Signal-Rausch-Verhältnis erzeugt wird. Das geschieht so, dass durchVeränderung des Abstandes zwischen den beiden Nominalniveaus das Signal-Rausch-Verhältnis in 135 Schritten von 0,0225 auf 12,25 erhöht wird. Für jeden mit allen neunMarkov-Modellen durchgeführten Rauschabhängigkeitstest werden also 1215 Zeitreihengefittet.Die Zeitreihen von jeweils 1 Million Datenpunkten werden mit dem im letzten Abschnittbeschriebenen Simulationsprogramm erzeugt. Bei einer Abtastrate von 200 kHz liegt dieAbknickfrequenz des Filters bei 50 kHz.Als Anfangswerte für den Fit werden die tatsächlichen Raten verwendet. In dieser Hinsichtfindet der Test also unter idealisierten Bedingungen statt. Diese Vorgehensweise ist abersinnvoll, weil dadurch Verfahren, die schon unter günstigsten Umständen nicht die richtigenÜbergangsraten finden, verworfen werden können. Bei Verfahren, die unter diesenVoraussetzungen gute Ergebnisse liefern, werden in den Kapiteln 10.5 und 13.3 auch Testsmit anderen Anfangswerten durchgeführt.5.4. ReichweitentestDie zweite Frage, die im Mittelpunkt steht, ist die, wie gut das Zeitauflösungsvermögen desVerfahrens ist, wie groß also die Übergangsraten zwischen den verschiedenen Zuständen desMarkov-Modells sein dürfen, damit sie vom Fitverfahren noch richtig erkannt werden. Umdas festzustellen, wird der Reichweitentest durchgeführt. Bei ihm werden nur dieÜbergangsraten verändert und alle übrigen Parameter konstant gehalten. Gefittet werden diein Abbildung 5.4.1 dargestellten Ein-Kanal-C/O-Modelle. Die Übergangsraten werden in 250Schritten von 1 kHz /2 kHz auf 250 kHz /500 kHz erhöht. Damit haben alle Modelle eineBesetzungswahrscheinlichkeit von 1:2.Cn * 1 kHzn * 2 kHzOAbbildung 5.4.1: Ein-Kanal-C/O-Modelle des Reichweitentests (n=1...250)Auch hier bestehen die Zeitreihen aus 1 Million Punkten, die Abtastrate liegt bei 200 kHz, dieAbknickfrequenz des Besselfilters bei 50 kHz.Um die Reichweite unabhängig von den teilweise bei schlechtem Signal-Rausch-Verhältnis auftretenden Schwierigkeiten bestimmen zu können, wird bei allen Zeitreihen einSNR von 12,25 gewählt. Dieser Wert ist der höchste beim Rauschabhängigkeitstestvorkommende.

34 Kapitel 5: TestmethodenAuch hier startet der Fit mit der gleichen Begründung wie in Abschnitt 5.3 mit dentatsächlichen Raten. Hat sich ein Verfahren sowohl beim Rauschabhängigkeits- als auch beimReichweitentest bewährt, muss es natürlich weiteren Tests unterzogen werden, bevorendgültige Aussagen getroffen werden können.

6. Test des Betafits6.1. EinleitungEin scheinbar unmittelbar einsichtiger Vorschlag zur Verbesserung desZeitauflösungsvermögens des direkten Zeitreihenfits stand am Anfang dieser Arbeit und ist inKapitel 3.3 ausführlich beschrieben. Es ist der, das Amplitudenhistogramm f(y) in Gleichung2.1 durch Betaverteilungen anstatt durch Gaußverteilungen anzupassen. Umgesetzt wirddieser Ansatz durch folgende Änderung in der Prädiktionsgleichung:aki)=L∑= j 1k−1 ( )ji i(k)Es werden also einfach die Gaußverteilungen f i (y) der Zustände i durch die nach Gleichung3.3 berechneten Betaverteilungen b i (y) ersetzt. Bei der ursprünglichen Aufspaltung desAmplitudenhistogramms in Gaußverteilungen wird nur die Niveauverbreiterung durchRauschen berücksichtigt, nicht aber die durch schnelles Schalten. Die nach Gleichung 2.4erhaltenen Einzelverteilungen f i (y) geben deswegen die Wahrscheinlichkeit der Zuordnungeines gemessenen Stroms zu den Niveaus nicht exakt wieder. Wie Abbildung 3.3.1 zeigt,wird das Amplitudenhistogramm durch eine Summe von Betaverteilungen wesentlich besserrepräsentiert. Die Fitstrategie, bei der anstatt in Gaußverteilungen in Betaverteilungenaufgespaltet wird, soll im folgenden abgekürzt als Betafit bezeichnet werden. Im Gegensatzdazu wird der ursprüngliche direkte Zeitreihenfit Gaußfit genannt.Die Fits dieses Kapitels bauen auf Voraussetzungen auf, die bei gemessenen Zeitreihennicht gegeben sind: Erstens wird eine Filterung erster Ordnung angenommen, und zweitenswird bei der Erstellung der Betaverteilungen davon ausgegangen, dass die Übergangsratenbereits bekannt seien. Nur unter diesen Bedingungen können die Betaverteilungen nach demAlgorithmus von Rießner (1998) berechnet werden. Bei simulierten Daten sind dieseVoraussetzungen erfüllt, weil die wahren Übergangsraten bekannt sein müssen, um denErfolg des Verfahrens überprüfen zu können. Bei realen Messungen hingegen ist es ja geradedas Ziel des Fitverfahrens, die vorher unbekannten Ratenkonstanten herauszufinden. Für dieAnwendung dieses Verfahrens auf echte Messreihen muss also eine andere Lösung zurBerechnung der Betaverteilungen gefunden werden.Trotzdem ist ein solches Vorgehen als erster Test des Verfahrens sinnvoll. Ergebennämlich, wie es hier der Fall ist, die Untersuchungen, dass das Verfahren schon unteridealisierten Bedingungen nicht die erhofften Ergebnisse bringt, braucht man sich um dieajpby((6.1)

36 Kapitel 6: Test des Betafitsweitere praktische Umsetzung keine Gedanken mehr zu machen, weil die Ergebnisse unterrealen Umständen noch schlechter wären.Bei der folgenden Untersuchung wird auf die in Kapitel 5.4 beschriebene Weisevorgegangen. Der Reichweitentest wird aber in etwas vereinfachter Form durchgeführt, weilschon so gezeigt werden kann, dass der Betafit die in ihn gesetzten Erwartungen nicht erfüllt.Anstatt eines Besetzungsverhältnisses von 1:2 wird eines von 1:1 gewählt. Es werden also250 Ein-Kanal-C/O-Modelle gefittet mit den Übergangsraten:k CO =k OC =n*1 kHz( n=1...250)6.2. ErgebnisseIn Abbildung 6.2.1 sind die Fitergebnisse des Betafits für Rate k CO im Vergleich mit denErgebnissen des Gaußfits und den tatsächlichen Übergangsraten dargestellt. Für Rate k OCergaben sich analoge Resultate.Fitergebnis k /kHz25020015010050GaußfitBetafitSollergebnis00 50 100 150 200 250kCO/kHzAbbildung 6.2.1: Ergebnisse von Gauß- und Betafit für Rate k CO von Ein-Kanal-C/O-Modellenmit k CO =k OC in Abhängigkeit von der Größe der Übergangsraten, Abtastrate 200 kHz,Abknickfrequenz des einpoligen Besselfilters 50 kHz, SNR 12,25, Sollergebnis k CO =n*1 kHz(n=1...250)Bei kleinen k CO stimmen beide Fitverfahren gut mit den Sollergebnissen überein. Je größeraber die Raten werden, desto weiter entfernen sich beide Verfahren von der Wahrheit. BeiÜbergangsraten von 150 kHz liefert der Betafit Ergebnisse im Bereich von 60 kHz, alsoschon eine erhebliche Abweichung. Wenn die Raten noch schneller werden, ändern sich dieErgebnisse des Betafits nicht mehr.Der Gaußfit liefert auch zu langsame Übergangsraten. Bei ihm ist es aber nicht so, dassman für k CO zwischen 150 kHz und 250 kHz immer das gleiche Ergebnis bekommt, sonderndie Fitergebnisse steigen über den gesamten Bereich mit den tatsächlichen Raten an. BeiÜbergangsraten von 250 kHz liegen die Ergebnisse des Gaußfits immer noch in derGrößenordnung von 50% der tatsächlichen Raten, im Gegensatz zum Betafit, dessenResultate bei nur 25% liegen.

Kapitel 6: Test des Betafits 37Dem Betafit gelingt es in dieser Versuchsreihe in keinem Fall, bessere Resultate zuerzielen als der Gaußfit. Stichprobenartige Untersuchungen mit anderenBesetzungswahrscheinlichkeiten, mehr Zuständen pro Kanal und einer größeren Anzahl vonKanälen haben gezeigt, dass die Ergebnisse des Betafits im Vergleich zu denen des Gaußfitsje schlechter werden, desto komplizierter das der Zeitreihe zugrunde liegende Markov-Modellist. Darüber hinaus wird auch noch die Konvergenz des Betafits schlechter als die desGaußfits.Der Gaußfit liefert also eindeutig bessere Ergebnisse als der Betafit. Zu fragen ist aber, biszu welcher Größe der Übergangsraten die Ergebnisse des Gaußfits hinreichend genau sind.Bei k CO =50 kHz erhält man ein Ergebnis von 40 kHz, also schon eine Abweichung von 20 %.Mit schnelleren k CO wird die relative Abweichung immer größer. Da die Fitergebnisse bisk CO =250 kHz mit den tatsächlichen Raten ansteigen, kann man zwar versuchen, den Fehlerper Korrekturfaktor herauszurechnen (Draber und Schultze, 1994), der Sinn einesFitverfahrens ist es aber, direkt die richtigen Ergebnisse zu liefern. In dieser Hinsicht sindAbweichungen von mehr als 20 % nicht tragbar. Zusätzlich ist zu bedenken, dass diegenannten Abweichungen beim Ein-Kanal-C/O-Modell mit zwei gleichen Übergangsraten,also dem denkbar einfachsten Modell, auftraten. Bei komplizierteren Modellen ist mit nochgrößeren Abweichungen zu rechnen. Es kann also festgehalten werden, dass Übergangsraten,die größer als 50 kHz sind, vom Gaußfit nicht mehr sicher detektiert werden. Das Ziel dieserArbeit wäre damit erreicht, wenn es gelänge ein Verfahren zu entwickeln, das Übergangsratenvon mehr als 50 kHz noch richtig bestimmt.6.3. DiskussionIm folgenden sind einige simulierte und berechnete Amplitudenhistogramme undEinzelverteilungen dargestellt, anhand derer ich versuchen will, obige Beobachtungen zuerklären.A) B)gauss1beta1gauss2beta2Beta 1 Gauss 1Beta 2 Gauss 2NN0 I/pA 3,30 I/pA 3,3Abbildung 6.3.1: Gauß- und Beta-Einzelverteilungen des Ein-Kanal-C/O-Modells bei einerAbknickfrequenz des Besselfilters erster Ordnung von 50 kHz A) k OC =k CO =1 kHz, B) k OC =k CO =250 kHz

38 Kapitel 6: Test des BetafitsDas Beste, was man mit dem Betafit schafft, sind Ergebnisse bei kleinen Übergangsraten, diegenauso gut wie die des Gaußfits sind. Dass Gauß- und Betafit in diesem Bereich die gleichenErgebnisse erzielen, wird unmittelbar einsichtig, wenn man in Abbildung 6.3.1.A dieVerteilungen des Ein-Kanal-C/O-Modells mit k CO =k OC =1 kHz betrachtet. Übergangsraten von1 kHz sind im Vergleich zur Abknickfrequenz des Filters von 50 kHz so langsam, dass dieTrägheit des Filters kaum eine Rolle spielt. Gauß- und Betaverteilung sind in diesem Bereichalso praktisch gleich und Gauß- und Betafit damit äquivalent.Anders liegen die Dinge dagegen beim Ein-Kanal-C/O-Modell mit k CO =k OC =250 kHz,dessen auf eins normierte Einzelverteilungen in Abbildung 6.3.1.B zu sehen sind. DieBetaverteilung unterscheidet sich von der Gaußverteilung dadurch, dass das Maximum inRichtung der anderen Verteilung verschoben ist und die auf dieser Seite liegende Flanke starkabgeflacht ist.Um zu erkennen, was das für den Fitalgorithmus bedeutet, betrachten wir dieRekursionsgleichungen 2.3 für die Berechnung der Maximum-Likelihood in der auf das Ein-Kanal-C/O-Modell zugeschnittenen Form.aakk( O)= a( C)= ak−1k−1( O)p( O)pOOOCffOC( y( ykk) + a) + ak−1k−1( C)p( C)pCOCCffOC( y( ykk))(6.2)Erfolgt vor dem Abtastpunkt k ein Sprung von O nach C, ist der Kanal im Zustand C. Damitdie Prädiktion richtig liegt, sollte also jetzt a k (C) groß und a k (O) klein werden. AmFilterausgang liegt jedoch wegen der Trägheit des Filters noch nicht der zum Zustand Cgehörige Strom an, sondern ein Wert, der sich erst wenig von O in Richtung C bewegt hat.Wie in Abbildung 6.3.1.B zu sehen ist, sinkt die Betaverteilung b O (y k ) für diese Werte jedochnicht ab, sondern steigt sogar noch an. Es passiert also genau das Gegenteil, von dem waspassieren sollte. Obwohl das System längst im Zustand C ist, wächst in der Prädiktion dieWahrscheinlichkeit noch an, das System im Zustand O zu finden. Sprünge werden also zuspät oder gar nicht erkannt, und die ermittelten Übergangsraten liegen zu niedrig. Genau dasist in Abbildung 6.2.1 zu beobachten.Bei der Gaußverteilung f O (y k ) in Abbildung 6.3.1.B hingegen liegt das Maximum auf demNominalwert des O-Zustandes. Bewegt sich der Stromwert am Filterausgang nur leicht inRichtung von Zustand C, bekommt man in der Prädiktion zumindest eine kleine Abnahme derWahrscheinlichkeit a k (O), das System im Zustand O zu finden, und eine kleine Zunahme derWahrscheinlichkeit a k (C), dass das System in Zustand C ist.Auf Grund des beschriebenen Mechanismus enthalten die Gaußverteilungen mehrbrauchbare Information als die Betaverteilungen, und es ist erklärlich, dass der Gaußfit inweiten Bereichen besser konvergiert als der Betafit.

7. Verbesserte Variante des Betafits7.1. Unterschiedliche Verteilungen in Abhängigkeit von derÄnderung des StromwertesIm letzten Abschnitt hat sich gezeigt, dass durch einfaches Einsetzen der über alle Zeitpunktegemittelten Betaverteilungen anstatt der Gaußverteilungen nicht die gewünschten Ergebnisseerzielt werden. Das Amplitudenhistogramm wird zwar durch die Summe der Betaverteilungenwesentlich besser angenähert als durch die Summe der Gaußverteilungen. Offensichtlichwerden die Betaverteilungen aber durch die Mittelung der Tatsache nicht gerecht, dass dasSystem zwischenzeitlich auch über eine größere Anzahl von Zeitpunkten in einem Zustandbleibt, während es in anderen Zeiträumen wesentlich häufiger zwischen den Zuständenspringt, als die Betaverteilung es wiedergibt.Solange sich das System auf einem Leitfähigkeitsniveau befindet, können sich dieMesswerte nur innerhalb des durch das Rauschen verursachten Bereichs bewegen. Das heißt,die Messwerte liegen gaußverteilt um dieses Nominalniveau. Erst wenn das System vondiesem Zustand in einen anderen springt, beobachtet man den Effekt, der die Betaverteilungerzeugt: Zum nächsten Zeitpunkt wird wegen der Trägheit des Filters ein Wert gemessen, derzwischen den beiden Nominalniveaus liegt, obwohl sich das System schon längst in demneuen Zustand aufhält. Um Sprünge möglichst sicher zu entdecken, muss versucht werden,diese Zwischenwerte dem Zielzustand des Sprungs zuzuordnen.Die Schwierigkeit bei dieser Zuordnung liegt darin, dass Messwerte zwischen denNominalniveaus der Zustände nicht nur durch Wechsel von einem in den anderen Zustandsondern auch durch Rauschen erzeugt werden. Um herauszufinden, welchen von diesenZwischenwerten ein Zustandswechsel zuzuordnen ist, müsste ein Sprungdetektor angewendetwerden. Bei Sprungdetektoren treten jedoch Probleme auf, die durch den direktenZeitreihenfit gerade umgangen werden sollen (missed events, Schultze und Draber, 1993).Hier wird deswegen ein sehr einfaches Kriterium zur Zuordnung der Messwerteherangezogen, das sich nur auf die Änderung des Stromwerts vom letzten zu diesemAbtastzeitpunkt bezieht. Für alle Zustände i wird ausgewertet, ob sich der Stromwertinnerhalb des Abtastintervalls (k-1)∆t bis k∆t dem Nominalniveau Y(i) des Zustandes iangenähert hat. Hat er sich angenähert, so ist dies ein Anhaltspunkt dafür, dass das System zudiesem Zustand hingesprungen sein könnte. In der Prädiktion wird deswegen der Stromwerty k den Zuständen i, deren Nominalniveaus sich der Stromwert angenähert hat, mit denBetaverteilungen b i (y) zugeordnet. In allen anderen Fällen erfolgt die Zuordnung wie beimursprünglichen direkten Zeitreihenfit mit Gaußverteilungen.Das Kriterium der Annäherung des Stromwerts an die Nominalniveaus ist natürlich nichtsehr aussagekräftig, weil die Annäherung genauso gut vom Rauschen wie von einem Sprung

40 Kapitel 7: Verbesserte Variante des Betafitsdes Systems verursacht worden sein kann. Es könnte aber sein, dass sich der Einfluss desRauschens im statistischen Mittel weghebt und dass mit dem Kriterium deswegen dochbessere Fitergebnisse erzielt werden.In der Prädiktionsgleichung 2.3 führt die Berücksichtigung der Annäherung zu folgenderÄnderung:a ( i)=La⎧ g⎪( j)p * ⎨(y )i k∀i:y | − | Y(i)- y| Y(i)-kk −1ji∑= ⎪b ∀−

Kapitel 7: Verbesserte Variante des Betafits 417.2. Ergebnisse des RauschabhängigkeitstestsZuerst wird der Rauschabhängigkeitstest aus Kapitel 5.3 mit den dort beschriebenen Ein-Kanal-C/O-Modellen durchgeführt, die alle eine Besetzungswahrscheinlichkeit der beidenZustände von 1:2 haben. Sie unterscheiden sich nur in der Größe der Übergangsraten. InAbbildung 5.3.1 sind alle Modelle graphisch dargestellt. Um jedoch ein dauerndesNachschlagen zu verhindern, sind hier hinter allen Modellen die Übergangsraten inKlammern angegeben.Die wesentliche Erkenntnis, die durch den Rauschabhängigkeitstest gewonnen wird, istdie, dass der Gaußfit wesentlich unempfindlicher gegenüber einem schlechten Signal-Rausch-Verhältnis ist als der Betafit. Die Ergebnisse des Gaußfits ändern sich zwischen SNR 0,5 und12,25 praktisch gar nicht. Der Betafit hingegen braucht mit schneller werdendenÜbergangsraten ein immer besseres Signal-Rausch-Verhältnis, um die richtigen Ergebnisse zuerzielen.Im einzelnen werde ich die Ergebnisse anhand der Modelle 3 (2/4 kHz) und 7 (50/100kHz) beschreiben. Bei Modell 3 liegt die höchste Übergangsrate des Modells bei weniger als10% der Abknickfrequenz des Tiefpassfilters. Es ist also, ähnlich wie in Abbildung 6.3.1.A,noch keine Abweichung zwischen Gauß- und Betaverteilung zu erkennen. Es ist folglich zuerwarten, dass die Resultate von Gauß- und Betafit übereinstimmen. Solange nämlich GaußundBetaverteilungen gleich sind, besteht kein Unterschied zwischen den Verfahren. InAbbildung 7.2.1 sind die Ergebnisse des Betafits für Modell 3 (2/4 kHz) im Vergleich mitdenen des Gaußfits dargestellt.4BetafitGaußfit8BetafitGaußfitFitergebnisse koc/kHz2Fitergebnisse kco/kHz400 5 SNR 10 15A) B)Abbildung 7.2.1: Ergebnisse von Gauß- und Betafit für Modell 3 in Abhängigkeit vom SNR,Abtastrate 200 kHz, Abknickfrequenz des einpoligen Besselfilters 50 kHz A) Sollergebnis Ratek OC : 2 kHz, B) Sollergebnis Rate k CO : 4 kHzTatsächlich ist sowohl bei Rate k OC als auch bei Rate k CO die Abweichung der gefittetenRaten beider Verfahren von den Sollergebnissen mit unter 5% klein. Einzige Ausnahme ist00 5 SNR 10 15

42 Kapitel 7: Verbesserte Variante des BetafitsRate k OC bei schlechtem Signal-Rausch-Verhältnis: Hier weicht der Betafit deutlich mehr vonden Sollergebnissen ab als der Gaußfit.Wesentlich stärker wird diese Abhängigkeit des Betafits vom Signal-Rausch-Verhältnis,wenn in der Zeitreihe schnelles Schalten vorkommt. Die Beobachtungen für schnellereÜbergangsraten werden anhand des Modells 7 (50/100 kHz) erläutert.A) B)100BetafitGaußfit200BetafitGaußfitFitergebnisse koc/kHz50Fitergebnisse kco/kHz10000 5 SNR 10 1500 5 SNR 10 15Abbildung 7.2.2: Ergebnisse von Gauß- und Betafit für Modell 7 in Abhängigkeit vom SNR,Abtastrate 200 kHz, Abknickfrequenz des einpoligen Besselfilters 50 kHz A) Sollergebnis Ratek OC : 50 kHz, B) Sollergebnis Rate k CO : 100 kHzDie Ergebnisse des Gaußfits hängen hier ebenfalls nur wenig vom Signal-Rausch-Verhältnisab. Sie stimmen allerdings nicht mehr wie bei langsameren Übergangsraten exakt mit denSollergebnissen überein, sondern liegen um 20% zu niedrig. Positiv fällt auf, dass dieErgebnisse auch bei einem Signal-Rausch-Verhältnis von weniger als 1 nicht schlechterwerden.Das ist nämlich beim Betafit der Fall. Dort sind die Fitergebnisse erst ab einem SNR von 4annähernd konstant, unter SNR 2 liegen sie völlig falsch. Dafür sind die Ergebnisse, solangedas Signal-Rausch-Verhältnis gut genug ist, wesentlich näher an den Sollergebnissen.

