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Bedeutung+Winkelsumme 1Besondere Punkte im Dreieck 1Besondere Punkte im Dreieck 2Winkelsumme 2Kapitel 4: Dreieckslehre4.1 Bedeutung der DreieckeSatz 4.1Die Winkelsumme im n-Eck beträgt (n-2)⋅180°.Durch Triangulation lassen sich Vielecke in Dreiecke zerlegen( n Eck in n-2 Dreiecke)⇒ Beweis von Sätzen mittels Sätzen über Dreiecke(z.B. Winkelsumme, Flächeninhalt, Kongruenz)4.2 Winkelsumme im DreieckDie Winkelsumme im Dreieck beträgt 180°.Herleitung bzw. experimentelle Begründung in der Schule:n ⋅180° - 360° = (n –2)⋅180°(n –2)⋅180°Durch ParkettierungexperimentellDurchPunktspiegelungDurch Winkel anParallelen4.3 Besondere Linien und Punkte im DreieckSatz 4.2 (Satz vom Mittendreieck)Verbindet man die Seitenmitten eines Dreiecks, so liegen dieSeiten des entstehenden Dreiecks parallel zu Seiten desAusgangsdreiecks und sind halb so lang.Beweis trivial mit Hilfe der Strahlensätze (⇒ Übungen)Beweis ohne Strahlensätze (Schule):Ausgangsdreieck ABC,Mittendreieck A‘B‘C‘.Mc'Spiegle das Mittendreieck A‘B‘C‘ anB'seinen Seitenmitten Ma‘, Mb‘, Mc‘ .⇒ ∆ ABC.Bei Punktspiegelung gilt:Ma'Mb'Bildstrecke || Originalstrecke.C'AHinweis: Eigentlich wird so nur bewiesen, dass man, ausgehend von ∆ A‘B‘C‘ ein Dreieck ∆ABCerhält, dessen Mittendreieck ∆ A‘B‘C‘ ist. Es wäre zu zeigen, dass man - ausgehend von ∆ABC unddessen Mittendreieck ∆A‘B‘C‘ - durch diese Spiegelung wieder zu ∆ABC gelangt.CA'BSatz 4.3 (Besondere Linien im Dreieck)In einem Dreieck schneiden sicha) die Mittelsenkrechten im Umkreismittelpunkt U;Dreieck spitzwinklig: U innerhalb des DreiecksDreieck rechtwinklig: U auf der längsten DreiecksseiteDreieck stumpfwinklig: U außerhalb des Dreiecksb) die Winkelhalbierenden im Inkreismittelpunkt;c) die Seitenhalbierenden im Schwerpunkt S;dieser teilt die Seitenhalbierenden im Verhältnis 2:1;d) die Höhen im Höhenschnittpunkt.

UmkreismittelpunktHöhenschnittpunktInkreismittelpunktSchwerpunktUmkreismittelpunktWo liegen die Mittelpunkte aller Kreise, die durch A und B gehen?Wo liegen die Mittelpunkte aller Kreise, die durch B und C gehen?bCaMaMittelsenkrechtevon ABInkreismittelpunktWo liegen die Mittelpunkte aller Kreise, die die Seiten b und c berühren?Wo liegen die Mittelpunkte aller Kreise, die die Seiten a und c berühren?WinkelhalbierendeWinkelhalbierendebCaMittelsenkrechtevon BCADer Mittelpunkt des Kreises, der durch alle Eckpunkte geht, ist der Schnittpunktder Mittelsenkrechten.MccBAcDer Mittelpunkt des Kreises, der alle Seiten berührt, ist der Schnittpunkt derWinkelhalbierenden.BHöhenschnittpunktCMittelsenkrechteA‘C‘A‘CM aSchwerpunktM bs aM cSCs bM aM bs aM cS sbZeichne zu s a Parallelen durch C, M b , M c und B.B‘ABABDie Mittelsenkrechtenvon Dreieck A’B’C’gehen durch einenPunkt ⇒Die Höhen vonDreieck ABC gehendurch einen PunktAbhaC‘cHah bhcBMittelsenkrechteB‘C‘MittelsenkrechteB‘A‘s a und s b sind zwei Seitenhalbierende.AM bSM cCs csbM aZeichne zur Seitenhalbierenden s c Parallelendurch A, M b , M a und B.Auch diese haben alle den gleichen Abstand undteilen die Seitenhalbierende s b im Verhältnis 2:1.BDiese haben alle den gleichen Abstand, sie teilendaher die Seitenhalbierende s b im Verhältnis 2:1As aSM bM cs cCs bM aDamit müssen alle dreiSeitenhalbierenden durch dengleichen Punkt S auf s b verlaufen..B

