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Aufgaben zu Exponentialfunktionen(Natur, Gesellschaft und Technik)Grundlagen1. Berechnen Sie von folgenden Funktionen die Achsenschnittpunkte und skizzieren Sie die Funktionenin ein Koordinatensystem!xxxf ( x)= 4 g(x)= 10·2 h(x)= −1·22. Ein Organismus wird von 500 Viren befallen, die sich (für eine Zeit lang) exponentiell vermehren.Während jeder Stunde wächst ihre Anzahl um 20%.a) Wie groß ist die Zahl der Viren zu einer beliebigen Zeit nach der Infektion?(Funktionsgleichung: Zeit [h] → Virenzahl)b) Skizze der Funktion!c) Wie groß ist die Zahl der Viren 24 Stunden nach der Inkubation (Befall durch die Krankheitserreger)?3. Eine Spezies besiedelt eine ökologische Nische. Nachdem sie 4000 Individuen zählt, wächst diePopulation (exponentiell und unabhängig vom Rhythmus der Jahreszeiten) in jedem Jahr um 3.5% an.Aus wie vielen Individuen wird sie nacha) 7 Monaten ( = 7/12 Jahren) bestehen?b) 100 Jahren bestehen?4. Eine andere Spezies hat sich innerhalb von 10 Jahren von 300 Individuen auf 3000 Individuenvermehrt.Wie groß ist die jährliche Wachstumsrate in Prozent? (Exponentielles Wachstum wird vorausgesetzt.)Geben Sie die Funktionsgleichung an und skizzieren Sie die Funktion!5. Die Speicherkapazität (Speicherdichte) moderner Computer (Zahl der Transistoren proFlächeneinheit eines Silizium-Mikroprozessors) wird in bit/cm 2 (heutzutage eher in Gigabit/cm 2 )gemessen. Das berühmte Mooresche Gesetz besagt, dass sich diese Größe seit 1970 alle 18 Monateverdoppelt.1970 betrug sie 10 -6 Gigabit/cm 2 ( = 1 Kilobit/cm 2 ).(Dieses Gesetz wurde von Gordon Moore (ursprünglich mit einer Verdoppelungszeit von 12 Monaten) im Jahr 1964 formuliertund in den Siebziger Jahren in die hier wiedergegebene Fassung gebracht. Vier Jahre nach seiner ersten Voraussage wurdeGordon Moore zum Mitbegründer von Intel.)a) Geben Sie die Funktionsgleichung für die Speicherkapazität pro cm² in Abhängigkeit von derJahreszahl an!b) Welcher Speicherkapazität pro cm² wird für das Jahr 2010 vorausgesagt?6. Europa hatte 2003 etwa 727 Mio. Einwohner. Man schätzt, dass die Bevölkerungszahl in dennächsten Jahren um jeweils 0,2% gegenüber dem jeweiligen Vorjahr sinkt.Berechnen Sie die voraussichtliche Bevölkerungszahl im Jahr 2020!7. Welche Halbwertzeit (Zeit in der die Hälfte des vorhandenen Materials zerfällt) hat Jod-131? Jod-131ist ein radioaktiver Stoff, der relativ schnell zerfällt. In einem Versuchslabor wurden 100g diesesMaterials gelagert. 21 Tage später war die Masse auf 19,84g gefallen.a) Geben Sie die Halbwertzeit an?b) Geben Sie die Funktionsgleichung der Masse [in Gramm] in Abhängigkeit von der Zerfallszeit [Jahre]an!www.bkonzepte.deBöhm Seite 1 05.11.2005