Kapitel 7: Verbesserte Variante des Betafits 43Um diese Abhängigkeit des Betafits vom Signal-Rausch-Verhältnis zu erklären, sindnachfolgend die Gaußverteilungen und die Betaverteilungen des Modells 7 (50/100 kHz)dargestellt.GaußverteilungenBetaverteilungenN0 I/pA 3,3Abbildung 7.2.3: Gaußverteilungen und Betaverteilungen des Modells 7 (50/100 kHz) bei einemSNR von 1In Abbildung 7.1.1, in der Gauß- und Betaverteilungen sich deutlich unterscheiden, liegt dasSignal-Rausch-Verhältnis bei 25. Ein derartig gutes Signal-Rausch-Verhältnis ist jedoch beiMessungen nicht zu erreichen. Wie die Verteilungen bei schlechterem SNR aussehen ist inAbbildung 7.2.3 am Beispiel der Gauß- und Betaverteilungen des Modells 7 (50/100 kHz) beieinem SNR von 1 zu sehen. Die Maxima der Betaverteilungen sind zwar immer nochgegenüber den Nominalniveaus verschoben, die Abflachung der Flanken ist aber nicht mehrzu erkennen. Abgesehen von der Verschiebung haben Gauß- und Betaverteilungen alsopraktisch die gleiche Form.Damit tritt bei einem schlechten Signal-Rausch-Verhältnis aber das Charakteristische desBetafits, nämlich der deutliche Unterschied zwischen Gauß- und Betaverteilungen, in denHintergrund. Erst wenn das SNR besser wird, unterscheiden sich die Verteilungen deutlich.Dann liefert der Betafit, wie Abbildung 7.2.2 zeigt, aber auch bessere Ergebnisse als derGaußfit.Im nächsten Abschnitt sollen nun Aussagen über das Zeitauflösungsvermögen des Betafitsgetroffen werden.7.3. Ergebnisse des ReichweitentestsDie Leistungsfähigkeit des Verfahrens bei schnellem Schalten wird mit dem in Kapitel 5.4beschriebenen Reichweitentest überprüft. Es werden also 250 Ein-Kanal-C/O-Modelle mitden Übergangsraten k OC =n*1 kHz und k CO =n*2 kHz (n=1...250) gefittet. In Abbildung 7.3.1sind die Ergebnisse von Gauß- und Betafit im Vergleich mit den Sollergebnissen dargestellt.Abbildung 7.3.2 zeigt noch einmal die Ergebnisse beider Fits sowie die tatsächlichenRaten. Um Abweichungen bei kleinen Übergangsraten besser erkennen zu können, ist dieseDarstellung jedoch auf den Bereich beschränkt, in dem auch der Betafit noch nah an derWahrheit liegt.

44 Kapitel 7: Verbesserte Variante des BetafitsA) B)Fitergebnis koc/kHz1200900600300BetafitGaußfitSollergebnisFitergebnis kco/kHz200015001000500BetafitGaußfitSollergebnis000 50 100 150 200 250koc/kHz0 100 200 300 400 500kco/kHzAbbildung 7.3.1: Ergebnisse von Gauß- und Betafit in Abhängigkeit von der Größe derÜbergangsraten, Abtastrate 200 kHz, Abknickfrequenz des einpoligen Besselfilters 50 kHz,SNR 12,25 A) Sollergebnis Rate k OC = n*1 kHz, B) Sollergebnis Rate k CO =n*2 kHz (n=1...250)A) B)160Betafit280BetafitGaußfitGaußfitFitergebnis koc/kHz1208040SollergebnisFitergebnis kco/kHz21014070Sollergebnis00 50 100koc/kHz00 100 200kco/kHzAbbildung 7.3.2: Ergebnisse von Gauß- und Betafit in Abhängigkeit von den Übergangsraten ,Ausschnitt aus Abbildung 7.3.1, A) Rate k OC , B) Rate k CODer Gaußfit bestätigt in Abbildung 7.3.1 die Ergebnisse aus Abbildung 6.2.1. Je größer k OCund k CO werden, desto weiter bewegt er sich vom gesuchten Wert weg, bis er bei denschnellsten Raten von 500 kHz ungefähr 250 kHz also 50% liefert. Der Abstand zwischentatsächlicher und gefitteter Rate wird zwar immer größer, zumindest steigen die Fitergebnisseaber kontinuierlich mit den tatsächlichen Raten an.Der Betafit hingegen liegt, wie Abbildung 7.3.2 zeigt, wesentlich näher bei denSollergebnissen als der Gaußfit, solange die Übergangsraten nicht zu groß werden (k OC

Kapitel 7: Verbesserte Variante des Betafits 45(k OC >150 kHz, k CO >300 kHz), so brechen, wie in Abbildung 7.3.1 zu sehen ist, dieErgebnisse sehr abrupt nach oben aus und liegen im Bereich zwischen 1 und 2 GHz. EinZusammenhang zwischen den tatsächlichen Raten und den Ergebnissen ist nicht mehr zuerkennen. Es tritt hier ein Effekt ein, auf den in Kapitel 10.3 genauer eingegangen wird: Fastalle Werte liegen zwischen den Nominalniveaus, also im Bereich der Betaverteilungen.Dadurch wird allen Zeitpunkten ein Sprung zugeordnet und man erhält viel zu hoheErgebnisse.Es hat sich also gezeigt, dass mit dem neuen Betafit Übergangsraten bis 200 kHz bessererkannt werden als mit dem Gaußfit, sofern das Signal-Rausch-Verhältnis gut genug ist. Imfolgenden Kapitel soll überprüft werden, ob sich die Ergebnisse durch Wahl einer anderenGaußverteilung g i (y) noch weiter verbessern lassen.

8. Der verbesserte Betafit mit anderenGaußverteilungen8.1. Andere Normierung der Gaußverteilungen g i (y) ausGleichung 7.28.1.1. EinleitungIn Abbildung 7.3.2 hat sich gezeigt, dass der Betafit zwar wesentlich näher an denSollergebnissen liegt als der Gaußfit, wenn die Übergangsraten kleiner als 200 kHz sind.Trotzdem ist es so, dass auch der Betafit die Übergangsraten teilweise um mehr als 10 %unterschätzt. Wenn aber die Übergangsraten unterschätzt werden, liegt das daran, dass einTeil der Sprünge in der Zeitreihe nicht erkannt wird. Um zu erkennen, wie dementgegengewirkt werden kann, muss nochmals Gleichung 7.1 betrachtet werden. Der Sinndieser Gleichung ist es, dass die Messwerte, bei denen ein Sprung stattfindet, mit denBetaverteilungen b i (y) dem Zielzustand des Sprungs zugeordnet werden. Nun zeigt aber einBlick in Abbildung 7.1.1, dass das Maximum der Gaußverteilung g i (y) wesentlich größer istals das Maximum der Betaverteilung b i (y). Die Betaverteilungen sind also im Vergleich zuden Gaußverteilungen untergewichtet, und es ist erklärlich, dass nicht alle Sprünge erkanntwerden. In diesem Abschnitt soll untersucht werden, ob sich die Ergebnisse des Betafitsverbessern, wenn die Gaußverteilungen g i (y) so normiert werden, dass die Maxima mit denMaxima der Betaverteilungen b i (y) übereinstimmen.Es werden also jetzt in Gleichung 7.1 anstatt der Gaußverteilungen g i (y) aus Gleichung 7.2folgende Gaußverteilungen g i N (y) verwendet:2F ⎛N( y − Y ( i))⎞gi( y)= exp⎜⎟mit F =222π σ ⎝ σi ⎠imax( b ( y))max( gii( y))(8.1)Zur Veranschaulichung sind in Abbildung 8.1.1 die Gaußverteilungen g i N (y) und dieBetaverteilungen b i (y) eines Ein-Kanal-C/O-Modells graphisch dargestellt.

Kapitel 8: Der verbesserte Betafit mit anderen Gaußverteilungen 47GaußverteilungenBetaverteilungenN0 I/pA 3,3Abbildung 8.1.1: Gaußverteilungen g i N nach Gleichung 8.1 und Betaverteilungen b i des Ein-Kanal-C/O-Modells mit k OC =k CO =250 kHz, Abknickfrequenz des einpoligen Besselfilters 50 kHz,SNR 25Ob die Verwendung der Gaußverteilungen g i N (y) tatsächlich Vorteile bringt, soll mit Hilfe desReichweitentests festgestellt werden.Fitergebnis koc/kHz8.1.2. Ergebnisse des ReichweitentestsEs werden wieder die 250 Ein-Kanal-C/O-Modelle des Reichweitentests aus Kapitel 5.4 mitden Übergangsraten k OC =n*1 kHz und k CO =n*2 kHz (n=1...250) gefittet. Abbildung 8.1.2 undAbbildung 8.1.3 zeigen die Ergebnisse beider Betafits.Abbildung 8.1.3 ist ein Ausschnitt aus Abbildung 8.1.2 und ist beschränkt auf kleineÜbergangsraten.A) B)16001200800400Betafit nach Gl. 7.2Betafit nach Gl. 8.1SollergebnisFitergebnis kco/kHz200015001000500Betafit nach Gl. 7.2Betafit nach Gl. 8.1Sollergebnis00 50 100 150 200 250koc/kHz00 100 200 300 400 500kco/kHzAbbildung 8.1.2: Ergebnisse von Betafit nach Gl. 7.2 und Betafit nach Gleichung 8.1 inAbhängigkeit von der Größe der Übergangsraten, Abtastrate 200 kHz, Abknickfrequenz deseinpoligen Besselfilters 50 kHz, SNR 12,25 A) Sollergebnis k OC = n*1 kHz, B) Sollergebnisk CO =n*2 kHz (n=1...250)

48 Kapitel 8: Der verbesserte Betafit mit anderen GaußverteilungenA) B)160Betafit nach Gl. 7.2Betafit nach Gl. 8.1Sollergebnis280Betafit nach Gl. 7.2Betafit nach Gl. 8.1SollergebnisFitergebnis koc/kHz1208040Fitergebnis kco/kHz2101407000 50 100koc/kHz00 100 200kco/kHzAbbildung 8.1.3: Ergebnisse von Betafit nach Gl. 7.2 und Betafit nach Gl. 8.1, Ausschnitt ausAbbildung 8.1.2, A) Rate k OC , B) Rate k COAbbildung 8.1.3 zeigt, dass der gewünschte Effekt bei kleinen Übergangsraten (k OC

Kapitel 8: Der verbesserte Betafit mit anderen Gaußverteilungen 498.2. Verschiebung der Gaußverteilungen g i (y) ausGleichung 7.28.2.1. EinleitungDas wesentlich größere Problem als die Abweichungen bei kleinen Übergangsraten, denen imletzten Abschnitt durch eine andere Normierung der Gaußverteilungen g i (y) aus Gleichung7.2 entgegengesteuert werden sollte, ist das Ausbrechen der Ergebnisse, das sich in denAbbildungen 7.3.1 und 8.1.2 bei großen Übergangsraten gezeigt hat. Dieses Ausbrechen rührtdaher, dass bei schnellem Schalten durch die Trägheit des Filters die Nominalniveaus nichtmehr erreicht werden, sondern alle Werte im Bereich zwischen den Niveaus liegen. Beidiesen Zwischenwerten wird aber in Gleichung 7.1 durch die Betaverteilungen b i (y) mitbesonders großer Wahrscheinlichkeit ein Sprung angenommen. Dadurch sind bei schnellenRaten die Betaverteilungen b i (y) gegenüber den Gaußverteilungen g i (y) übergewichtet und dieÜbergangsraten werden zu hoch eingeschätzt. Diese Übergewichtung soll hier dadurchvermieden werden, dass die Gaußverteilung g i (y) so verschoben werden, dass das Maximumder verschobenen Verteilung g v i (y) auf dem Stromwert y max (b i ) des Maximums derBetaverteilung b i (y) liegt. Es werden also die folgenden Verteilungen g v i (y) in Gleichung 7.1eingesetzt:21 ⎛ ( ( )) ⎞vy − y bmax ig ( y)= exp⎜⎟(8.2)i222π σ ⎝ σi ⎠iAuch diese Gaußverteilungen g i v (y) sind im Vergleich mit den Betaverteilungen b i (y) in derfolgenden Abbildung dargestellt.GaußverteilungenBetaverteilungenN0 I/pA 3,3Abbildung 8.2.1: Gaußverteilungen g i v nach Gleichung 8.2 und Betaverteilungen b i des Ein-Kanal-C/O-Modells mit k OC =k CO =250 kHz, Abknickfrequenz des einpoligen Besselfilters 50 kHz,SNR 25

50 Kapitel 8: Der verbesserte Betafit mit anderen GaußverteilungenOb durch diese Maßnahme das Zeitauflösungsvermögen des Betafits erhöht wird, zeigt erneutder Reichweitentest.Fitergebnis koc/kHz8.2.2. Ergebnisse des ReichweitentestsAbbildung 8.2.2 zeigt die Ergebnisse des Reichweitentests des Betafits mit denGaußverteilungen g i v (y) nach Gleichung 8.2 und des Betafits mit den Gaußverteilungen g i (y)nach Gleichung 7.2. Zum Vergleich sind auch die Resultate des Gaußfits noch einmaldargestellt.A) B)28021014070Betafit nach Gl. 7.2GaußfitSollergebnisBetafit nach Gl. 8.2Fitergebnis kco/kHz520390260130Betafit nach Gl. 7.2GaußfitSollergebnisBetafit nach Gl. 8.200 50 100 150 200 250koc/kHz00 100 200 300 400 500kco/kHzAbbildung 8.2.2: Ergebnisse von Betafit nach Gl. 7.2, Betafit nach Gl. 8.2 und Gaußfit inAbhängigkeit von der Größe der Übergangsraten, Abtastrate 200 kHz, Abknickfrequenz deseinpoligen Besselfilters 50 kHz, SNR 12,25 A) Sollergebnis Rate k OC = n*1 kHz, B) SollergebnisRate k CO =n*2 kHz (n=1...250)Es ist also durch das Verschieben der Gaußverteilungen tatsächlich gelungen, das Ausbrechender Ergebnisse zu verhindern, wie in Abbildung 8.2.2 zu sehen ist. Dafür liegen dieErgebnisse jetzt aber viel zu tief. Bei Rate k OC sind sie etwas und bei Rate k CO sogar deutlichschlechter als die Ergebnisse des Gaußfits. Offensichtlich ist das Verschieben derGaußverteilungen also kein probates Mittel, um den Betafit zu verbessern.Der Grund für dieses Scheitern ist der gleiche wie der für das Scheitern des Betafits inKapitel 6. Die Maxima von sowohl Gauß- als auch Betaverteilung sind in Richtung desanderen Nominalniveaus verschoben. Springt das System nun von O nach C, sollte dieWahrscheinlichkeit a k (C), das System im Zustand C zu finden, steigen. Zuerst wächst jedochnoch a k (O). Es passiert also genau das Falsche und ein großer Teil der Sprünge wirddeswegen nicht erkannt. Genauer ist auf dieses Problem in Kapitel 6.3 eingegangen.

Kapitel 8: Der verbesserte Betafit mit anderen Gaußverteilungen 518.3. FolgerungenDieses Kapitel hat gezeigt, dass es weder durch Verschieben noch durch eine neueNormierung der Gaußverteilungen g i (y) aus Gleichung 7.2 gelungen ist, dieLeistungsfähigkeit des Betafits aus Kapitel 7 zu erhöhen. Der verbesserte Betafit aus Kapitel7 ist damit das Beste was bisher erreicht wurde. Beantwortet werden muss jedoch noch dieFrage, ob dieser Betafit aus Kapitel 7 überhaupt einen Fortschritt gegenüber dem Gaußfitdarstellt.Der Reichweitentest in Abbildung 7.3.2 hat gezeigt, dass die Ergebnisse des Betafits inweiten Bereichen näher an der Wahrheit liegen als die des Gaußfits. Allerdings hat derRauschabhängigkeitstest ergeben, dass diese Vorteile des Betafits nur dann vorliegen, wenndas Signal-Rausch-Verhältnis gut genug ist. So musste das SNR bei mindestens 3 liegen,damit die Betafits Übergangsraten von 50 kHz und 100 kHz erkennen (Abbildung 7.2.2). BeiModellen mit k CO =200 kHz, wurde schon ein SNR von 5 benötigt.Nun ist ein Signal-Rausch-Verhältnis von 5 in Patch-Clamp-Messungen durchausmachbar, und mit einer Reichweite von 200 kHz wäre das Zeitauflösungsvermögengegenüber der in Kapitel 6.2 festgestellten Reichweite des Gaußfits von 50 kHz schon um denFaktor 4 erhöht. Zu bedenken ist aber, dass die Untersuchungen des Kapitels sich nur auf dasEin-Kanal-C/O-Modell bezogen. Stichprobenartige Untersuchungen bei komplizierterenModellen haben gezeigt, dass die Abhängigkeit vom Signal-Rausch-Verhältnis starkzunimmt. So muss z.B. bei einem Fünf-Zustands-Modell das SNR schon bei mindestens 10liegen, damit der Betafit bessere Ergebnisse findet. Ein so gutes Signal-Rausch-Verhältnis istjedoch bei Messungen nicht mehr ohne weiteres zu erreichen.Damit ist der Bereich, in dem der Betafit bei einem vertretbaren Signal-Rausch-Verhältnisbessere Ergebnisse liefert, auf das Zwei-Zustands-Modell beschränkt. Zusätzlich liefen dieFits noch unter idealisierten Bedingungen ab, weil bei der Berechnung der Betaverteilungendavon ausgegangen wurde, dass die Übergangsraten bereits bekannt seien. Dies ist aber nurbei simulierten Zeitreihen gegeben. Es ist folglich davon auszugehen, dass die Ergebnisse beiechten Messreihen noch schlechter würden.Ein Verfahren, das einen so eingeschränkten Einsatzbereich hat, ist aber von wenigInteresse. Der Ansatz, die Gaußverteilungen einfach durch Betaverteilungen zu ersetzen, wirddeswegen jetzt aufgegeben. Letztlich liegt der Haken wohl darin, dass im direktenZeitreihenfit eine Vorhersage von diesem Zeitpunkt auf den nächsten benötigt wird, dieBetaverteilung aber nur eine über alle Zeitpunkte gemittelte Wahrscheinlichkeit angebenkann.Im nächsten Kapitel wird versucht, den Einfluss des Filters an einer anderen Stelle derPrädiktionsgleichung zu berücksichtigen.