Euler-GeradeKongruenzsätze 2Kongruenzsätze 1Ähnliche Figuren 1Euler-GeradeUmkreismittelpunkt U, Schwerpunkt S und Höhen-Schnittpunkt Hliegen auf einer Geraden. Diese heißt Euler-Gerade.FbMbCHSFaUMaA Fc Mc BEs ist | SH | = 2⋅| US | .∆ ABC geht durch Streckung mitZentrum S und Streckfaktor ½ in∆ M aM bM cüber.Die Höhen von ∆ ABC gehen dabeiin die Höhen ∆ M aM bM cüber.Diese sind die Mittelsenkrechtenvon ∆ ABC.4.4 KongruenzsätzeDie „Kongruenzsätze“ haben wir zu Beginn als „Axiome“ in derfolgenden Form vorausgesetzt:Stimmen zwei Dreiecke in• den drei Seiten (sss),oder• den zwei an eine Seite anliegenden Winkeln (wsw),oder• zwei Seiten und dem eingeschlossenen Winkel (sws),oder• zwei Seiten und dem der größeren Seite gegenüber liegenden Winkel (Ssw),überein, dann stimmen sie in allen Maßen überein.Damit geht H durch Streckung mitZentrum S und Streckfaktor -½ in Uüber .Wir haben in den vorangehenden Kapiteln gezeigt:Je zwei in allen Bestimmungsstücken übereinstimmenden Dreieckekönnen durch genau eine Kongruenzabbildung aufeinander abgebildetwerden.Damit wird der Sachverhalt als richtiger Kongruenzsatz formuliert:Stimmen zwei Dreiecke in• den drei Seiten (sss),oder• den zwei an eine Seite anliegenden Winkeln (wsw),oder• zwei Seiten und dem eingeschlossenen Winkel (sws),oder• zwei Seiten und dem der größeren Seite gegenüber liegenden Winkel (Ssw),4.5 Ähnliche Figuren und ÄhnlichkeitssätzeDefinition 4.1Zwei Figuren heißen ähnlich, wenn sie• in den Längenverhältnissen aller einander entsprechenden Linien und• in allen einander entsprechenden Winkelnübereinstimmen.Bemerkung:Wir werden später (nach der Behandlung von zentrischen Streckungen)Ähnlichkeit mit Hilfe von Ähnlichkeitsabbildungen exakter definieren.überein, dann können sie durch eine Kongruenzabbildung aufeinanderabgebildet werden.

Ähnliche Figuren 2Geometrische Orte 1Ähnliche Figuren 3Geometrische Orte 2Bemerkung:Wir betrachten auch Figuren, die nicht nur durch Strecken begrenzt werden. DieGleichheit von Längenverhältnissen gilt dann nicht nur für Längen von Streckensondern auch für die Längen nicht geradliniger Linien (z.B. Kreisbögen usw.)Beispiel: KreissektorenaαbUm die Ähnlichkeit von Dreiecken nachzuweisen benutzt man häufig dieÄhnlichkeitssätze für Dreiecke.Man gewinnt sie unmittelbar aus den entsprechenden Kongruenzsätzen fürDreiecke.k⋅aαk⋅bÄhnlichkeitssatzZwei Dreiecke sind zueinanderähnlich, wenn sie übereinstimmen inden Verhältnissen der drei Seitenoderzwei Winkelnoderden Verhältnissen von zwei Seitenund dem eingeschlossenen Winkeloderden Verhältnissen von zwei Seitenund dem der größeren Seitegegenüber liegenden Winkelentsprechender KongruenzsatzZwei Dreiecke sind kongruent, wennsie übereinstimmen inden drei Seiten (sss)odereiner Seite und den anliegendenWinkeln (wsw)oderzwei Seiten und demeingeschlossenen Winkel (sws)oderzwei Seiten und dem der größerenSeite gegenüber liegenden Winkel(Ssw)4.6 Geometrische OrteAufgabeGegeben: Dreieck ABC. Die Seite AB wird festgehalten.C wird so bewegt, dassCDefinieren Sie die folgenden Kurven jeweils als „geometrischenOrt“:• der Flächeninhalt,• der Umfang,• der Winkel γunverändert bleibt.ABDer Kreis mit Mittelpunkt M und Radius r.Die Mittelsenkrechte der Strecke AB.Die Winkelhalbierende des Winkels ∠h f, h gh f, h gals Schenkel.mit den HalbgeradenAuf welcher Linie läuft C? An welchem Ort befindet sich C?Die Seitenhalbierende s czur Seite c im Dreieck ABC.Man nennt diese Kurven (Punktmengen) den „geometrischen Ort derPunkte mit einer gewissen Eigenschaft“.Welche Definition einer Ellipse als Ortslinie ergibt sich aus der2. Eigenschaft der Beispiele der vorangehenden Seite?