Aufgaben zu Exponentialfunktionen in Natur. Gesellschaft und TechnikExponentialfunktionen beschreiben Wachstumsvorgänge gegen einen Maximalwert8. Ein Akkumulator ist nie vollständig aufgeladen. (Es passt immer noch etwas hinein.)Für einen bestimmten vollständig entladenen Akkumulatortyp beschreibt die folgendeFunktionsgleichung den Ladezustand in Prozent in Abhängigkeit von der Zeit t [Stunden]:xf ( x)= 100·1−0, 4( )a) Zeichnen Sie den Grafen der Funktion f!b) Nach welcher Zeit ist der Akkumulator zu 99% aufgeladen?9. Die Erwärmung Kochtopfs auf einer Herdplatte kann durch folgende Funktion beschreiben werden:x( 0, )ν ( t)= 100·1−2 Dabei ist ν (theta) das Symbol für Temperatur in °C und t die Zeit in Minuten.xEin anderer Herd mit einem Kochtopf besitzt die Funktion: ν( t)= 100·1 ( − 0, 6 )a) Zeichnen Sie die Grafen der beiden Funktionen!b) Welche Herd-Kochtopf-Kombination ist vorzuziehen?Ein Kochtopfhersteller untersucht die Erwärmung seiner Kochtöpfe auf einem Ceranfeld.Er erhält wiederholt 3 unterschiedliche Messpunkte:0 Minuten 0°C1 Minute 50°C3 Minuten 87,5°Cxc) Geben Sie die entsprechende Funktionsgleichung in der Form ( t)= 100· ( 1− q )ν an!www.bkonzepte.deBöhm Seite 2 05.11.2005

Aufgaben zu Exponentialfunktionen in Natur. Gesellschaft und TechnikDer Exponent ist gesucht (Logarithmus)10. Der Luftdruck p nimmt mit wachsender Höhe über dem Meeresspiegel ab. Misst man den Luftdruckin hPa und die Höhe in km, so wird der Zusammenhang annähernd durch die Funktion y = 1013·0,88 xbeschrieben, wobei y den Luftdruck und x die Höhe angibt.a) Stellen Sie eine Wertetabelle für den Luftdruck von 0 bis 5 km Höhe in 0,5km-Schrittenauf.b) Stellen Sie die Werte in einem Koordinatensystem dar.c) Lesen Sie den Luftdruck für die Höhen: 300m, 1200m, 1,7km ab.d) Um dauerhaft zu überleben braucht ein Mensch mindestens einen Luftdruck von 483 hPa.(Quelle: PM 11/99)Berechnen Sie ab welcher Höhe ein Mensch nicht mehr existieren kann. (5,8km)h⎛ p ⎞−08000& Andere barometrische Höhenformeln: h = 18400 ⋅ log 10⎜ ⎟ ; p = 1000⋅e⎝ p ⎠11. Wissenschaftler bestimmen das Alter von Fossilien häufig durch die Radiokarbonmethode:Das Kohlenstoffisotop C 14 zerfällt mit einer Halbwertszeit von 5730 Jahren. Während zu Lebzeiteneines Organismus das zerfallene C 14 durch die Atmosphäre "nachgeliefert" wird, beginnt danach dieexponentielle Abnahme dieses Isotops, d.h. der C 14 -(Atom)Kerne.Nun seien im Ast eines Baumes zu Lebzeiten 10 Milliarden (10.100.100.100 = 10 10 ) C 14 -Kernevorhanden. Der Ast fällt in einen Sumpf und wird unter Luftabschluss viele Jahrtausende konserviert,während der C 14 -Gehalt langsam abnimmt.a) Wie viele C 14 -Kerne sind noch vorhanden, wenn der Ast zu einer gegebenen Zeit später vonArchäologen gefunden wird? Funktionsgleichung Zeit → Isotopenmenge gesucht!b) Vor wie viel Jahren ist der Baum in den Sumpf gefallen, wenn noch 20% der ursprünglichenC 14 -Kerne in Baum enthalten sind?c) Vor wie viel Jahren ist der Baum in den Sumpf gefallen, wenn noch 5% der ursprünglichen C 14 -Kernein Baum enthalten sind?www.bkonzepte.deBöhm Seite 3 05.11.2005