9. Der PrädiktionsfitIn Kapitel 8 wurde für jeden einzelnen Punkt der Zeitreihe ausgewertet, ob der aktuelleStrommesswert sich im Vergleich zum vorhergehenden dem Nominalniveau eines Zustandesangenähert hat, um das als Hinweis darauf zu werten, dass das System zu diesem Zustandhingesprungen sein könnte. Der Nachteil dieses Verfahrens liegt darin, dass Änderungen desStrommesswerts sowohl durch Änderungen des Kanalstroms als auch durch Rauschenverursacht werden und diese beiden Ursachen insbesondere bei schlechtem Signal-Rausch-Verhältnis nur schlecht auseinandergehalten werden können.Hier soll jetzt die Auswahl der Verteilung an die Prädiktion gekoppelt werden. Auf diePrädiktionsgleichung 2.3 hat das folgende Auswirkungen:⎧Lg (y ) für i = j⎪ i k(9.1)a ( i)= a ( j)p *kk −1ji ⎨∑= j 1⎪gv(y ) für i ≠ j⎩ ji kWird die Wahrscheinlichkeit p ii für einen Verbleib des Systems im Zustand i bestimmt,kommt wie beim ursprünglichen Gaußfit die auf eins normierte Gaußverteilung g i (y), derenMaximum auf dem Nominalniveau Y(i) des Zustandes i liegt, zum Einsatz.g ( y)i1⎛ 1exp⎜−⎝ 2( y − Y ( i))σ=22π σii2⎞⎟⎠(9.2)Durch σ i wird der Effektivwert des Rauschens des Zustandes i angegeben.Bei der Berechnung der Wahrscheinlichkeit p ji , dass das System vom Zustand j in denZustand i wechselt, wird hingegen eine verschobene Gaußverteilung g ji v (y) verwendet. Imfolgenden soll diese verschobene Gaußverteilung Sprungverteilung genannt werden. Auch dieSprungverteilung g ji v (y) ist auf eins normiert, problematisch ist aber die Frage, wo dasMaximum liegen soll.Bei jedem Sprung des Systems erzeugt die Trägheit des Filters einige Stromwerte, diezwischen den Nominalniveaus der Zustände j und i liegen, obwohl das System sich schon imZustand i befindet. Damit Sprünge besser erkannt werden, ist es das Ziel, dieseZwischenwerte schon dem neuen Zustand i zuzuordnen.

Kapitel 9: Der Prädiktionsfit 53Die Position S ji des Maximums der Sprungverteilung, die in Gleichung 9.3 in Abhängigkeitvon dem Positionsfaktor γ angegeben ist, muss also irgendwo zwischen dem NominalniveauY(j) des alten Zustandes und dem Nominalniveau Y(i) des neuen Zustandes sein:S ji( γ ) = Y ( j)+ γ *( Y ( i)− Y ( j))mit 0 ≤ γ ≤ 1(9.3)Für jeden Übergang vom Zustand j in den Zustand i kommt also eine eigene Sprungverteilungg ji v (y) zum Einsatz, die durch folgende Gleichung beschrieben wird:gvji( y)1⎛ ( y − S ( γji))exp⎜−⎝ 2σi=22π σi2⎞⎟⎠(9.4)Nach Gleichung 9.3 gilt S ji (γ)=Y(i) für γ=1. Die Sprungverteilung g ji v (y) (Gleichung 9.4) gehtdann in g i (y) (Gleichung 9.2) über. Durch den Grenzfall γ=1 wird also genau derursprüngliche direkte Zeitreihenfit beschrieben, bei dem auch die Sprungverteilungen auf denNominalniveaus liegen.Die geeignete Bestimmung des Positionsfaktors γ in Gleichung 9.3 wird uns im weiterenausführlich beschäftigen. Im folgenden Kapitel wird als erstes die naheliegende Möglichkeitgetestet, den Positionsfaktor γ= 1 / 2 zu setzen.Die Variante des direkten Zeitreihenfits, bei der die Verteilungen nach Gleichung 9.1gewählt werden, heißt ab jetzt Prädiktionsfit. Im Gegensatz dazu wird der ursprünglichedirekte Zeitreihenfit weiterhin Gaußfit genannt.

10. Test des Prädiktionsfits mit demPositionsfaktor γ= 1 / 2Bei allen Tests dieses Kapitels werden die Einzelverteilungen des Prädiktionsfits nachGleichung 9.1 gewählt. Die Positionen der Sprungverteilungen g ji v (y) (Gleichung 9.4) werdenmit dem Positionsfaktor γ= 1 / 2 nach Gleichung 9.3 bestimmt.10.1. RauschabhängigkeitstestZuerst wird der in Kapitel 5.3 beschriebene Rauschabhängigkeitstest durchgeführt. Mitdiesem Test soll eine Aussage darüber herbeigeführt werden, ob der Prädiktionsfit ebenfallsdie starke Abhängigkeit vom Signal-Rausch-Verhältnis zeigt, die beim Betafit negativaufgefallen war (Abbildung 7.2.2). Für die folgenden Tests werden Zeitreihen verwendet, diemit einem Besselfilter vierter Ordnung gefiltert wurden.Erfreuliches Ergebnis des Rauschabhängigkeitstests ist es, dass diese Abhängigkeit beiallen Modellen verschwunden ist. Durchgängig ist die Abhängigkeit vom Signal-Rausch-Verhältnis beim Prädiktionsfit genau so gering wie beim Gaußfit. Beispielhaft sind inAbbildung 10.1.1 nur die Ergebnisse für das Modell 6 (20/40 kHz) im Vergleich mit denErgebnissen des Gaußfits dargestellt.A) B)40PrädiktionsfitGaußfit80PrädiktionsfitGaußfitFitergebnisse koc/kHZ20Fitergebnisse kco/kHZ4000 5 10 1500 5 10 15SNRSNRAbbildung 10.1.1: Ergebnisse von Gauß- und Prädiktionsfit mit Positionsfaktor γ= 1 / 2 für Modell6 in Abhängigkeit vom SNR, Abtastrate 200 kHz, Abknickfrequenz des vierpoligen Besselfilters50 kHz, A) Sollergebnis Rate k OC : 20 kHz, B) Sollergebnis Rate k CO : 40 kHz

Kapitel 10: Test des Prädiktionsfits mit dem Positionsfaktor γ= 1 / 2 55Ab einem SNR von 0,25 liefert der Prädiktionsfit praktisch konstante Ergebnisse. DieErgebnisse stimmen zudem sehr exakt mit den tatsächlichen Übergangsraten überein. DieAbhängigkeit des Gaußfits vom Signal-Rausch-Verhältnis ist bekanntermaßen (s.Abbildungen 7.2.1 und 7.2.2) ebenfalls gering. Die Ergebnisse des Gaußfits liegen aber zutief.Alle diese Aussagen gelten in gleicher Form für die Resultate der anderen Modelle.Ausnahme sind nur die Ergebnisse für Modell 9 mit schnellen Übergangsraten (200/400 kHz).Bei derartig schnellen Raten brechen die Ergebnisse, wie der Reichweitentest in Abschnitt10.2 zeigt, aus und liegen im Gigahertzbereich.10.2. ReichweitentestUm eine Aussage darüber machen zu können, wie groß die Übergangsraten sein dürfen, damitsie vom Prädiktionsfit noch korrekt erkannt werden, wird jetzt der in Kapitel 5.4 beschriebeneReichweitentest durchgeführt.Das Zeitauflösungsvermögen des Prädiktionsfits ist, wie Abbildung 10.2.1 zeigt,beschränkt.A) B)Fitergebnisse koc/kHz15001200900600300PrädiktionsfitSollergebnisFitergebnisse kco/kHz30002500200015001000500PrädiktionsfitSollergebnis00 100 200 300koc/kHz00 200 400 600kco/kHzAbbildung 10.2.1: Ergebnisse des Prädiktionsfits mit γ= 1 / 2 beim Reichweitentest , Abtastrate200 kHz, Abknickfrequenz des vierpoligen Besselfilters 50 kHz, SNR 12,25 A) Sollergebnis Ratek OC =n*1 kHz , B) Sollergebnis Rate k CO =n*2 kHz (n=1...250)Der Bereich, in dem die Resultate sehr exakt stimmen, endet für Rate k OC bei 50 kHz, fürRate k CO bei 100 kHz. Bei größer werdenden Raten liegen die Fitergebnisse etwas zu hoch.Werden die Übergangsraten größer als 100 kHz bzw. 200 kHz, ist das gleiche zu beobachten,was auch schon beim Betafit passierte. Die Fitergebnisse brechen sehr abrupt nach oben ausund liegen im Bereich von 1 GHz – 2 GHz. Ein Zusammenhang zwischen Ergebnis undtatsächlicher Rate ist hier nicht mehr zu erkennen.

56 Kapitel 10: Test des Prädiktionsfits mit dem Positionsfaktor γ= 1 / 210.3. DiskussionFür das Ausbrechen der Ergebnisse scheint mir die folgende Erklärung einleuchtend zu sein.Je schneller die Übergangsraten des Markov-Modells gewählt werden, desto mehrMesspunkte liegen zwischen den Niveaus. Die Sprünge des Systems sind dann so häufig, dassdie Messwerte durch die Trägheit des Filters nur noch um die Mittellage hin- und herpendeln.Durch die Positionierung der Sprungverteilung genau in der Mitte zwischen den beiden amSprung beteiligten Nominalniveaus für i≠j wird aber gerade diesen mittleren Werten mit sehrgroßer Wahrscheinlichkeit ein Sprung zugeordnet. Liegen also im Extremfall alle Punkte derZeitreihe in diesem mittleren Bereich, so hat das Modell die größte Wahrscheinlichkeit, daseinfach jedem Zeitpunkt einen Sprung zuordnet. Bei einer Abtastrate von 200 kHz wird alsoalle 10 -5 s ein Sprung angenommen.Um zu sehen, was das für die Übergangsraten bedeutet, muss nochmals das Dwell-Time-Histogramm (Abbildung 2.4.1) betrachtet werden. Beim Ein-Kanal-C/O-Modell, das nureinen Zustand pro Nominalniveau hat, lässt sich das Dwell-Time-Histogramm nachGleichung 2.2 durch eine einzige Exponentialfunktion annähern.−λτy offen( τ ) = ae(10.1)Durch die Funktion y offen wird die Verteilung der Aufenthaltslängen τ im Offen-Zustandbeschrieben. Wenn zu jedem Abtastzeitpunkt ein Sprung angenommen wird, so reicht esnicht, wenn die durchschnittliche Aufenthaltslänge τ=10 -5 s beträgt – das würde zuÜbergangsraten von 200 kHz führen – sondern das System darf nie länger als 10 -5 s imgleichen Zustand verweilen. Für Gleichung 10.1 bedeutet das:− 5y offen(10.2)(10s)< 1Die Bedingung 10.2 ist aber für die dann auftretenden Werte von a=10 5 - 10 6 nur erfüllt, wenndie Zeitkonstante λ in Gleichung 10.1 so groß ist, dass sich Ratenkonstanten imGigahertzbereich ergeben.10.4. Abhängigkeit der Ergebnisse von derBesetzungswahrscheinlichkeitDer Prädiktionsfit mit dem Positionsfaktor γ= 1 / 2 hat sowohl beim Rauschabhängigkeits- alsauch beim Reichweitentest (Abschnitte 10.1 und 10.2) brauchbare Ergebnisse geliefert. Füreine begründete Beurteilung der Leistungsfähigkeit müssen aber noch weitere Testsdurchgeführt werden. In diesem Abschnitt soll festgestellt werden, ob es einen Einfluss aufdie Ergebnisse hat, wenn die Besetzungswahrscheinlichkeit nicht, wie in allen Fällen bisher,bei konstant 1:2 liegt, sondern andere Werte annimmt. Die folgenden Abschnitte werden sichmit der Abhängigkeit von den Anfangswerten und einem Mehrzustandsmodell beschäftigen.Da in Abbildung 10.2.1 der Bereich, in dem die Fitergebnisse exakt stimmen, bei 100 kHzendet, werden sich die Untersuchungen dieses Abschnitts auf Ratenkonstanten aus demBereich bis 100 kHz beschränken. Sollte dieser Bereich komplett abgedeckt werden können,wäre gegenüber dem Gaußfit (Reichweite 50 kHz, s. Kapitel 6.2) eine Verbesserung desZeitauflösungsvermögens um den Faktor zwei erreicht. Abbildung 10.4.1 zeigt die Ein-Kanal-C/O-Modelle, die in diesem Abschnitt gefittet werden. Rate k CO wird jeweils konstant

Kapitel 10: Test des Prädiktionsfits mit dem Positionsfaktor γ= 1 / 2 57gehalten und Rate k OC in 50 Schritten von 2 kHz auf 100 kHz erhöht. k CO nimmt die Werte 1kHz, 5 kHz, 10 kHz, 50 kHz und 100 kHz an.Im einzelnen werden also die folgenden Markov-Modell gefittet:Modell 1Modell 2Cn*2 kHzOCn*2 kHzO1 kHz5 kHzModell 3 Modell 4Cn*2 kHzOCn*2 kHzO10 kHz50 kHzModell 5n*2 kHzCO100 kHzAbbildung 10.4.1: Fünf Ein-Kanal-C/O-Modelle, die in diesem Abschnitt gefittet werden (n=1 ...50).Die folgenden fünf Abbildungen zeigen die Ergebnisse dieser Versuchsreihen.A) B)Fitergebnisse kco/kHz21PrädiktionsfitGaußfitSollergebnisFitergebnisse koc/khz10050PrädiktionsfitGaußfitSollergebnis000 50 100koc/kHz0 50 100koc/kHzAbbildung 10.4.2: Ergebnisse von Gauß- und Prädiktionsfit für Modell 1 in Abhängigkeit vonRate k OC , γ= 1 / 2 , Abtastrate 200 kHz, Abknickfrequenz des vierpoligen Besselfilters 50 kHz, SNR12,25, A) Sollergebnis Rate k CO : 1 kHz, B) Sollergebnis Rate k OC =n*2 kHz (n=1...50)

58 Kapitel 10: Test des Prädiktionsfits mit dem Positionsfaktor γ= 1 / 2A) B)Fitergebnisse kco/kHz105PrädiktionsfitGaußfitSollergebnisFitergebnisse koc/kHz10050PrädiktionsfitGaußfitSollergebnis000 50 100koc/kHz0 50 100koc/kHzAbbildung 10.4.3: Ergebnisse von Gauß- und Prädiktionsfit für Modell 2 in Abhängigkeit vonRate k OC , γ= 1 / 2 , Abtastrate 200 kHz, Abknickfrequenz des vierpoligen Besselfilters 50 kHz, SNR12,25, A) Sollergebnis Rate k CO : 5 kHz, B) Sollergebnis Rate k OC =n*2 kHz (n=1...50)A) B)Fitergebnisse kco/kHz2010PrädiktionsfitGaußfitSollergebnisFitergebnisse koc/kHz10050PrädiktionsfitGaußfitSollergebnis00 50 100koc/kHz00 50 100koc/kHzAbbildung 10.4.4: Ergebnisse von Gauß- und Prädiktionsfit für Modell 3 in Abhängigkeit vonRate k OC , γ= 1 / 2 , Abtastrate 200 kHz, Abknickfrequenz des vierpoligen Besselfilters 50 kHz, SNR12,25, Sollergebnis Rate k CO : 10 kHz, Sollergebnis Rate k OC =n*2 kHz (n=1...50)A) B)Fitergebnisse kco/kHz10050PrädiktionsfitGaußfitSollergebnisFitergebnisse koc/kHz10050PrädiktionsfitGaußfitSollergebnis00 50 100koc/kHz00 50 100koc/kHzAbbildung 10.4.5: Fitergebnisse von Gauß- und Prädiktionsfit für Modell 4 in Abhängigkeit vonRate k OC , γ= 1 / 2 , Abtastrate 200 kHz, Abknickfrequenz des vierpoligen Besselfilters 50 kHz, SNR12,25, A) Sollergebnis Rate k CO : 50 kHz, B) Sollergebnis Rate k OC =n*2 kHz (n=1...50)

Kapitel 10: Test des Prädiktionsfits mit dem Positionsfaktor γ= 1 / 2 59A) B)Fitergebnisse kco/kHz200100PrädiktionsfitGaußfitSollergebnisFitergebnisse koc/kHz12060PrädiktionsfitGaußfitSollergebnis000 50 100koc/kHz0 50 100koc/kHzAbbildung 10.4.6: Fitergebnisse von Gauß- und Prädiktionsfit für Modell 5 in Abhängigkeit vonRate k OC , γ= 1 / 2 , Abtastrate 200 kHz, Abknickfrequenz des vierpoligen Besselfilters 50 kHz, SNR12,25, A) Sollergebnis Rate k CO : 100 kHz, B) Sollergebnis Rate k OC =n*2 kHz (n=1...50)In den Abbildungen 10.4.2 – 4 sind die konstanten Raten k CO mit 1 kHz, 5 kHz und 10 kHzklein im Vergleich zur Abknickfrequenz des Tiefpasses. Ausnahmslos liegen die Ergebnissebeider Raten sowohl von Gauß- als auch von Prädiktionsfit zu niedrig. Mit schnellerwerdender Rate k OC entfernen sich die Ergebnisse beider Fits weiter von den Sollergebnissen.Ferner beobachtet man aber auch genau das, was man beobachten wollte, nämlich, dass derGaußfit durchgehend mehr als doppelt so viel von den tatsächlichen Raten abweicht wie derPrädiktionsfit.In Abbildung 10.4.5 ist Rate k CO genauso, in Abbildung 10.4.6 doppelt so groß wie dieAbknickfrequenz des Besselfilters. Das führt dazu, dass der Prädiktionsfit etwas zu hoheErgebnisse liefert, wenn k OC in die Nähe von 100 kHz kommt. Die maximale Abweichungnach oben zeigt Abbildung 10.4.6, wenn beide Raten bei 100 kHz liegen. Das Sollergebniswird dann um 20 % überschritten. Damit ist der Prädiktionsfit aber immer noch wesentlichbesser als der Gaußfit, dessen Ergebnisse um fast 50 % zu niedrig liegen.Diese Überschreitung des Sollergebnis um 20 % beim Prädiktionsfit deutet darauf hin, dassdie Grenze der Reichweite tatsächlich erreicht ist. Betrachtet man nämlich dieReichweitentests in Kapitel 10.2, sieht man, dass eine weitere Erhöhung der Übergangsraten,obwohl die Ergebnisse schon um 20 % zu hoch liegen, sehr bald zu abruptem Ausbrechen derErgebnisse führt.Für den Fall des Ein-Kanal-C/O-Modells, bei dem die Übergangsraten 100 kHz, also diedoppelte Abknickfrequenz der Tiefpasses, nicht überschreiten, kann also das folgendefestgehalten werden: Der Prädiktionsfit mit dem Positionsfaktor γ= 1 / 2 liefert ausnahmslosbessere Ergebnisse als der Gaußfit. Eine weitere Erhöhung der Übergangsraten würde jedochschnell zu einem Ausbrechen der Ergebnisse des Prädiktionsfits führen.