Winkelsätze 1FlächensätzeWinkelsätze 2c_ _c_ _c_ _4.7 Winkelsätze: UmfangwinkelsatzSatz 4.5a) Die Umfangswinkel ( Peripherie-Winkel ) auf einem Kreisbogen sindalle gleich groß (und ½ so groß wie der zugehörendeMittelpunktswinkel)b) Die Scheitel C aller Dreiecke ABC mit gleichem Winkel π bei C übereiner Strecke AB liegen auf einem Kreisbogen, der durch A und Bverläuft.Kurz:Der geometrische Ort aller Punkte C, für die die Strecke AB unterdem gleichen Winkel π erscheint, ist ein Kreisbogen durch diePunkte A und B.Sonderfall: Satz des Thalesc) Der Winkel zwischen der Sehne AB und der Tangente in B(Sehnen-Tangenten-Winkel) ist ebenso groß wie derPeripheriewinkel π (und ½ so groß wie der zugehörendeMittelpunktswinkel).4.7 Winkelsätze: Umfangwinkelsatzzu (a): CUmfangswinkel = π = α + βMittelpunktswinkel = λα β2α+γ = 180°π2β+δ = 180°γ δλ = 360°- γ - δ= 360°- (180°-2α) - (180°-2β)αλ= 2α + 2βλ/2 βAπBUmfangswinkel = 1/2 λkonstant!Andere Lagen des Punktes C?Zu (b)Sei K der Kreis über AB zum Winkel π aus (a).Für Punkte C’ außerhalb des Kreises K ist der Winkel bei C’ kleiner als π,für C’ innerhalb von K größer als π .Begründung?4.8 Flächensätze: Satzgruppe des PythagorasSatz 4.6Im rechtwinkligen Dreieck• ist ein Kathetenquadrat so groß wie das Rechteck aus Hypotenuseund anliegendem Hypotenusenabschnitt,• ist das Hypotenusenquadrat so groß wie die Summe derKathetenquadrate,• ist das Quadrat über der Höhe so groß wie das Rechteck aus denbeiden Hypotenusenabschnitten .Der klassische Beweis des KathetensatzesDas Quadrat über der Kathete wird durch Scherung ineine flächengleiches Parallelogramm überführt.Grundseite des Parallelogramms ist DA ,die Höhe istebenso lang wie die Seite AC .Das Parallelogramm wird um 90° um die Ecke Agedreht.DDAAbqbqCacCacBBDas Parallelogramm kann wieder durch Scherung indas flächengleiche Rechteck mit den Seitenlängen qund c überführt werden.ACbDqaBcBeweis Kathetensatz

Der klassische Beweis des Satzes desPythagoras aus dem KathetensatzDer Satz des Pythagoras folgt unmittelbar aus der Anwendung desKathetensatzes auf die beiden Kathetenquadrate.Beweis des Höhensatzes aus dem Satzdes Pythagorashh22= a= b22−p− q22a 22 2 2 2 22h= a + b − p − q=2 2 2( p + q)− p − qb 2 b 2a 2=2h =p2= 2 pqpq+ q2+2 22 pq − p − qBeweis PythagorasBeweis HöhensatzAnwendung des Höhensatzes:Umwandlung eines Rechtecks in einflächengleiches Quadrat mit Zirkel undLineal.AufgabeGegeben ist ein beliebiges Rechteck mit den Seitenlängen a und b.Gesucht ist ein flächengleiches Quadrat.Zur Strecke mit der Länge a+bwird der Thaleskreis K konstruiertund das Lot h in F c errichtet.Der Schnittpunkt von K mit H istdie Ecke C eines rechtwinkligenDreiecks mit der Höhe h c .Es gilt h2c = ab bzw. h c= abChcFcbaAnwendung Höhensatz