60 Kapitel 10: Test des Prädiktionsfits mit dem Positionsfaktor γ= 1 / 210.5. Abhängigkeit der Ergebnisse von den AnfangswertenBei den bisherigen Versuchsreihen war es so, dass als Startwerte für den Fit immer die Wertegewählt wurden, die auch als Ergebnis herauskommen sollten. Das war sinnvoll, um dasVersagen von Verfahren zu zeigen, ohne die Aussage durch das Argument angreifbar zumachen, das Unvermögen hätte nur an der unglücklichen Wahl der Startwerte gelegen. Indiesem Abschnitt soll beim Prädiktionsfit, der bei den bisherigen Tests gute Ergebnissegeliefert hat, überprüft werden, wie stark sich die Ergebnisse in Abhängigkeit von denStartwerten des Fits ändern.Dazu werden wieder die Modelle 1–9 aus Kapitel 5.3, die alle eineBesetzungswahrscheinlichkeit von 1 zu 2 haben, gefittet. Für jedes Modell wird eineZeitreihe erzeugt, die immer wieder mit verschiedenen Anfangswerten gefittet wird. DieAnfangswerte werden jeweils in 250 Schritten von 1 kHz/2 kHz auf 250 kHz/500kHz erhöht.Bei einer Abtastrate von 200 kHz liegt die Abknickfrequenz des vierpoligen Filters bei 50kHz. Das Signal-Rausch-Verhältnis beträgt 12,25.In der folgenden Abbildung sind die Ergebnisse am Beispiel des Modells 7 (50/100 kHz)dargestellt. Die linke Abbildung zeigt Rate k OC , die rechte Rate k CO .A) B)100SollergebnisGaußfitPrädiktionsfit200SollergebnisGaußfitPrädiktionsfitFitergebnis koc/kHz50Fitergebnis kco/kHz10000 100 200 300Anfangswert koc/kHz00 200 400 600Anfangswert kco/kHzAbbildung 10.5.1: Ergebnisse von Gauß- und Prädiktionsfit für Modell 7 in Abhängigkeit vonden Anfangswerten, γ= 1 / 2 , Abtastrate 200 kHz, Abknickfrequenz 50 kHz, SNR 12,25,Sollergebnis Rate k OC : 50 kHz, Sollergebnis Rate k CO =100 kHz, A) Anfangswerte Rate k OC =n*1kHz, B) Anfangswerte Rate k CO =n*2 kHz (n=1...250)In Abbildung 10.5.1 macht man die positive Beobachtung, dass sich sowohl beim Gauß- alsauch beim Prädiktionsfit die Ergebnisse kaum in Abhängigkeit von den Anfangswertenändern. Obwohl die Anfangswerte bei beiden Raten im Bereich von 1/50 bis zum Fünffachender Übergangsrate variiert werden, liefert der Gaußfit durchgehend ca. 60 % des wahrenWertes, während der Prädiktionsfit ihn fast trifft.Die gleiche Unabhängigkeit von den Anfangswerten zeigt sich auch bei allen anderenModellen. Nach diesem Abschnitt kann also festgestellt werden, dass beide Fitverfahren in

Kapitel 10: Test des Prädiktionsfits mit dem Positionsfaktor γ= 1 / 2 61der Lage sind, ihre Aufgabe – nämlich das Herausfinden von Übergangsraten, die vorherunbekannt sind – zu erfüllen.Bei allen bisherigen Untersuchungen am Ein-Kanal-C/O-Modell im Bereich bis 100 kHzhat der Prädiktionsfit bessere Ergebnisse geliefert als der Gaußfit. Man kann also anfangen,zu hoffen, dass tatsächlich ein Fortschritt erzielt wurde. Vorher muss jedoch noch überprüftwerden, ob diese guten Ergebnisse auch bei komplizierteren Modellen erzielt werden. Dies istdas Thema des folgenden Abschnitts.10.6. Ergebnisse beim Fünf-Zustands-ModellFarokhi et al. (2000) haben gezeigt, dass der K + -Kanal von Chara mit dem in der folgendenAbbildung dargestellten Fünf-Zustands-Modell beschrieben werden kann.1400 HzA O G C600 Hz46700 Hz63200 Hz3400 Hz3800 Hz340 Hz160 HzZAbbildung 10.6.1: Markov-Modell des K + -Kanals von Chara (Farokhi et al. 2000)Dabei sind A und O Offen-Zustände, G, C und Z Geschlossen-Zustände. Untersuchungen andiesem Markov-Modell haben ergeben, dass viele interessante Prozesse an der Grenze desZeitauflösungsvermögens der bisherigen Fitverfahren stattfinden.Ich werde deswegen die Reichweite des Prädiktionsfits bei komplizierteren Markov-Prozessen anhand dieses Modells untersuchen. Ein Übergang zwischen verschiedenenStromniveaus findet nur zwischen den Zuständen O und G statt. Alle anderen Übergänge sindnur solche zwischen verschiedenen Zuständen der gleichen Leitfähigkeit.Ein Unterschied zwischen Gauß- und Prädiktionsfit besteht jedoch nur, wenn beimWechsel von einem Zustand in einen anderen auch ein anderes Stromniveau angenommenwird. Besonderes Augenmerk wird deswegen bei den folgenden Untersuchungen auf dieÜbergangsraten k OG von O nach G und k GO von G nach O gelegt. k GO wird in 50 Schrittenvon 2 kHz auf 100 kHz erhöht und k OG bei 70 kHz konstant gehalten. Alle anderen Ratenwerden ebenfalls bei den in Abbildung 10.6.1 angegebenen Werten konstant gehalten. Imeinzelnen werden also die folgenden 50 Markov-Modelle gefittet.1,5 kHzn*2 kHz3,5 kHzA O G C0,5 kHz70 kHz4 kHz0,5 kHz0,2 kHzZAbbildung 10.6.2: Fünf-Zustands-Modelle, die in diesem Abschnitt gefittet werden (n=1 ... 50)Wie immer beträgt die Abtastrate 200 kHz und die Abknickfrequenz des vierpoligenBesselfilters 50 kHz. Das Signal-Rausch-Verhältnis liegt bei 4 und ist damit in dem Bereich,der auch bei den Messungen am K + -Kanal von Chara erreicht wurde.Abbildungen 10.6.3.A und B zeigen die Raten k OG und k GO . Von den übrigen Raten, beidenen der Zustand wechselt, ohne dass sich am Stromwert, etwas ändert, sind in Abbildung10.6.3.C exemplarisch die Ergebnisse von Rate k ZC dargestellt. Abbildung 10.6.3.D vergleicht

62 Kapitel 10: Test des Prädiktionsfits mit dem Positionsfaktor γ= 1 / 2den Rechenaufwand von Gauß- und Prädiktionsfit. Aufgetragen ist jeweils die Anzahl derIterationen des Simplex pro Fit.A) B)100120100PrädiktionsfitGaußfitFitergebnisse kOG/kHzPrädiktionsfitGaußfitFitergebnisse kGO/kHz80604020Sollergebnis0Sollergebnis0 50 100kGO/kHz00 50 100kGO/kHz1C) D)500PrädiktionsfitGaußfitFitergebnisse kZC/kHz0.5PrädiktionsfitNäherungsschritte250Gaußfit0Sollergebnis0 50 100kGO/kHz00 50 100kGO/kHzAbbildung 10.6.3: Ergebnisse von Gauß- und Prädiktionsfit für die Fünf-Zustands-Modelle ausAbbildung 10.6.2 in Abhängigkeit von Rate k GO , γ= 1 / 2 , Abtastrate 200 kHz, Abknickfrequenz desvierpoligen Besselfilters 50 kHz, SNR 4, A) Sollergebnis Rate k OG =70 kHz, B) Sollergebnis Ratek GO =n*2 kHz (n=1..50), C) Sollergebnis Rate k ZC =0,5 kHz, D) Anzahl der IterationsschritteDie Ergebnisse des Gaußfits für k GO in Abbildung 10.6.3.B entsprechen denen desReichweitentests beim Ein-Kanal-C/O-Modell (Abbildung 7.3.2). Sie steigen linear mit dentatsächlichen Übergangsraten an, liegen aber um 40 % zu niedrig. Die Ergebnisse desPrädiktionsfits sind im gesamten Bereich näher an der Wahrheit. Bis 80 kHz sind dieErgebnisse etwas zu niedrig, darüber etwas zu hoch. Dass sich die Fitergebnisse, wenn sichdie tatsächlichen Raten an 100 kHz annähern, mit steigender Geschwindigkeit nach oben

Kapitel 10: Test des Prädiktionsfits mit dem Positionsfaktor γ= 1 / 2 63entfernen, deutet darauf hin, dass auch hier bei 100 kHz die obere Grenze der Reichweiteerreicht ist.Etwas anders stehen die Dinge in Abbildung 10.6.3.A, die die Ergebnisse von Rate k OGzeigt. Die tatsächliche Übergangsrate ist hier konstant bei 70 kHz. Der Gaußfit liegt wiederum die obligatorischen 25 % zu tief, er gibt aber unabhängig von der Größe von Rate k GOdurchgehend Werte um 50 kHz aus. Die Abweichungen des Prädiktionsfits sind zwarinsgesamt kleiner, dafür steigen die Ergebnisse aber mit der Größe von k GO an. Ist also k GOklein, gibt der Prädiktionsfit zu kleine Ergebnisse für k OG , ist k GO groß, sind die Ergebnissefür k OG zu groß.Wenig Unterschiede zwischen Gauß- und Prädiktionsfit zeigen sich in den Ergebnissen derübrigen Raten. Alle Raten werden von beiden Verfahren im gesamten Bereich gut erkannt.Beispielhaft sind in Abbildung 10.6.3.C nur die Ergebnisse für k ZC dargestellt.Weiterhin ist es natürlich eine interessante Frage, wie sich der Rechenaufwand verändert,wenn man den Prädiktionsfit anstatt des Gaußfits benutzt. Da die Fits auf verschiedenenProzessoren durchgeführt wurden, ist die aufgewendete Rechenzeit kein aussagekräftigesKriterium. Anstatt dessen ist die Anzahl der benötigten Iterationsschritte, bis die Konvergenzerreicht ist, aufgetragen. Auch diese lässt keinen ganz direkten Vergleich zu, weil imPrädiktionsfit in jedem Prädiktionsschritt die zusätzliche Abfrage durchgeführt wird, ob einSprung stattfindet oder nicht. Diese Abfrage fällt aber im Vergleich zur gesamten Anzahl derOperationen pro Prädiktionsschritt nicht ins Gewicht. Versuche auf dem gleichen Rechnerhaben deswegen ergeben, dass in der Rechenzeit pro Iterationsschritt kein Unterschiedzwischen Gauß- und Prädiktionsfit zu bemerken ist. Aus der Zahl der Iterationsschritte imSimplex-Algorithmus können also Rückschlüsse auf die Rechenzeit gezogen werden. InAbbildung 10.6.3.D zeigen sich aber keine signifikanten Unterschiede zwischen Gauß- undPrädiktionsfit. Der Rechenaufwand ändert sich praktisch nicht in Abhängigkeit von Rate k GO .In der Summe über alle Fits benötigt der Prädiktionsfit 10 % mehr Schritte als der Gaußfit.Als Ergebnis dieses Kapitels kann festgehalten werden, dass der Prädiktionsfit mitPositionsfaktor γ= 1 / 2 bis zur doppelten Abknickfrequenz des Tiefpassfilters durchgehend diebesseren Ergebnisse liefert als der Gaußfit. Diese Aussage gilt sowohl für das Ein-Kanal-C/O-Modell als auch für das Fünf-Zustands-Modell des K + -Kanals von Chara. Übergangsraten,die über der doppelten Abknickfrequenz liegen, können mit diesem Verfahren nicht mehrgefittet werden, weil die Ergebnisse dann ausbrechen. Wenn die Ergebnisse ausbrechen, kannaber zumindest noch die Aussage getroffen werden, dass die Übergangsraten größer sind alsdie doppelte Abknickfrequenz.Bei Übergangsraten, die die doppelte Abknickfrequenz nicht überschreiten, kann alsogrundsätzlich anstatt des bisherigen Gaußfits der Prädiktionsfit mit γ= 1 / 2 Anwendung finden.

11. Der Prädiktionsfit mit anderenPositionsfaktoren11.1. EinführungDas vorige Kapitel hat gezeigt, dass sowohl Zwei-Zustands- als auch Fünf-Zustands-Modellmit dem Prädiktionsfit, bei dem die Positionen der Sprungverteilungen mit demPositionsfaktor γ= 1 / 2 nach Gleichung 9.3 bestimmt werden, gut gefittet werden, wenn dieÜbergangsraten kleiner als die doppelte Abknickfrequenz des Filters sind. Damit ist zwargegenüber dem Gaußfit schon eine Verdoppelung des Zeitauflösungsvermögens erreichtworden, möglicherweise kann es aber durch geeignete Wahl der Sprungverteilungen g ji v (y) inGleichung 9.1 noch weiter gesteigert werdenUm dem Ausbrechen entgegenzusteuern, muss erreicht werden, dass bei sehr schnellenRaten, den Zwischenwerten mit geringerer Wahrscheinlichkeit ein Sprung zugeordnet wird.Grundsätzlich bieten sich hierfür zwei Verfahren an.Erstens könnte man für schnelle Raten die Sprungverteilung auf z.B. 0,8 anstatt auf 1normieren. Die Wahrscheinlichkeit, dass in der Prädiktion ein Sprung angenommen wird,wäre dann um 20% gemindert. Tatsächlich haben Probeläufe dieses Verfahrens gezeigt, dasssich die Grenze, ab der die Ergebnisse nach oben ausbrechen, erhöhen lässt. Erkauft werdenmuss dieser Vorteil aber mit einer stärkeren Abhängigkeit vom Signal-Rausch-Verhältnis.Ähnlich wie in Kapitel 7 beim Betafit braucht man ein SNR zwischen 2 und 6, bevor manbrauchbare Ergebnisse erlangt. Diese Idee wird hier deswegen nicht weiter verfolgt.Die andere Möglichkeit besteht darin, die Normierung der Gaußhügel so zu belassen, wiesie ist, dafür aber ihre Position zwischen den beiden Niveaus zu verändern. Bis jetzt wurdedie Position der Sprungverteilungen durch den Positionsfaktor γ= 1 / 2 in Gleichung 9.3festgelegt. Mit dieser Positionierung wurden in Kapitel 10 Raten, die größer als 100 kHzwaren, stark überschätzt. Andererseits werden vom Gaußfit – einem Prädiktionsfit mitPositionsfaktor γ=1 – schnelle Übergangsraten deutlich unterschätzt. Es könnte folglich sein,dass mit einem anderen Positionsfaktor mit 1 / 2

Kapitel 11: Der Prädiktionsfit mit anderen Positionsfaktoren 65Der Rauschabhängigkeitstest ergab, dass die Abhängigkeit vom Signal-Rausch-Verhältnisbei allen Modellen und allen Positionsfaktoren so gering ist wie in Abbildung 10.1.l. DieErgebnisse sind hier deswegen nicht noch einmal graphisch dargestellt.

66 Kapitel 11: Der Prädiktionsfit mit anderen Positionsfaktoren11.2. ReichweitentestInteressanter ist in diesem Zusammenhang, ob das Zeitauflösungsvermögen des Fits durch dieEinführung anderer Positionsfaktoren erweitert wurde. In Abbildung 11.2.1 sind dieErgebnisse des Reichweitentests für Rate k CO mit Positionsfaktoren von γ= 5 / 6 und γ= 9 / 10dargestellt.A) B)30002500PrädiktionsfitSollergebnis600500PrädiktionsfitSollergebnisFitergebnisse kco/kHz200015001000500Fitergebnisse kco/kHz40030020010000 200 400 600kco/kHz00 200 400 600kco/kHzAbbildung 11.2.1: Ergebnisse des Prädiktionsfits für Rate k CO beim Reichweitentest,Sollergebnis k CO =n*2 kHz (n=1...250), Abtastrate 200 kHz, Abknickfrequenz des vierpoligenBesselfilters 50 kHz, SNR 12,25 A) Positionsfaktor γ= 5 / 6 , B) Positionsfaktor γ= 9 / 10Man sieht, dass das Ausbrechen der Ergebnisse im Vergleich zu Abbildung 10.2.1 zu deutlichhöheren Raten verschoben ist. In Abbildung 11.2.1.A gibt es erst ab Raten von 250 kHz zuhohe Ergebnisse, in Abbildung 11.2.1.B sogar erst ab 450 kHz. Das Ausbrechen der Rate k OCwurde im Vergleich zu Abbildung 10.2.1 um einen ähnlichen Faktor nach oben verschoben.Erkauft wird das größere Zeitauflösungsvermögen aber mit schlechteren Ergebnissen fürlangsame Raten. In Abbildung 11.2.2 sind die Ergebnisse noch einmal für k CO

Kapitel 11: Der Prädiktionsfit mit anderen Positionsfaktoren 67A) B)100Prädiktionsfit100PrädiktionsfitFitergebnisse kco/kHz80604020SollergebnisFitergebnisse kco/kHz80604020Sollergebnis00 20 40 60 80 100kco/kHz00 20 40 60 80 100kco/kHzAbbildung 11.2.2: Ergebnisse des Reichweitentests (Ein-Kanal-C/O-Modelle mit k OC =n*1 kHz,k CO =n*2 kHz, n=1...250) für Rate k CO , Bereich bis 100 kHz, Abtastrate 200 kHz, Abknickfrequenzdes vierpoligen Besselfilters 50 kHz, SNR 12,25 A) Positionsfaktor γ= 1 / 2 , B) Positionsfaktorγ= 9 / 10In Abbildung 11.2.2.A sieht man, dass sich die Fitergebnisse für k CO bei einemPositionsfaktor von γ= 1 / 2 bis zu Raten von 70 kHz praktisch mit den tatsächlichen Ratendecken. Bei schnelleren Raten entfernt sich der Fit langsam von den Sollergebnissen nachoben. Der in Abbildung 11.2.2.B dargestellte Fit mit Positionsfaktor γ= 9 / 10 liefert ab 20 kHzzu niedrige Ergebnisse. Mit schneller werdender Rate k CO entfernt er sich weiter nach untenvon den tatsächlichen Raten.Analoge Beobachtungen macht man für die anderen Positionen der Sprungverteilungen. Jegrößer der Positionsfaktor, desto später brechen die Ergebnisse nach oben aus, desto größersind aber auch die Abweichungen bei niedrigen Raten.Andersherum betrachtet gibt es für jede Übergangsrate einen Positionsfaktor, durch den dieRate richtig entdeckt wird. Es könnte also sein, dass alle Übergangsraten bis 500 kHzdetektiert werden, wenn man nur den Positionsfaktor geeignet wählt. Diese Idee wird imnächsten Kapitel verfolgt.

12. Der Prädiktionsfit mit variablenPositionsfaktoren12.1. Analytische Beziehung zwischen Reichweite desPrädiktionsfits und PositionsfaktorZiel soll es nun sein, die Vorteile aus den Abbildungen 11.2.1 und 11.2.2.A miteinander zuverknüpfen: die exakten Ergebnisse bei niedrigen Raten, die mit γ= 1 / 2 erreicht wurden,einerseits und die große Reichweite für schnelle Raten, die sich mit γ= 5 / 6 und γ= 9 / 10 ergab.Eine Möglichkeit wäre es, mit anderen Mitteln die ungefähre Größe der Übergangsratenfestzustellen und dann den Positionsfaktor γ manuell anzupassen. Anhand von Gleichung 9.3müsste für jede Übergangsrate aus dem Positionsfaktor γ die Position der zugehörigenSprungverteilung bestimmt werden. Wesentlich angenehmer wäre es natürlich, wenn sich dasProgramm automatisch einstellen würde. Das soll in diesem Kapitel versucht werden.Damit das Programm die Positionsfaktoren in Abhängigkeit von der Größe derÜbergangsraten festlegen kann, ist es notwendig, eine analytische Beziehung zwischenReichweite des Fits und Positionsfaktor zu finden. In den Kapiteln 10.2 und 11.2 hatte ich mitdem Prädiktionsfit den Reichweitentest für γ= 1 / 2 , 2 / 3 , 3 / 4 , 4 / 5 , 5 / 6 , 9 / 10 und 19 / 20 durchgeführt.Wie groß die schnellste Übergangsrate des Markov-Modells sein darf, bevor die Ergebnisseausbrechen, zeigen die Darstellungen der Ergebnisse in den Abbildungen 10.2.1 und 11.2.1.In Abbildung 11.2.1 sieht man z.B., dass mit γ= 5 / 6 die Ergebnisse anfangen auszubrechen,wenn die schnellere Übergangsrate k CO größer als 250 kHz wird, und mit γ= 9 / 10 , wenn k CO450 kHz überschreitet. Die folgende Tabelle zeigt die zu allen Positionsfaktoren gehörendenReichweiten, die sich bei den Simulationen in den Kapiteln 10.2 und 11.2 ergeben haben. Mitγ= 19 / 20 liefert der Prädiktionsfit im gesamten Bereich bis 500 kHz zu niedrige Ergebnisse. Eskann deswegen keine Reichweite angegeben werden.Positionsfaktor γ1 / 2 2 / 3 3 / 4 4 / 5 5 / 6 9 / 10 19 / 20Reichweite/kHz 65 100 140 190 250 450 -Abbildung 12.1.1: Zusammenstellung der Reichweiten des Prädiktionsfits mit verschiedenenPositionsfaktoren, Abknickfrequenz des vierpoligen Besselfilters 50 kHz, Abtastfrequenz 200kHzIn Abbildung 12.1.2 sind die Reichweiten in Abhängigkeit vom Positionsfaktor nocheinmal graphisch dargestellt.

68 Kapitel 12: Der Prädiktionsfit mit variablen PositionsfaktorenReichweite/kHz700600500400300200100ReichweitenHyperbel00.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1PositionsfaktorAbbildung 12.1.2: Reichweiten des Prädiktionsfits in Abhängigkeit vom Positionsfaktor γ durchdie Hyperbel 12.1 angenähertDurch diese Punkte soll nun eine Kurve gelegt werden, anhand derer das Fitprogramm diePosition der Sprungverteilungen bestimmen kann. Da γ auch bei sehr großen Übergangsratennicht größer als 1 werden darf, ist es sinnvoll, eine Hyperbel durch die Punkte zu legen. Dienach der Methode der kleinsten Quadrate optimal an die Punkte angenäherte Hyperbel, die inGleichung 12.1 angegeben ist, ist in Abbildung 12.1.2 ebenfalls dargestellt.R=280001 − 1,06(12.1)R ist die Reichweite des Prädiktionsfits in Hertz, γ der Positionsfaktor, durch den mitGleichung 9.3 die Position der Sprungverteilung bestimmt wird. Um γ als Funktion von R zuerhalten, wie es für Gleichung 12.2 erforderlich ist, muss Gleichung 12.1 nach γ aufgelöstwerden.Ideal wäre es jetzt, wenn bei jeder Berechnung des Simplex für jede einzelneÜbergangsrate die Position der Sprungverteilung anhand von Gleichung 12.1 festgelegtwerden könnte. Das ist aber leider nicht möglich. Jede Umpositionierung derSprungverteilungen verursacht nämlich gleichzeitig eine Neunormierung der Likelihood. Einesinnvolle Maximierung der Likelihood kann aber nur stattfinden, wenn jeder einzelne Punktdes Simplex gleich normiert ist.Gleichung 12.1 wird deswegen auf folgende Weise im Prädiktionsfit berücksichtigt. Ausdem Satz k ji der Startwerte des Fits, aus denen die p ji für die Prädiktionsgleichung 2.3 durchLösen der Kolmogorov-Gleichung 2.7 bestimmt werden, wird für jede einzelneÜbergangsrate k ji der zugehörige Positionsfaktor γ ji nach folgender Gleichung bestimmt:γγji⎧γ(k ) nach Gleichung12.1, für kji ji⎪= ⎨1⎪ , für kji≤ 65kHz⎩ 2ji> 65 kHz(12.2)

Kapitel 12: Der Prädiktionsfit mit variablen Positionsfaktoren 69Dass γ ji = 1 / 2 gesetzt wird für k ji ≤65 kHz erklärt sich aus Abbildung 11.2.2.A. FürÜbergangsraten bis 65 kHz stimmen die Ergebnisse mit γ= 1 / 2 exakt. Das Ausbrechen derErgebnisse, dem hier durch die Verlagerung der Sprungverteilungen entgegengewirkt werdensoll, beginnt erst bei k ji >65 kHz.Für große Übergangsraten werden die Positionsfaktoren nach Gleichung 12.1 bestimmt.Für alle Positionsfaktoren γ ji werden dann nach Gleichung 9.4 die zugehörigenSprungverteilungen g ji v (y) berechnet. Mit den so gewonnenen Sprungverteilungen startet derMaximum-Likelihood-Fit. Nach jeder Berechnung einer Likelihood nach Gleichung 2.6 wirdüberprüft, ob die Gefahr des Ausbrechens besteht. Das ist dann der Fall, wenn in dem Satzvon Übergangsraten, für den bis zu diesem Zeitpunkt die größte Likelihood L berechnetwurde, eine Übergangsrate k ji nach Gleichung 12.1 größer ist als die Reichweite deszugehörigen Positionsfaktors γ ji :k ji280001−1.06γ> (12.3)Tritt die Bedingung aus Gleichung 12.3 ein, wird für die Übergangsrate k ji nach Gleichung12.1 ein neuer Positionsfaktor γ ji (k ji ) und daraus nach Gleichungen 9.3 und 9.4 eine neueSprungverteilung g ji v (y) berechnet. Wegen der neuen Normierung, die durch dieseSprungverteilung verursacht wird, muss jetzt für alle Sätze von Übergangsraten dieLikelihood L neu bestimmt werden. Danach läuft der Fit normal weiter.Während eines Durchlaufs des Fits werden die Positionsfaktoren also nur vergrößert, dannaber nicht mehr verkleinert. Ein kleines Problem kann also auftreten, wenn die Startwerte fürden Simplex wesentlich höher gewählt werden als die tatsächlichen Raten. DiePositionsfaktoren sind dann größer als sie für die tatsächlichen Raten sein müssten, und eskann passieren, dass man zu niedrige Ergebnisse bekommt. Man muss also, wenn dieFitergebnisse wesentlich niedriger liegen als die Startwerte, den Fit noch einmal mit neuenStartwerten laufen lassen.ji

70 Kapitel 12: Der Prädiktionsfit mit variablen PositionsfaktorenFitergebnisse koc/kHz12.1.1. ReichweitentestIch habe für dieses Verfahren, bei dem die Positionen der Sprungverteilungen auf die in denGleichungen 12.1 – 12.3 beschriebene Weise gewählt werden, den aus Kapitel 5.4 bekanntenReichweitentest durchgeführt. Die Ergebnisse sind im Vergleich mit denen des Gaußfits inAbbildung 12.1.3 dargestellt.A) B)25020015010050PrädiktionsfitGaußfitSollergebnisFitergebnisse kco/kHz500400300200100PrädiktionsfitGaußfitSollergebnis00 50 100 150 200 250koc/kHz00 100 200 300 400 500kco/kHzAbbildung 12.1.3: Ergebnisse von Gauß- und Prädiktionsfit beim Reichweitentest inAbhängigkeit von der Größe der Übergangsraten, Bestimmung der Positionsfaktoren nachGleichung 12.1/12.2, Abtastrate 200 kHz, Abknickfrequenz des vierpoligen Besselfilters 50 kHz,SNR 12,25 A) Sollergebnis Rate k OC =n*1 kHz, B) Sollergebnis Rate k CO =n*2 kHz (n=1...250)Bis 100 kHz wird Rate k OC in Abbildung 12.1.3.A mit einer Genauigkeit von 10 % gefittet.Zwischen 100 kHz und 250 kHz sind die Fitergebnisse für k OC durchgängig kleiner als dietatsächlichen Raten. Der Unterschied ist aber nie größer als 25%. Die Abweichungen bei Ratek CO sind im gesamten Bereich kleiner als 10%.Mit der Positionierung der Sprungverteilungen nach Gleichungen 12.1 und 12.2 ist alsotatsächlich eine erhebliche Verbesserung des Zeitauflösungsvermögens erreicht worden. BeiRate k CO konnten Werte bis zu 500 kHz entdeckt werden, was eine Verzehnfachung desZeitauflösungsvermögens gegenüber der in Kapitel 6.2 festgestellten Reichweite des Gaußfitsvon 50 kHz bedeutet.Festzustellen ist nun, ob dieser Erfolg auch bei anderen Markov-Prozessen zu erreichen istoder ob er ein Einzelfall ist.

Kapitel 12: Der Prädiktionsfit mit variablen Positionsfaktoren 7112.2. Variable Positionsfaktoren bei einpolig gefiltertenZeitreihen12.2.1. Anwendbarkeit von Gleichungen 12.1/12.2In diesem Abschnitt wird überprüft, ob ähnlich gute Ergebnisse wie im letzten Abschnitt beivierpolig gefilterten Zeitreihen auch für einpolig gefilterte Zeitreihen erreicht werden können.Dass eine Bestimmung der Positionsfaktoren anhand von Gleichung 12.1 wie bei vierpoliggefilterten Zeitreihen für einpolig gefilterte Zeitreihen nicht sinnvoll ist, zeigt schonAbbildung 12.2.1. Dort sind die Ergebnisse des Prädiktionsfits mit Positionsfaktor γ= 1 / 2 beimReichweitentest zu sehen. Aufgetragen sind die Ergebnisse für Raten k OC und k CO von einundvierpolig gefilterten Zeitreihen.A) B)1600SollergebnisVierpoliges Filter3600SollergebnisVierpoliges FilterFitergebnisse koc/kHz1200800400Einpoliges FilterFitergebnisse kco/kHz27001800900Einpoliges Filter00 100 200 300koc/kHz00 200 400 600kco/kHzAbbildung 12.2.1: Ergebnisse von Gauß- und Prädiktionsfit beim Reichweitentest inAbhängigkeit von der Größe der Übergangsraten, Positionsfaktor γ= 1 / 2 , Abtastrate 200 kHz,Abknickfrequenz von ein- und vierpoligem Besselfilter 50 kHz, SNR 12,25 A) Sollergebnis Ratek OC =n*1 kHz, B) Sollergebnis Rate k CO =n*2 kHz (n=1...250)Deutlich zu erkennen ist, dass für beide Raten die Ergebnisse bei einpolig gefiltertenZeitreihen später ausbrechen als bei vierpolig gefilterten. Bei Rate k OC erfolgt das Ausbrechenbei 125 kHz anstatt bei 100 kHz und bei k CO bei 250 kHz anstatt bei 200 kHz.Da diese Reichweiten des Fits bei verschiedenen Positionen der Sprungverteilungen geradedie Grundlage für Gleichung 12.1 bilden, die ich für den Zusammenhang zwischenReichweite und Position der Sprungverteilung bei vierpolig gefilterten Zeitreihen gefundenhatte, ist klar, dass Gleichung 12.1 so nicht auf einpolig gefilterte Zeitreihen angewendetwerden kann.12.2.2. DiskussionWie kommt es zu diesem früheren Ausbrechen bei vierpolig gefilterten Zeitreihen? DerEffekt, den ich als Ausbrechen bezeichne, ist der, dass man unabhängig davon, wie groß die

72 Kapitel 12: Der Prädiktionsfit mit variablen Positionsfaktorentatsächlichen Übergangsraten sind, immer Fitergebnisse um 2 GHz erhält. Ich hatte in Kapitel10.3 angeführt, dass diese Erscheinung daher rührt, dass irgendwann so viele Werte imMittelbereich zwischen den Niveaus konzentriert sind, dass der Fit praktisch jedemMesspunkt einen Sprung zuordnet.Nun haben aber die Untersuchungen zum Einfluss der Filterung höherer Ordnung auf dasAmplitudenhistogramm in Kapitel 4 ergeben, dass das vierpolige Filter bei ansonsten gleichenVoraussetzungen zu einer wesentlich stärkeren Konzentration von Messwerten in der Mitteführt als das einpolige. Es ist deswegen einsichtig, dass bei vierpolig gefilterten Zeitreihenschon mit niedrigeren Übergangsraten die Konzentration der Messwerte in der Mitte so starkist, dass die Ergebnisse ausbrechen.12.2.3. Beziehung zwischen Positionsfaktor und Reichweite für einpoliggefilterte ZeitreihenMit Hilfe der in Kapitel 12.1 beschriebenen Methode wird nun eine Beziehung gesucht, dieReichweite und Position der Sprungverteilungen für einpolig gefilterte Zeitreihen richtigmiteinander verknüpft. Die dazu gefundenen Reichweiten mit den Positionsfaktoren γ= 1 / 2 , 2 / 3 ,4 / 5 , 5 / 6 , 9 / 10 und 19 / 20 sind in der folgenden Tabelle zusammengestellt.Positionsfaktor γ1 / 2 2 / 3 3 / 4 4 / 5 5 / 6 9 / 10 19 / 20Reichweite/kHz 70 110 150 200 280 580 -Abbildung 12.2.2: Zusammenstellung der Reichweiten des Prädiktionsfits mit verschiedenenPositionsfaktoren, Abknickfrequenz des einpoligen Besselfilters 50 kHz, Abtastfrequenz 200kHzDie Hyperbel, die die in der Tabelle zusammengestellten Fitreichweiten am besten annähert,ist in Gleichung 12.4 angegeben.32000R =1 − 1,05γ(12.4)R ist hier wieder die Reichweite des Fits in Hz und γ der Positionsfaktor.Die Sprungverteilungen des Prädiktionsfits werden bei den folgenden Untersuchungenwieder auf die in Abschnitt 12.1 beschriebene Weise variabel gewählt. Die dazu notwendigenPositionsfaktoren werden nach Gleichung 12.5 berechnet:⎧γ(k ) nach Gleichung12.4, für k > 70 kHzji jiji⎪γji= ⎨1⎪ , für kji≤ 70 kHz⎩ 2Abbildung 12.2.3 zeigt die Ergebnisse von Gauß- und Prädiktionsfit.(12.5)

Kapitel 12: Der Prädiktionsfit mit variablen Positionsfaktoren 73A) B)250Prädiktionsfit600PrädiktionsfitFitergebnisse koc/kHz20015010050GaußfitSollergebnisFitergebnisse kco/kHz500400300200100GaußfitSollergebnis00 50 100 150 200 250koc/kHz00 100 200 300 400 500kco/kHzAbbildung 12.2.3: Ergebnisse von Gauß- und Prädiktionsfit beim Reichweitentest inAbhängigkeit von der Größe der Übergangsraten, Bestimmung der Positionsfaktoren nachGleichungen 12.4/12.5, Abtastrate 200 kHz, Abknickfrequenz des einpoligen Besselfilters 50kHz, SNR 12,25 A) Sollergebnis Rate k OC =n*1 kHz, B) Sollergebnis Rate k CO =n*2 kHz (n=1...250)Für die Rate k CO (Abbildung 12.2.3.B) sind bis zu einer Frequenz von 450 kHz praktischkeine Abweichungen von Fitergebnissen zu tatsächlichen Raten zu erkennen. Erst im darüberliegenden Bereich fangen die Ergebnisse für Rate k CO an, sich nach oben zu entfernen. Etwasschlechter wird k OC detektiert. Bis zu Raten von 150 kHz gibt es Abweichungen von 10%.Zwischen 150 kHz und 250 kHz treten Abweichungen von bis zu 25% auf. Positiv ist esjedenfalls, dass auch hier die Ergebnisse durchgehend wesentlich besser sind als die desGaußfits.Auffällig ist, dass es beim Gaußfit keinen Unterschied macht, ob eine ein- oder vierpoliggefilterte Zeitreihe gefittet wird. Die stärkere Konzentration von Werten im Mittelbereich, diedas vierpolige Filter verursacht, macht sich nur geringfügig bemerkbar, weil diese„unsicheren“ Werte nur mit einem sehr kleinen Bewertungsfaktor berücksichtigt werden.

74 Kapitel 12: Der Prädiktionsfit mit variablen Positionsfaktoren12.3. Andere Abknickfrequenz des vierpoligen Filters12.3.1. Anwendbarkeit von Gleichung 12.1/12.2Gleichungen 12.1/12.2 liefern ebenfalls nicht die korrekten Werte für die Positionsfaktoren,wenn für das vierpolige Filter eine andere Abknickfrequenz gewählt wird. In Abbildung12.3.1 sind die Ergebnisse des Reichweitentests für Rate k CO bei γ= 1 / 2 und γ= 5 / 6 dargestellt.Die Abknickfrequenz des vierpoligen Tiefpasses liegt hier bei 15 kHz. Zum Vergleich sinddie Ergebnisse bei einer Abknickfrequenz von 50 kHz aufgetragen.A) B)Fitergebnisse kco/kHz6000450030001500SollergebnisAbknickfrequenz, 50 kHzAbknickfrequenz, 15 kHzFitergebnisse kco/kHz4000300020001000SollergebnisAbknickfrequenz, 50 kHzAbknickfrequenz, 15 kHz00 200 400 600kco/kHz00 200 400 600kco/kHzAbbildung 12.3.1: Ergebnisse von Gauß- und Prädiktionsfit beim Reichweitentest inAbhängigkeit von k CO , Sollergebnis k CO =n*2 kHz (n=1...250), Abknickfrequenz des vierpoligenBesselfilters 15 kHz und 50 kHz, Abtastrate 200 kHz, SNR 12,25 A) Positionsfaktor γ= 1 / 2 , B)Positionsfaktor γ= 5 / 6Da, wie in Kapitel 4 gezeigt, eine niedrige Abknickfrequenz des Tiefpassfilters zu einerstärkeren Konzentration der Messwerte in der Mitte führt, war zu erwarten, dass dieErgebnisse schon wesentlich früher ausbrechen, wenn die Abknickfrequenz bei nur 15 kHzliegt. Genau das passiert auch.So erfolgt z.B. das Ausbrechen von Rate k CO mit γ= 5 / 6 bei einer Abknickfrequenz von 50kHz erst bei 400 kHz, bei einer Abknickfrequenz von 15 kHz dagegen schon bei 200 kHz.Mit γ= 1 / 2 bricht k CO bei 50 kHz anstatt bei 200 kHz aus. Nicht unerwartet hat dieAbknickfrequenz des Filters also einen sehr deutlichen Einfluss auf die Reichweite desPrädiktionsfits.12.3.2. Beziehung zwischen Positionsfaktor und Reichweite bei einerAbknickfrequenz des vierpoligen Besselfilters von 15 kHzAuch für eine Abknickfrequenz von 15 kHz lässt sich jedoch mit dem schon in denAbschnitten 12.1 und 12.2 angewendeten Verfahren eine Beziehung zwischen Reichweite Rund Positionsfaktor γ finden, mit der der Bereich bis 500 kHz abgedeckt werden kann. Dazu

Kapitel 12: Der Prädiktionsfit mit variablen Positionsfaktoren 75wurden wieder die Reichweiten des Prädiktionsfits mit γ= 1 / 2 , 2 / 3 , 4 / 5 , 5 / 6 , 9 / 10 und 19 / 20festgestellt. In der folgenden Tabelle sind die Reichweiten zusammengestellt.Positionsfaktor γ1 / 2 2 / 3 3 / 4 4 / 5 5 / 6 9 / 10 19 / 20Reichweite/kHz 10 16 24 32 43 110 -Abbildung 12.3.2: : Zusammenstellung der Reichweiten des Prädiktionsfits mit verschiedenenPositionsfaktoren, Abknickfrequenz des vierpoligen Besselfilters 15 kHz, Abtastfrequenz 200kHzDie Annäherung dieser Punkte wie in Abbildung 12.1.2 ergibt die folgende Hyperbel:R=50001 − 1,05 γ(12.6)Im folgenden werden die Positionsfaktoren also nach Gleichung 12.7 bestimmt. In Abbildung12.3.2 ist zu sehen, dass die Ergebnisse des Prädiktionsfits mit γ= 1 / 2 schon anfangenauszubrechen, wenn die Übergangsraten 10 kHz überschreiten. Das führt dazu, dass schon ab10 kHz angefangen werden muss, die Positionsfaktoren variabel zu wählen.γji⎧γ(k ) nach Gleichung12.6, für kji ji⎪= ⎨1⎪ , für k ≤10kHzji⎩ 2ji> 10 kHz(12.7)Auch mit diesem Verfahren wurde ein Reichweitentest durchgeführt, dessen Ergebnisse, inAbbildung 12.3.3 dargestellt sind.

76 Kapitel 12: Der Prädiktionsfit mit variablen PositionsfaktorenA) B)250Prädiktionsfit600PrädiktionsfitFitergebnisse koc/kHz20015010050SollergebnisFitergebnisse kco/kHz500400300200100Sollergebnis00 50 100 150 200 250koc/kHz00 100 200 300 400 500kco/kHzAbbildung 12.3.3: Ergebnisse von Gauß- und Prädiktionsfit beim Reichweitentest inAbhängigkeit von der Größe der Übergangsraten, Bestimmung der Positionsfaktoren nachGleichungen 12.6/12.7, Abtastrate 200 kHz, Abknickfrequenz des vierpoligen Besselfilters 15kHz, SNR 12,25 A) Sollergebnis Rate k OC =n*1 kHz, B) Sollergebnis Rate k CO =n*2 kHz (n=1...250)Für die Rate k OC werden durchgängig zu niedrige Ergebnisse gefittet. Die Abweichungenwerden je größer, desto schneller die Übergangsraten sind. Anstatt der tatsächlichen Rate von250 kHz liefert der Fit zum Beispiel ein Ergebnis von knapp 150 kHz. Für k CO hingegenwerden wieder im gesamten Bereich die tatsächlichen Raten sehr exakt herausgefunden.Die Ergebnisse dieses Abschnitts sind sehr bemerkenswert, denn immerhin werden hierÜbergangsraten erkannt, die beim mehr als 30-fachen der Abknickfrequenz des Tiefpassesliegen.Bisher hat sich also herausgestellt, dass sowohl der Übergang vom ein- zum vierpoligenFilter als auch der Übergang von Abknickfrequenz 50 kHz zu Abknickfrequenz 15 kHz eineAnpassung der Beziehung zwischen Reichweite R und Positionsfaktor γ (Gleichungen 12.1,12.4 und 12.6) erforderlich macht. Mit den Gleichungen 12.1, 12.4 und 12.6 gelang es aber inallen Fällen, den Bereich bis 500 kHz abzudecken. Allerdings waren die bisherigenUntersuchungen auf das Ein-Kanal-C/O-Modell mit Besetzungswahrscheinlichkeit 1:2 beigutem Signal-Rausch-Verhältnis beschränkt. Im folgenden Kapitel soll untersucht werden, obdie hier gefundenen Ergebnisse auch allgemein gelten.

13. Der Prädiktionsfit mit variablenPositionsfaktoren beim Zwei-Zustands-Modell13.1. EinleitungIm letzten Kapitel wurden passende Beziehungen zwischen Reichweite des Fits undPositionsfaktor für verschiedene äußere Bedingungen gefunden. Die gesamten dazunotwendigen Fits wurden ausschließlich mit Ein-Kanal-C/O-Modellen mitBesetzungswahrscheinlichkeit 1 zu 2 bei gutem Signal-Rausch-Verhältnis durchgeführt. Zuzeigen ist nun, dass der Prädiktionsfit mit variablen Positionsfaktoren auch bei anderenMarkov-Modellen funktioniert.In diesem Kapitel wird weiterhin das Ein-Kanal-C/O-Modell behandelt, dessen Zeitreihenmit einem vierpoligen Filter mit einer Abknickfrequenz von 50 kHz gefiltert sind. Es sollfestgestellt werden, wie sehr die Leistungsfähigkeit des Fits vom Rauschen, von denAnfangswerten und von der Besetzungswahrscheinlichkeit zwischen den beiden Zuständenabhängt. Bei den Untersuchungen wird der Bereich von Übergangsraten bis 500 kHzabgedeckt.Die Positionsfaktoren γ ji werden im gesamten Kapitel anhand von Gleichungen 12.1 und12.2, die sich für das vierpolige Filter mit einer Abknickfrequenz von 50 kHz als idealerwiesen haben, bestimmt. Mit Hilfe der Positionsfaktoren werden auf die in Kapitel 12.1beschriebene Weise die Sprungverteilungen g ji v (y) bestimmt.

78 Kapitel 13: Der Prädiktionsfit mit variablen Positionsfaktoren beim Zwei-Zustands-Modell13.2. Abhängigkeit der Ergebnisse von der BesetzungswahrscheinlichkeitIn den nächsten sechs Versuchsreihen wird jeweils Rate k CO bei den Werten 1 kHz, 5 kHz, 10kHz, 50 kHz, 100kHz und 500 kHz konstant gehalten. k OC wird in 250 Schritten von 2 kHzauf 500 kHz erhöht. In Abbildung 13.2.1 sind die Modelle graphisch dargestellt.Modell 1Cn*2 kHz1 kHzModell 2OCModell 3 Modell 4n*2 kHz5 kHzOCn*2 kHzOCn*2 kHzO10 kHz50 kHzModell 5Modell 6Cn*2 kHzOCn*2 kHzO100 kHz500 kHzAbbildung 13.2.1: Sechs Ein-Kanal-C/O-Modelle, die in diesem Abschnitt gefittet werden (n=1 ...250).Als Anfangswerte für den Fit werden die tatsächlichen Raten verwendet. Bei einer Abtastratevon 200 kHz liegt die Abknickfrequenz des vierpoligen Filters bei 50 kHz. Es wird weißesRauschen verwendet. Das SNR beträgt 12,25.In den folgenden sechs Abbildungen sind die Ergebnisse dargestellt.A) B)Fitergebnisse kco/kHz1.61.20.80.4SollergebnisGaußfitPrädiktionsfitFitergebnisse koc/kHz800600400200SollergebnisGaußfitPrädiktionsfit00 200 400 600Rate koc/kHz00 200 400 600Rate koc/kHzAbbildung 13.2.2: Ergebnisse von Prädiktionsfit und Gaußfit für Modell 1, Bestimmung derPositionsfaktoren nach Gl. 12.1/12.2, Abtastrate 200 kHz, Abknickfrequenz des vierpoligenBesselfilters 50 kHz, SNR 12,25 A) Sollergebnis Rate k CO =1 kHz, B) Sollergebnis Rate k OC = n*2kHz (n=1...250)

Kapitel 13: Der Prädiktionsfit mit variablen Positionsfaktoren beim Zwei-Zustands-Modell 79Fitergebnisse kco/kHz8642A) B)SollergebnisGaußfitPrädiktionsfitFitergebnisse koc/kHz800600400200SollergebnisGaußfitPrädiktionsfit00 200 400 600koc/kHz00 200 400 600koc/kHzAbbildung 13.2.3: Ergebnisse von Prädiktionsfit und Gaußfit für Modell 2, Bestimmung derPositionsfaktoren nach Gl. 12.1/12.2, Abtastrate 200 kHz, Abknickfrequenz des vierpoligenFilters 50 kHz, SNR 12,25 A) Sollergebnis k CO =5 kHz, B) Sollergebnis k OC = n*2 kHz (n=1...250)Fitergebnisse kco/kHz1612840A) B)SollergebnisGaußfitPrädiktionsfit0 200 400 600koc/kHzFitergebnisse koc/kHzAbbildung 13.2.4: Ergebnisse von Prädiktionsfit und Gaußfit für Modell 3, Bestimmung derPositionsfaktoren nach Gl. 12.1/12.2, Abtastrate 200 kHz, Abknickfrequenz des vierpoligenFilters 50 kHz, SNR 12,25 A) Sollergebnis k CO =10 kHz, B) Sollergebnis k OC = n*2 kHz (n=1...250)600450300150A) B)0SollergebnisGaußfitPrädiktionsfit0 200 400 600koc/kHzFitergebnisse kco/kHz80604020SollergebnisGaußfitPrädiktionsfitFitergebnisse koc/kHz600450300150SollergebnisGaußfitPrädiktionsfit00 200 400 600koc/kHz00 200 400 600koc/kHzAbbildung 13.2.5: Ergebnisse von Prädiktionsfit und Gaußfit für Modell 4, Bestimmung derPositionsfaktoren nach Gl. 12.1/12.2, Abtastrate 200 kHz, Abknickfrequenz des vierpoligenFilters 50 kHz, SNR 12,25 A) Sollergebnis k CO =50 kHz, B) Sollergebnis k OC = n*2 kHz (n=1...250)

80 Kapitel 13: Der Prädiktionsfit mit variablen Positionsfaktoren beim Zwei-Zustands-ModellFitergebnisse kco/kHz1601208040A) B)SollergebnisGaußfitPrädiktionsfitFitergebnisse koc/kHz600450300150SollergebnisGaußfitPrädiktionsfit00 200 400 600koc/kHz00 200 400 600koc/kHzAbbildung 13.2.6: Ergebnisse von Prädiktionsfit und Gaußfit für Modell 5, Bestimmung derPositionsfaktoren nach Gl. 12.1/12.2, Abtastrate 200 kHz, Abknickfrequenz des vierpoligenFilters 50 kHz, SNR 12,25 A) Sollergebnis k CO =100 kHz, B) Sollergebnis k OC = n*2 kHz (n=1...250)Fitergebnisse kco/kHz1000750500250A) B)SollergebnisGaußfitPrädiktionsfitFitergebnisse koc/kHz600450300150SollergebnisGaußfitPrädiktionsfit00 200 400 600koc/kHz00 200 400 600koc/kHzAbbildung 13.2.7: Ergebnisse von Prädiktionsfit und Gaußfit für Modell 6, Bestimmung derPositionsfaktoren nach Gl. 12.1/12.2, Abtastrate 200 kHz, Abknickfrequenz des vierpoligenFilters 50 kHz, SNR 12,25 A) Sollergebnis k CO =500 kHz, B) Sollergebnis k OC = n*2 kHz (n=1...250)In Abbildung 13.2.2 liegt Rate k CO konstant bei 1 kHz, Rate k OC wird in 250 Schritten von 2kHz auf 500 kHz erhöht. Die Schwierigkeit bei dieser Testreihe ist der am Ende sehr großeUnterschied in den Besetzungswahrscheinlichkeiten zwischen den beiden Zuständen. Ist k OCgleich 500 kHz, ergibt sich eine Besetzungswahrscheinlichkeit von 1:500. In Abbildung13.2.2.A sieht man, dass die langsame Rate k CO je schlechter erkannt wird, desto größer derUnterschied in der Besetzungswahrscheinlichkeit ist. Beim Prädiktionsfit werden dieAbweichungen aber nicht größer als 40 %, während der Gaußfit Werte zwischen 10 Hz und50 Hz anstatt 1000 Hz ausgibt. Rate k OC wird im Vergleich besser erkannt. DieAbweichungen des Gaußfits liegen bei 50%, die des Prädiktionsfits unter 20%. Weiterhin istes beim Prädiktionsfit positiv, dass die Ergebnisse um die tatsächlichen Raten schwanken, imGegensatz zum Gaußfit, der insgesamt zu niedrige Ergebnisse liefert.Diese Beobachtungen setzen sich in den Abbildungen 13.2.3-4 fort. Durchgängig gibt esmit dem Gaußfit erhebliche Probleme beim Erkennen von Rate k CO . Mit steigendemUnterschied in der Besetzungswahrscheinlichkeit werden die Fitergebnisse für k CO immerkleiner. Dem Prädiktionsfit gelingt das Erkennen wesentlich besser. Nur in Abbildung 13.2.5

Kapitel 13: Der Prädiktionsfit mit variablen Positionsfaktoren beim Zwei-Zustands-Modell 81sinken die Ergebnisse für k CO gegen Ende ab. Immer noch liefert der Prädiktionsfit aber 20kHz anstatt 50 kHz, der Gaußfit hingegen nur 5 kHz.Auch Rate k OC wird vom Gaußfit immer zu niedrig geschätzt. Die Ergebnisse desPrädiktionsfit weichen um nicht mehr als 20% von den wahren Werten ab. KleinerAusrutscher ist ebenfalls die Rate k OC in Abbildung 13.2.5. Hier liegen die Ergebnisse amEnde um 30% zu tief.In den Abbildungen 13.2.6 und 7 ist Rate k CO mit 100 kHz und 500 kHz so schnell, dassstark unterschiedliche Besetzungswahrscheinlichkeiten entstehen, wenn k OC langsam ist.Auch hier erkennt der Gaußfit k CO mit schneller werdender Rate k OC schlechter. Dass Ratek OC ebenfalls schlecht erkannt wird, wenn sie klein ist, stimmt mit den Beobachtungen ausAbbildung 13.2.2.A überein. In der Skalierung, die in Abbildungen 13.2.6.B und 7.B gewähltwurde, lässt es sich aber schlecht direkt erkennen. In beiden Fällen schlägt sich jedenfalls derPrädiktionsfit besser als der Gaußfit. Insbesondere ist es bemerkenswert, wie gut die 500 kHzschnelle Rate k CO in Abbildung 13.2.7.A im gesamten Bereich erkannt wird.Der Vollständigkeit halber sind in Abbildung 13.2.8 noch die Ergebnisse für den Fallk CO =k OC =n*2 kHz (n=1...250) dargestellt.A) B)Fitergebnisse kco/kHz600450300150SollergebnisGaußfitPrädiktionsfitFitergebnisse koc/kHz600450300150SollergebnisGaußfitPrädiktionsfit000 200 400 600kco/kHz0 200 400 600koc/kHzAbbildung 13.2.8: Ergebnisse von Prädiktionsfit und Gaußfit, Bestimmung derPositionsfaktoren nach Gl. 12.1/12.2, Abtastrate 200 kHz, Abknickfrequenz des vierpoligenFilters 50 kHz, SNR 12,25 A) Sollergebnis Rate k CO =n*2 kHz, B) Sollergebnis Rate k OC = n*2 kHz(n=1...250)Wenig überraschend erhält man für k CO und k OC die gleichen Ergebnisse. Der Prädiktionsfitentdeckt das schnelle Schalten hier ebenfalls erkennbar besser als der Gaußfit.Die in allen Fällen unabhängig von der Besetzungswahrscheinlichkeit sehr gutenErgebnisse des Prädiktionsfits können als Bestätigung dafür gewertet werden, dass Gleichung12.1 unabhängig von der Besetzungswahrscheinlichkeit die richtige Beziehung zwischenPositionsfaktor und Reichweite angibt.

82 Kapitel 13: Der Prädiktionsfit mit variablen Positionsfaktoren beim Zwei-Zustands-Modell13.3. Abhängigkeit der Ergebnisse von den AnfangswertenIn diesem Abschnitt soll überprüft werden, wie stark sich die Ergebnisse in Abhängigkeit vonden Startwerten des Fits ändern. Dazu werden wieder die Modelle 1–9 aus Kapitel 5.3, diealle eine Besetzungswahrscheinlichkeit von 1 zu 2 haben, gefittet. Für jedes Modell wird eineZeitreihe erzeugt, die immer wieder mit verschiedenen Anfangswerten gefittet wird. DieAnfangswerte sind für k OC =n*1 kHz und für k CO =n*2 kHz (n=1...250). Bei einer Abtastratevon 200 kHz liegt die Abknickfrequenz des vierpoligen Filters bei 50 kHz. Das Signal-Rausch-Verhältnis beträgt bei weißem Rauschen 12,25.In den folgenden Abbildungen sind die Ergebnisse exemplarisch dargestellt. Die linkenAbbildungen zeigen Rate k OC , die rechten k CO .Fitergebnisse koc/kHz42A) B)SollergebnisGaußfitPrädiktionsfitFitergebnisse kco/kHz84SollergebnisGaußfitPrädiktionsfit00 100 200 300Anfangswert/kHz00 200 400 600Anfangswert/kHzAbbildung 13.3.1: Ergebnisse von Gauß- und Prädiktionsfit für Modell 3 (2/4 kHz) inAbhängigkeit von den Anfangswerten, Bestimmung der Positionsfaktoren nach Gl. 12.1/12.2,Abtastrate 200 kHz, Abknickfrequenz des vierpoligen Besselfilters 50 kHz, SNR 12,25, A)Anfangswerte Rate k OC =n*1 kHz, B) Anfangswerte k CO =n*2 kHz (n=1...250)

Kapitel 13: Der Prädiktionsfit mit variablen Positionsfaktoren beim Zwei-Zustands-Modell 83Fitergebnisse koc/kHz10050A) B)SollergebnisGaußfitPrädiktionsfitFitergebnisse kco/kHz200100SollergebnisGaußfitPrädiktionsfit00 100 200 300Anfangswert/kHz00 200 400 600Anfangswert/kHzFitergebnisse koc/kHzAbbildung 13.3.2: Ergebnisse von Gauß- und Prädiktionsfit für Modell 7 (50/100 kHz) inAbhängigkeit von den Anfangswerten, Bestimmung der Positionsfaktoren nach Gl. 12.1/12.2,Abtastrate 200 kHz, Abknickfrequenz des vierpoligen Besselfilters 50 kHz, SNR 12,25, A)Anfangswerte Rate k OC =n*1 kHz, B) Anfangswerte k CO =n*2 kHz (n=1...250)200100A) B)SollergebnisGaußfitPrädiktionsfitFitergebnisse kco/kHz400200SollergebnisGaußfitPrädiktionsfit00 100 200 300Anfangswert/kHz00 200 400 600Anfangswert/kHzAbbildung 13.3.3: Ergebnisse von Gauß- und Prädiktionsfit für Modell 8 (100/200 kHz) inAbhängigkeit von den Anfangswerten, Bestimmung der Positionsfaktoren nach Gl. 12.1/12.2,Abtastrate 200 kHz, Abknickfrequenz des vierpoligen Besselfilters 50 kHz, SNR 12,25, A)Anfangswerte Rate k OC =n*1 kHz, B) Anfangswerte k CO =n*2 kHz (n=1...250)Anhand von Abbildung 13.3.1, in der die Ergebnisse für Modell 3 (2/4 kHz) dargestellt sind,will ich die Ergebnisse der Modelle 1 – 3 beschreiben. Bei beiden Raten zeigt sich sowohl fürden Gauß- als auch für den Prädiktionsfit keine Abhängigkeit von den Anfangswerten. BeideFits finden zudem die richtigen Werte von 2 kHz und 4 kHz heraus. WesentlicheUnterschiede zwischen den beiden Verfahren sind nicht zu erkennen. Gleiches gilt für die

84 Kapitel 13: Der Prädiktionsfit mit variablen Positionsfaktoren beim Zwei-Zustands-ModellModelle 1 (0,5/1 kHz) und 2 (1/2 kHz), bei denen ebenfalls von beiden Verfahren die Ratensehr gut erkannt werden.Bei den Modellen 4–7 sind die Übergangsraten schon so groß, dass einige schnelleSchaltereignisse vom Gaußfit nicht mehr erkannt werden. In Abbildung 13.3.2, in der dieErgebnisse für Modell 7 (50/100 kHz) zu sehen sind, macht man folgende Beobachtungen.Nach wie vor liefert der Gaußfit unabhängig von den Anfangswerten immer das gleicheErgebnis. Für beide Raten liegt dieses Ergebnis aber um mehr als ein Drittel unter dengesuchten Werten von 50 kHz und 100 kHz. Genau das ist der Mangel des Gaußfits, der mitdem Prädiktionsfit ausgeglichen werden sollte.Solange die Anfangswerte kleiner als die gesuchten Werte sind, findet der Prädiktionsfitdie Raten auch gut heraus. Die Abweichungen bei Rate k OC liegen im Bereich von 10%, beiRate k CO sind sie nicht nennenswert. Werden die Anfangswerte um mehr als 10% größer alsdie tatsächlichen Raten, sinken die Fitergebnisse ungefähr linear mit den Anfangswerten ab.Bis zum Ende sind die Ergebnisse aber immer noch besser als die des Gaußfits. DieseFeststellung bestätigt nur die Bemerkung, die ich schon in Kapitel 12.1 gemacht hatte.Gleichung 12.1 für die Positionsfaktoren greift erst ein, wenn im wahrscheinlichsten Satz vonÜbergangsraten im Simplex eine Rate größer als 65 kHz ist. Dann führt sie dazu, dass der zudieser Rate gehörige Positionsfaktor γ größer wird und der Prädiktionsfit sich immer mehr anden Gaußfit annähert. Wenn nun schon die Anfangswerte größer als die gesuchten Raten sind,ist im Simplex auch automatisch ein zu großer Wert der wahrscheinlichste. Je größer dieAnfangswerte sind, desto größer sind die Positionsfaktoren und desto niedriger sind dieFitergebnisse, die man erhält. Das Abfallen der Ergebnisse mit den Anfangswerten für großeAnfangswerte lässt sich so erklären. Eine große Einschränkung für die Anwendbarkeit desVerfahrens ergibt sich daraus nicht. Denn man kann, sobald die Fitergebnisse wesentlichniedriger sind als die Startwerte, den Prädiktionsfit einfach mit neuen Startwerten nocheinmal laufen lassen.Werden die Übergangsraten, wie in den Modellen 8 (100/200 kHz) und 9 (200/400 kHz)noch schneller, kommt als weitere Schwierigkeit hinzu, dass der Fit große Übergangsratenerkennen soll, obwohl er mit sehr kleinen Startwerten angefangen hat. Abbildung 13.3.3 zeigtdie Ergebnisse für Modell 8 (100/200 kHz). Auch hier zeigt der Gaußfit keine Abhängigkeitvon den Anfangswerten. Für beide Raten liegen die Ergebnisse aber um über die Hälfte zutief. Ebenso wie bei Modell 7 (50/100 kHz) fangen die Ergebnisse des Prädiktionsfits an, mitden Anfangswerten zu fallen, sobald die Anfangswerte die gesuchten Raten um mehr als 10%übersteigen. Auch wenn die Anfangswerte zu klein sind, bekommt man zu niedrigeErgebnisse. Der Prädiktionsfit schafft es also auch nicht, von kleinen Anfangswerten aufschnelle Übergangsraten zu schließen. Mit 30% bei Rate k OC und 20% bei Rate k CO sind dieAbweichungen aber immer noch klein im Vergleich zu denen des Gaußfits.Insgesamt bleibt also festzuhalten, dass es beim Gaußfit von wesentlich geringererBedeutung als beim Prädiktionsfit ist, mit welchen Anfangswerten der Fit gestartet wird. Inweiten Bereichen hängen die Ergebnisse kaum von der Wahl der Anfangswerte ab. Ebenfallsunabhängig von den Anfangswerten liefert aber der Prädiktionsfit stets die besseren Resultate.Beim Prädiktionsfit können die Ergebnisse jedoch durch geschickte Wahl der Anfangswertenochmals erheblich verbessert werden.Ein Nachteil des Prädiktionsfits zeigt sich jedoch in Abbildung 13.3.3. Dass es nichtgelingt, Raten von k OC =100 kHz und k CO =200 kHz herauszufinden, wenn die Anfangswertezu klein gewählt werden, deutet darauf hin, dass sich das Konvergenzverhalten verschlechterthat. Der Prädiktionsfit bleibt dann in lokalen Maxima des Simplex hängen, bevor der diewahren Übergangsraten herausfindet.

Kapitel 13: Der Prädiktionsfit mit variablen Positionsfaktoren beim Zwei-Zustands-Modell 8513.4. Abhängigkeit der Ergebnisse vom RauschenEinfluss auf die Resultate haben einerseits der Effektivwert des Rauschens und andererseitsdie Art des Rauschens. Einfachster Fall ist es, dass man weißes Rauschen hat. Im weißenRauschen haben alle Frequenzen die gleiche Spektraldichte. Bei Patch-Clamp-Messungen hatman aber in der Regel blaues Rauschen (Sigworth, 1983). Bei diesem steigt die Spektraldichtebeginnend mit 1 kHz linear bis zur Abknickfrequenz des Filters an (Schultze und Draber,1993). Dadurch, dass beim blauen Rauschen die großen Frequenzen mit einer hohen Intensitätvorhanden sind, ist es problematischer, schnelle Übergangsraten in Zeitreihen zu finden, diemit blauem Rauschen überlagert sind, als in solchen mit weißem Rauschen.Um die Wirkung des Rauschens auf die Ergebnisse herauszufinden, wird derRauschabhängigkeitstest aus Kapitel 5.3. für weißes und für das in Abschnitt 13.4.2beschriebene blaue Rauschen durchgeführt. Die Anfangswerte sind jetzt wieder gleich dentatsächlichen Übergangsraten.13.4.1. Weißes RauschenIn den Abbildungen 13.4.1 – 3 sind die Ergebnisse für weißes Rauschen anhand der Modelle3 (2/4 kHz), 6 (20/40 kHz) und 9 (200/400 kHz) dargestellt. Die linke Abbildung zeigt jeweilsdie Rate k OC , die rechte Rate k CO .A) B)4Prädiktionsfit8PrädiktionsfitGaußfitGaußfitFitergebnisse koc/kHz2SollergebnisFitergebnisse kco/kHz4Sollergebnis000 5 10 15SNR0 5 10 15SNRAbbildung 13.4.1: Ergebnisse von Gauß- und Prädiktionsfit für Modell 3 in Abhängigkeit vomSNR bei weißem Rauschen, Bestimmung der Positionsfaktoren nach Gl. 12.1/12.2, Abtastrate200 kHz, Abknickfrequenz des vierpoligen Filters 50 kHz, A) Sollergebnis k OC : 2 kHz, B)Sollergebnis k CO : 4 kHz

86 Kapitel 13: Der Prädiktionsfit mit variablen Positionsfaktoren beim Zwei-Zustands-ModellA) B)40PrädiktionsfitGaußfitSollergebnis80PrädiktionsfitGaußfitSollergebnisFitergebnisse koc/kHz20Fitergebnisse kco/kHz4000 5 10 15SNR00 5 10 15SNRAbbildung 13.4.2: Ergebnisse von Gauß- und Prädiktionsfit für Modell 6 in Abhängigkeit vomSNR bei weißem Rauschen, Bestimmung der Positionsfaktoren nach Gl. 12.1/12.2, Abtastrate200 kHz, Abknickfrequenz des vierpoligen Besselfilters 50 kHz, A) Sollergebnis Rate k OC : 20kHz, B) Sollergebnis Rate k CO : 40 kHzA) B)400PrädiktionsfitGaußfitSollergebnis800PrädiktionsfitGaußfitSollergebnisFitergebnisse koc/kHz200Fitergebnisse kco/kHz400000 5 10 15SNR0 5 10 15SNRAbbildung 13.4.3: Ergebnisse von Gauß- und Prädiktionsfit für Modell 9 in Abhängigkeit vomSNR bei weißem Rauschen, Bestimmung der Positionsfaktoren nach Gl. 12.1/12.2, Abtastrate200 kHz, Abknickfrequenz des vierpoligen Besselfilters 50 kHz, A) Sollergebnis Rate k OC : 200kHz, B) Sollergebnis Rate k CO : 400 kHzBei den Modellen 1 –3 finden sowohl Gauß- als auch Prädiktionsfit die gesuchten Raten gutheraus. Ab einem SNR von 1 ändert sich nichts mehr an den Ergebnissen. Dargestellt sind inAbbildung 13.4.1 die Ergebnisse für Modell 3 (2/4 kHz). Die Diagramme von Modell 1 (0,5/1kHz) und 2 (1/2 kHz) sehen analog aus.Auch bei den Modellen 4 –6 zeigt sich noch keine starke Abhängigkeit der Ergebnisse vomSignal-Rausch-Verhältnis. In Abbildung 13.4.2 sind die Resultate des Modells 6 (20/40 kHz)

Kapitel 13: Der Prädiktionsfit mit variablen Positionsfaktoren beim Zwei-Zustands-Modell 87zu sehen. Der Gaußfit liefert Raten, die um 20% zu niedrig sind, die des Prädiktionsfits liegenum etwas über 10% unter den tatsächlichen Raten.Wesentlich größer sind die Unterschiede zwischen Gaußfit und Prädiktionsfiterwartungsgemäß bei schnelleren Raten. Exemplarisch sind in Abbildung 13.4.3 dieErgebnisse beider Fits für Modell 9 (200/400 kHz) gezeigt. Der Gaußfit liegt hier um 50% zuniedrig. Die Schwankung in den Ergebnissen ist aber sehr klein. Die Ergebnisse desPrädiktionsfit schwanken stärker, dafür liegen sie aber im Mittel sehr nah an den tatsächlichenRaten. Nach wie vor hängen die Resultate kaum vom Signal-Rausch-Verhältnis ab.13.4.2. Blaues RauschenBei Patch-Clamp-Messungen hat man jedoch nicht, wie bisher bei allen Simulationenangenommen, weißes Rauschen, in dem alle Frequenzen gleich stark sind, sondern blauesRauschen, bei dem die Intensität mit der Frequenz ansteigt. Dass bei Patch-Clamp-Messungenblaues Rauschen entsteht, soll kurz anhand der bekannten Verstärkungsformel desgegengekoppelten Operationsverstärkers (z.B. Tietze und Schenk, 1971) erklärt werden. DieEingangsspannung U e – hier das Rauschen der Emitter-Basis-Strecke des ersten Transistors –wird bei bekanntem Eingangswiderstand R e und Ausgangswiderstand R a folgendermaßen zurAusgangsspannung U a verstärkt:Ua=RBei Patch-Clamp-Messungen besteht der Eingangswiderstand hauptsächlich aus dem durchdie Kapazität C der Pipette bestimmten Widerstand R e =1/jωC (Keunecke, 1995). DieVerstärkerformel 13.1 nimmt für große Frequenzen ω also folgende Form an:a+ RReeUe(13.1)R + 1/ jωC= U ≈ jωRC U(13.2)e1/ jωCaUaea*Das weiße Rauschen der Eingangsstufe des Operationsverstärkers wird also proportional derFrequenz ω verstärkt und ergibt damit im Ausgangssignal blaues Rauschen.

88 Kapitel 13: Der Prädiktionsfit mit variablen Positionsfaktoren beim Zwei-Zustands-ModellDie folgenden Untersuchungen ergeben, dass sich die Abhängigkeit vom Signal-Rausch-Verhältnis deutlich verstärkt, wenn blaues anstatt von weißem Rauschen verwendet wird.Abbildungen 13.4.4 – 6 zeigen die Ergebnisse des Rauschabhängigkeitstests für blauesRauschen. Auch hier wird der Fit wieder mit den tatsächlichen Übergangsraten gestartet.A) B)4Prädiktionsfit8PrädiktionsfitFitergebnisse koc/kHz2GaußfitSollergebnisFitergebnisse kco/kHz4GaußfitSollergebnis00 5 10 15SNR00 5 10 15SNRAbbildung 13.4.4: Ergebnisse von Gauß- und Prädiktionsfit für Modell 3 in Abhängigkeit vomSNR bei blauem Rauschen, Bestimmung der Positionsfaktoren nach Gl. 12.1/12.2, Abtastrate200 kHz, Abknickfrequenz des vierpoligen Besselfilters 50 kHz, A) Sollergebnis Rate k OC : 2 kHz,B) Sollergebnis Rate k CO : 4 kHzA) B)Fitergebnisse koc/kHz4020PrädiktionsfitGaußfitSollergebnisFitergebnisse kco/kHz8040PrädiktionsfitGaußfitSollergebnis00 5 10 15SNR00 5 10 15SNRAbbildung 13.4.5: Ergebnisse von Gauß- und Prädiktionsfit für Modell 6 in Abhängigkeit vomSNR bei blauem Rauschen, Bestimmung der Positionsfaktoren nach Gl. 12.1/12.2, Abtastrate200 kHz, Abknickfrequenz des vierpoligen Besselfilters 50 kHz, A) Sollergebnis Rate k OC : 20kHz, B) Sollergebnis Rate k CO : 40 kHz

Kapitel 13: Der Prädiktionsfit mit variablen Positionsfaktoren beim Zwei-Zustands-Modell 89Fitergebnisse koc/kHz400200A) B)PrädiktionsfitGaußfitSollergebnisFitergebnisse kco/kHz800400PrädiktionsfitGaußfitSollergebnis00 5 10 15SNR00 5 10 15SNRAbbildung 13.4.6: Ergebnisse von Gauß- und Prädiktionsfit für Modell 9 in Abhängigkeit vomSNR bei blauem Rauschen, Bestimmung der Positionsfaktoren nach Gl. 12.1/12.2, Abtastrate200 kHz, Abknickfrequenz des vierpoligen Besselfilters 50 kHz, A) Sollergebnis Rate k OC : 200kHz, B) Sollergebnis Rate k CO : 400 kHzSchon bei Modell 3 (2/4 kHz) wird ein Signal-Rausch-Verhältnis von mindestens 2 benötigt,um die richtigen Ergebnisse zu erhalten (Abbildung 13.4.4). Gauß- und Prädiktionsfit habenaber exakt die gleiche Abhängigkeit vom SNR. Ein Signal-Rausch-Verhältnis von 2 reicht biszu Modell 5 (10/20 kHz) aus, um vernünftige Resultate zu erhalten. Bei größeren Raten wirddann schon ein SNR von 4 benötigt: so z.B. bei Modell 6 (20/40 kHz) in Abbildung 13.4.5und bei Modell 9 (200/400 kHz) in Abbildung 13.4.6.Das wichtige Ergebnis dieses Abschnitts ist es, dass die Abhängigkeit des Prädiktionsfitsvom Signal-Rausch-Verhältnis auch bei schwierigeren Verhältnissen nicht größer ist als beimGaußfit. Wichtig ist das deswegen, weil beim Test des Betafits in Kapitel 8 gerade die starkeAbhängigkeit vom Signal-Rausch-Verhältnis das entscheidende Argument war, die Idee nichtweiter zu verfolgen. Der Prädiktionsfit hingegen ist dem Gaußfit in diesem Punkt ebenbürtig.13.5. FolgerungBei den umfangreichen Untersuchungen dieses Kapitels, die klären sollten, wie sich dieErgebnisse in Abhängigkeit von Besetzungswahrscheinlichkeit, Anfangswerten und Rauschenändern, hat sich kein Fall ergeben, in dem der Gaußfit Vorteile gegenüber dem Prädiktionsfithatte. Beim Ein-Kanal-C/O-Modell und den hier gewählten äußeren Bedingungen (Abtastrate200 kHz, Abknickfrequenz des vierpoligen Filters 50 kHz) kann also der Gaußfit komplettdurch den Prädiktionsfit, bei dem die Positionsfaktoren nach Gleichungen 12.1/12.2 bestimmtwerden, ersetzt werden. Man erreicht dadurch eine Verbesserung desZeitauflösungsvermögens um den Faktor zehn gegenüber der in Kapitel 6.2 festgestelltenReichweite des Gaußfits von 50 kHz. Insbesondere bei Modellen mit stark unterschiedlichenBesetzungswahrscheinlichkeiten der beiden Zustände kann der Prädiktionsfit seine Vorzügeausspielen.

90 Kapitel 13: Der Prädiktionsfit mit variablen Positionsfaktoren beim Zwei-Zustands-ModellFraglich ist, ob diese Aussage auch auf kompliziertere Modelle übertragen werden kann.Klar ist in jedem Falle, dass die Untersuchungen für schwierige Modelle wesentlich wenigerumfassend ausfallen müssen. Beim Ein-Kanal-C/O-Modell habe ich über 100.000 Fitsdurchgeführt, um mir ein Bild über die Leistungsfähigkeit des Verfahrens machen zu können.Bei einem 4-Kanal-Modell mit jeweils 3 Zuständen pro Kanal z.B. nimmt schon ein einzigerFit mehrere Tage Rechenzeit in Anspruch. Es können also allenfalls stichprobenartige Testsdurchgeführt werden.

14. Der Prädiktionsfit mit variablenPositionsfaktoren beim Fünf-Zustands-Modell14.1. VorgehensweiseZu zeigen ist nun, dass der Prädiktionsfit mit variablen Positionsfaktoren auch beiMehrzustandsmodellen Vorteile gegenüber dem Gaußfit hat. Es wird dazu wieder das Fünf-Zustands-Modell aus Kapitel 10.6 betrachtet. Wieder wird Rate k OG bei 70 kHz konstantgehalten. Rate k GO wird in 150 Schritten von 2 kHz auf 300 kHz erhöht. Es werden also diein der folgenden Abbildung dargestellten Markov-Modell gefittet.1,5 kHzA O G C0,5 kHzn*2 kHz70 kHz3,5 kHz4 kHz0,5 kHz0,2 kHzAbbildung 14.1.1: Fünf-Zustands-Modelle, die in diesem Kapitel gefittet werden (n=1...150)ZAbtastrate und Abknickfrequenz des vierpoligen Tiefpasses bleiben unverändert bei 200 kHzund 50 kHz. Es wird weißes Rauschen mit einem SNR von 4 verwendet.14.2. Positionierung der Sprungverteilungen nachGleichungen 12.1/12.2Die Frage dieses Absatzes ist es, ob die Gleichungen 12.1/12.2, mit denen im letzten Kapitelbeim Ein-Kanal-C/O-Modell, dessen Zeitreihen mit einem vierpoligen Filter gefiltert waren,durchgehend sehr gute Ergebnisse erzielt wurden, beim Fünf-Zustands-Modell die gleichenErfolge bringen.Die Ergebnisse des Prädiktionsfits für die Übergangsraten k OG und k GO bei Bestimmungder Positionsfaktoren anhand von Gleichungen 12.1/12.2 sind in Abbildung 14.2.1 imVergleich mit den Ergebnissen des Gaußfits dargestellt.

92 Kapitel 14: Der Prädiktionsfit mit variablen Positionsfaktoren beim Fünf-Zustands-ModellA) B)Fitergebnisse kOG/kHz20015010050PrädiktionsfitGaußfitSollergebnisFitergebnisse kGO/kHz800600400200PrädiktionsfitGaußfitSollergebnis00 100 200 300kGO/kHz00 100 200 300kGO/kHzAbbildung 14.2.1: Ergebnisse von Gauß- und Prädiktionsfit für das Fünf-Zustands-Modell inAbhängigkeit von Rate k GO , Bestimmung der Positionsfaktoren nach Gl. 12.1/12.2, Abtastrate200 kHz, Abknickfrequenz des vierpoligen Besselfilters 50 kHz, SNR 4, A) Sollergebnis Ratek OG = 70 kHz , B) Sollergebnis Rate k GO =n*2 kHz (n=1...150)Schon die Darstellung dieser beiden Raten zeigt, dass das angestrebte Ziel nicht erreichtwurde. Für k OG sollte konstant ein Ergebnis von 70 kHz herauskommen, der Prädiktionsfitliefert jedoch in Abhängigkeit von k GO Werte zwischen 35 kHz und 200 kHz. Beim Gaußfitist diese Abhängigkeit nicht zu beobachten. Er liegt zwar wie gewohnt zu niedrig mit seinenErgebnissen, liefert aber unabhängig von der Größe der anderen Rate immer Werte zwischen40 kHz und 50 kHz.Die Rate k GO erkennt der Prädiktionsfit bis zu Werten von 100 kHz. Darüber liegen seineErgebnisse zu hoch. Wie schon beim Ein-Kanal-C/O-Modell fangen auch hier die Ergebnissean auszubrechen, weil die Positionsfaktoren zu langsam größer werden. Die Ergebnisse desGaußfits für Rate k GO liegen insgesamt zu niedrig. Sie steigen aber bis zum Ende noch fastlinear mit den tatsächlichen Raten an.In Kapitel 12 hatte sich gezeigt, dass sowohl der Übergang vom Filter vierter Ordnungzum Filter erster Ordnung als auch die Änderung der Abknickfrequenz des Filters vierterOrdnung eine Anpassung der Beziehung zwischen Reichweite und Positionsfaktorerforderlich gemacht hat. Das Ergebnis dieses Abschnitts ist es, dass auch die Anwendung desPrädiktionsfits auf das Fünf-Zustands-Modell anstatt das Ein-Kanal-C/O-Modell eine neue R-γ-Gleichung voraussetzt. Es wird wohl nicht gelingen, die Abhängigkeit von allen diesenParametern in eine geschlossene Formel zu bringen. Man kommt also nicht umhin, denPrädiktionsfit mit variablen Positionsfaktoren durch Finden einer geeigneten R-γ-Gleichungan die jeweiligen äußeren Bedingungen anzupassen. Diese in Kapitel 12.1 ausführlichbeschriebene Eichung ist aber mit überschaubarem Aufwand durchzuführen.Im nächsten Abschnitt wird die Eichung für das Fünf-Zustands-Modell vorgenommen unddie Leistungsfähigkeit getestet.

Kapitel 14: Der Prädiktionsfit mit variablen Positionsfaktoren beim Fünf-Zustands-Modell 9314.3. R-γ-Gleichung beim Fünf-Zustands-ModellUm die geeignete Beziehung zwischen Reichweite des Prädiktionsfits und Position derSprungverteilungen herauszufinden, wird zuerst die Reichweite mit den konstantenPositionsfaktoren γ= 1 / 2 , 2 / 3 , 3 / 4 , 4 / 5 , 5 / 6 , 9 / 10 und 19 / 20 festgestellt. In Abbildung 14.3.1 sind dieErgebnisse zusammengestellt.Positionsfaktor γ1 / 2 2 / 3 3 / 4 4 / 5 5 / 6 9 / 10 19 / 20Reichweite/kHz 56 85 112 140 180 280 -Abbildung 14.3.1: Zusammenstellung der Reichweiten des Prädiktionsfits mit verschiedenenPositionsfaktoren beim Fünf-Zustands-Modell, Abknickfrequenz des vierpoligen Besselfilters50 kHz, Abtastfrequenz 200 kHzGleichung 14.1 gibt die Hyperbel an, die diese Punkte optimal annähert:28000R =1 − γ(14.1)Beim Fünf-Zustands-Modell werden mit dem konstanten Positionsfaktor γ= 1 / 2 bis zuÜbergangsraten von 56 kHz die richtigen Ergebnisse erzielt. Die Verlagerung derSprungverteilungen beginnt also erst bei k ji >56 kHz:γji⎧γ(k )kji jinach Gleichung14.1, für⎪= ⎨1⎪ , für k ≤ kHzji56⎩ 2ji> 56 kHz(14.2)Mit dem Prädiktionsfit, der die Positionsfaktoren nach Gleichungen 14.1/14.2 benutzt,werden jetzt erneut Fits mit den Markov-Modellen aus Abbildung 14.1.1 durchgeführt.Interessant sind wiederum die Raten k OG und k GO , bei denen die Sprünge von Offen nachGeschlossen und umgekehrt stattfinden. Von den übrigen Raten, bei denen der Zustandwechselt, ohne dass sich am Stromwert etwas ändert, sind exemplarisch die Ergebnisse derRate k ZC dargestellt. Die letzte Abbildung vergleicht den Rechenaufwand von Gauß- undPrädiktionsfit. Aufgetragen ist jeweils die Anzahl der Iterationen des Simplex pro Fit.

94 Kapitel 14: Der Prädiktionsfit mit variablen Positionsfaktoren beim Fünf-Zustands-ModellA) B)160PrädiktionsfitGaußfit400PrädiktionsfitGaußfitFitergebnisse kOG/kHz1208040SollergebnisFitergebnisse kGO/kHz300200100Sollergebnis000 100 200 300kGO/kHz0 100 200 300kGO/kHzC) D)2Prädiktionsfit500GaußfitFitergebnisse kZC/kHz1.510.5SollergebnisNäherungsschritte250Prädiktionsfit00 100 200 300kGO/kHz0Gaußfit0 100 200 300kGO/kHzAbbildung 14.3.2: Ergebnisse von Gauß- und Prädiktionsfit für das Fünf-Zustands-Modell inAbhängigkeit von Rate k GO , Bestimmung der Positionsfaktoren nach Gl. 14.1/14.2, Abtastrate200 kHz, Abknickfrequenz des vierpoligen Besselfilters 50 kHz, SNR 4, A) Sollergebnis Ratek OG = 70 kHz , B) Sollergebnis Rate k GO =n*2 kHz (n=1...150), C) Sollergebnis Rate k ZC =0,5 kHz, D)Zahl der IterationsschritteDie Ergebnisse des Gaußfits in Abbildung 14.3.2.A für Rate k OG sind hier wieder die gleichenwie in Abbildung 14.2.1.A. Bei einem Sollergebnis von 70 kHz liegen die Fitraten zwischen40 kHz und 50 kHz. Beim Prädiktionsfit schwanken die Ergebnisse für Rate k OG mit Wertenzwischen 50 kHz und 100 kHz stärker. Dafür liegen sie aber im Mittel näher am gesuchtenWert von 70 kHz.Auch bei Rate k GO in Abbildung 14.3.2.B sind die Resultate des Gaußfits die gleichen wiein Abbildung 14.2.1.B. Sie liegen im gesamten Bereich um 30% -40% zu tief. Die Ergebnissedes Prädiktionsfits schwanken bei dieser Rate ebenfalls stärker. Im Mittel liegen sie aber

Kapitel 14: Der Prädiktionsfit mit variablen Positionsfaktoren beim Fünf-Zustands-Modell 95genau auf den Sollergebnissen, und auch der schlechteste Wert weicht um nicht mehr als 20%von der tatsächlichen Rate ab.Bei allen übrigen Raten zeigt sich kein signifikanter Unterschied zwischen Gauß- undPrädiktionsfit. Alle Übergangsraten werden im gesamten Bereich gut detektiert. Als Beispielsind in Abbildung 14.3.2.C die Ergebnisse für Rate k ZC dargestellt. Die Fitergebnisse beiderVerfahren bewegen sich in unmittelbarer Umgebung des Sollwerts von 0,5 kHz.Wie Abbildung 10.6.3.D zeigt Abbildung 14.3.2.D die Anzahl der Iterationsschritte bis zurKonvergenz. Wieder ergeben sich keine signifikanten Unterschiede zwischen Gauß- undPrädiktionsfit. Der Rechenaufwand ändert sich praktisch nicht in Abhängigkeit von k GO . Inder Summe über alle Fits benötigt dieses Mal der Gaußfit knapp 10 % mehr Schritte als derPrädiktionsfit. Es ist also eine naheliegende Vermutung, dass keine grundsätzlichenUnterschiede im Rechenaufwand zwischen Gaußfit und Prädiktionsfit bestehen.Mit der in Gleichung 14.1 angegebenen Beziehung zwischen Position und Reichweitelassen sich beim Fünf-Zustands-Modell also Übergangsraten bis 300 kHz fitten. Der Bereichzwischen 300 kHz und 500 kHz kann aber im Gegensatz zum Ein-Kanal-C/O-Modell nichtmehr abgedeckt werden. Mit Gleichung 14.1 erreicht man es zwar, dass die Sollergebnisse imMittel herausgefunden werden, die Schwankungen werden aber so groß, dass aus denErgebnissen eines einzelnen Fits keine Rückschlüsse mehr gezogen werden können. Liegt dietatsächliche Rate z.B. bei 400 kHz, erhält man Fitergebnisse zwischen 200 kHz und 700 kHz.Auch beim Fünf-Zustands-Modell gelingt es also, die Zeitauflösung durch geeignete Wahlder Abhängigkeit der Positionsfaktoren von der Größe der Übergangsraten erheblich zuverbessern. Mit einer Reichweite von 300 kHz wird die Reichweite von 500 kHz wie beimEin-Kanal-C/O-Modell zwar nicht erreicht, gegenüber dem Gaußfit hat man aber immerhineine Verbesserung um den Faktor 6.

15. Fazit und AusblickDas Ziel, das Zeitauflösungsvermögen des von Albertsen (1994; Albertsen und Hansen, 1994)eingeführten direkten Zeitreihenfits zu erweitern, ist erreicht worden. Der anfänglich verfolgteAnsatz, das Amplitudenhistogramm in Betaverteilungen anstatt in Gaußverteilungenaufzuspalten (Betafit, Kapitel 6 – 8), hat den erhofften Fortschritt nicht erbracht. Derentscheidende Schritt vorwärts wurde gemacht durch die Verwendung unterschiedlicherGaußverteilungen in Abhängigkeit davon, ob in der Prädiktion ein Sprung angenommen wirdoder nicht (Prädiktionsfit, Gleichung 9.1). Wird von einem Verbleib des Systems in seinemZustand ausgegangen, kommen wie beim ursprünglichen direkten ZeitreihenfitGaußverteilungen zum Einsatz, deren Maxima auf den Nominalniveaus liegen (Gleichung9.2). Dagegen wird eine Gaußverteilung zwischen Start- und Zielniveau verwendet, wenn inder Prädiktion ein Sprung angenommen wird. Von der geeigneten Wahl dieserSprungverteilungen hängt die Leistungsfähigkeit des Verfahrens in erheblichem Maße ab.In der folgenden Tabelle sind die Ergebnisse zusammengestellt, die der Vergleich vonBetafit und Prädiktionsfit mit dem ursprünglichen direkten Zeitreihenfit ergeben hat.Reichweite beimZwei-Zustands-ModellReichweite beimFünf-Zustands-ModellAbhängigkeit vomSNRAbhängigkeit vonder BesetzungswahrscheinlichkeitAbhängigkeit vondenAnfangswertenUrsprünglicherdirekterZeitreihenfitBetafitVerbesserterBetafitPrädiktionsfitmit γ= 1 / 2Prädiktionsfitmitvariablen γ50 kHz

Kapitel 15: Fazit und Ausblick 97Der ursprüngliche direkte Zeitreihenfit erkennt sowohl beim Zwei-Zustands- als auch beimFünf-Zustands-Modell Übergangsraten bis 50 kHz. Die Ergebnisse verschlechtern sich nurgeringfügig, wenn das Signal-Rausch-Verhältnis kleiner wird und wenn die Anfangswerte desFits von den tatsächlichen Raten stärker abweichen. Schwierigkeiten gibt es dagegen, wennÜbergangsraten von Markov-Modellen, deren Zustände deutlich unterschiedlicheBesetzungswahrscheinlichkeiten haben, erkannt werden sollen.Mit dem einfachen Betafit aus Kapitel 6 gelingt es in keinem Fall, schnelle Übergangsratenzu erkennen. Der verbesserte Betafit (Kapitel 7) detektiert zwar Raten bis zur vierfachenAbknickfrequenz des Filters, es ist aber ein so gutes Signal-Rausch-Verhältnis erforderlich,dass dieses Verfahren nicht auf Patch-Clamp-Messungen angewendet werden kann. Mit denBetafits wurden deswegen keine weiteren Untersuchungen durchgeführt.In Kapitel 10 werden Tests des Prädiktionsfits mit dem Positionsfaktor γ= 1 / 2 (Gleichung9.3), durch den das Maximum der Sprungverteilung genau in die Mitte zwischen den beidenam Sprung beteiligten Nominalniveaus gelegt wird, durchgeführt. Es zeigt sich, dass mitdiesem Verfahren das Zeitauflösungsvermögen gegenüber der in Kapitel 6.2 festgestelltenReichweite des ursprünglichen direkten Zeitreihenfits von 50 kHz um den Faktor 2 erhöhtwird. Bei den umfangreichen Untersuchungen am Zwei-Zustands- und am Fünf-Zustands-Modell hat der Prädiktionsfit Übergangsraten bis 100 kHz in allen Fällen richtig detektiert.Ob sich das Verfahren auch bei anderen Markov-Modellen bewährt, muss der praktischeEinsatz im Laboralltag zeigen. Nach den bisherigen Untersuchungen gilt jedenfalls, dass derPrädiktionsfit mit dem Positionsfaktor γ= 1 / 2 dem ursprünglichen direkten Zeitreihenfit imZeitauflösungsvermögen überlegen und in allen anderen Kriterien zumindest ebenbürtig ist.Weiterhin wurde in Kapitel 11 gezeigt, dass sich das Zeitauflösungsvermögen desPrädiktionsfits durch Wahl eines anderen Positionsfaktors mit 1 / 2

98 Kapitel 15: Fazit und AusblickDas wichtigste Ergebnis ist jedoch, dass Wege aufgezeigt werden, über die man zuÜbergangsraten kommen kann, die weit über der Grenzfrequenz des Filters liegen. Damit istgezeigt, dass es sich lohnt, auf diesem Gebiet weiter zu arbeiten. Grundsätzlich sind mehrereAnsätze denkbar. Ein relativ einfacher Weg besteht darin, direkt auf dieser Arbeit aufzubauenund das Verfahren zur Bestimmung der Positionsfaktoren in Abhängigkeit von derReichweite zu verbessern. Man könnte auch dazu übergehen, bei der Festlegung derVerteilungsfunktion mehrere zurückliegende Werte zu berücksichtigen. DieLeistungsfähigkeit heutiger PCs wäre damit zwar überschritten, bei der derzeitigenGeschwindigkeit der Computerentwicklung können aber auch solche Überlegungen bei derFortführung der Arbeit einfließen.Durch das Erkennen von Übergangsraten in der Größenordnung der zehnfachenAbknickfrequenz des Tiefpassfilters ist der direkte Zeitreihenfit deutlich in den Bereichvorgestoßen, der bisher der Analyse mit Betaverteilungen vorbehalten war (Rießner, 1998).Ob der direkte Zeitreihenfit der Betaverteilungsanalyse auch in diesem Bereich überlegen ist,kann bisher nicht entschieden werden.Grundsätzlicher Vorteil des direkten Zeitreihenfits ist es jedenfalls, dass er sowohl denEinfluss des Tiefpassfilters auf die Amplitudenverteilung als auch die Abfolge der einzelnenStromwerte aufeinander berücksichtigt. Die Betaverteilungsanalyse bezieht sich hingegen nurauf die über alle Zeitpunkte gemittelte Amplitudenverteilung. Aus dieser lassen sich jedochprinzipiell nur schlecht Informationen über langsame Übergangsraten entnehmen. Allein mitder Betaverteilungsanalyse wird es deswegen wohl nicht gelingen, den gesamten Bereichmöglicher Übergangsraten abzudecken.

16. ZusammenfassungDer direkte Zeitreihenfit hatte sich in der Vergangenheit als effektives Werkzeug zurBestimmung der Übergangsraten von Markov-Modellen aus gemessenen Zeitreihen erwiesen.Hier wird untersucht, ob seine Leistungsfähigkeit durch eine verbesserte Berücksichtigungder Amplitudenverteilung weiter erhöht werden kann.Im ursprünglichen Verfahren wird das Amplitudenhistogramm in Gaußverteilungenaufgespaltet. Das ist gleichbedeutend mit der Annahme, dass bei einer unverrauschtenMessung immer der Strom am Eingang des A/D-Wandlers erscheint, der auch gerade durchden Kanal fließt. Bei dieser Annahme bleibt aber unberücksichtigt, dass die Trägheit desunvermeidbaren Tiefpassfilters dazu führt, dass bei jeder Änderung des Kanalstroms einigeWerte zwischen altem und neuem Stromniveau erzeugt werden.Der erste Teil der Arbeit verfolgt den Ansatz, das Amplitudenhistogramm mitBetaverteilungen anstatt mit Gaußverteilungen aufzuspalten. Die Theorie derBetaverteilungen ermöglicht es, die Verteilung der Stromwerte eines tiefpassgefiltertenSignals zu berechnen. Wegen dieser Berücksichtigung des Filters gibt die Summe derBetaverteilungen das tatsächliche Amplitudenhistogramm wesentlich besser wieder als dieSumme der Gaußverteilungen.Das erste Ergebnis dieser Arbeit ist es, dass die bestehende Theorie der Betaverteilungenfür Filter erster Ordnung nicht, wie bisher häufig vermutet, durch einen Korrekturfaktor aufFilter höherer Ordnung erweitert werden kann. Als einziges Werkzeug zur Bestimmung vonAmplitudenhistogrammen höherer Ordnung bleiben also nur Simulationen.Als Zweites ergibt sich, dass auch der Einsatz von richtig bestimmten Betaverteilungen imdirekten Zeitreihenfit nicht die gewünschte Verbesserung erbringt. Schnelle Übergangsratenwerden noch wesentlich schlechter erkannt als mit Gaußverteilungen. Auch der Versuch, dasVerfahren dadurch zu verbessern, dass in Abhängigkeit davon, ob sich der Strommesswertdem Nominalniveau angenähert hat oder nicht, unterschiedliche Verteilungen verwendetwerden, bringt keinen Durchbruch. Zwar werden Übergangsraten bis zur vierfachenAbknickfrequenz des Filters erkannt, das Signal-Rausch-Verhältnis muss dafür aber bessersein, als es bei Patch-Clamp-Messungen zu erreichen ist.Im zweiten Teil der Arbeit werden unterschiedliche Gaußverteilungen in Abhängigkeitdavon gewählt, ob in der Prädiktion ein Sprung angenommen wird oder nicht (Prädiktionsfit).Bleibt das System in seinem Zustand, kommen wie beim ursprünglichen direkten ZeitreihenfitGaußverteilungen zum Einsatz, die auf 1 normiert sind und deren Maxima auf denNominalniveaus des Systems liegen. Findet dagegen ein Sprung statt, ist es das Ziel, diedurch die Trägheit des Filters erzeugten Zwischenwerte, schon dem neuen Zustandzuzuordnen. Es muss also eine Gaußverteilung eingesetzt werden, deren Maximum zwischendem Nominalniveau des Quellzustandes und dem des Zielzustandes liegt. Die genaueBestimmung des Positionsfaktors, und damit der Position der Gaußverteilung, bereitetallerdings erhebliche Probleme.

100 Kapitel 16: ZusammenfassungMit dem Positionsfaktor γ= 1 / 2 , durch den die Gaußverteilung genau auf die Mitte zwischenden beiden am Sprung beteiligten Nominalniveaus gelegt wird, wird sowohl beim Zwei-Zustands- als auch beim Fünf-Zustands-Modell des K + -Kanals von Chara eine Erhöhung derReichweite auf 100 kHz und damit eine Verbesserung gegenüber dem ursprünglichenVerfahren um den Faktor 2 erreicht. Dabei ist der Prädiktionsfit in genauso geringem Maßevom Signal-Rausch-Verhältnis und der Wahl der Anfangswerte abhängig wie derursprüngliche direkte Zeitreihenfit. Bei stark unterschiedlicher Besetzungswahrscheinlichkeitder Zustände des Markov-Modells werden die Vorzüge des neuen Verfahrens besondersdeutlich.Weiterhin wird gezeigt, dass durch die Wahl anderer Positionsfaktoren mit 1 / 2

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DanksagungIch danke Oliver Radomski für die geduldige Unterstützung bei meinen anfänglichenComputerproblemen sowie Felix Woelk für das Beheben einiger kleiner aber entscheidenderFehler im Simulationsprogramm.Besonders aber danke ich Prof. Dr. Ulf-Peter Hansen für die hervorragende Betreuung derArbeit. Er gab mir ein Thema, das mich das gesamte Jahr hindurch ausfüllte undherausforderte, und ließ mir sehr weitgehende Freiheiten bei der Bearbeitung. Andererseitsnahm er sich immer Zeit, Lösungsansätze und aufgetretene Probleme ausführlich mit mir zubesprechen.

ErklärungHiermit versichere ich an Eides Statt, dass ich die vorliegende Diplomarbeit selbständig undnur mit Hilfe meiner akademischen Lehrer sowie der angegebenen Literatur angefertigt habe.Kiel, 23. Mai 2000Philipp Harlfinger