Die Nullstellen der Zeta - Funktion und die Verteilung der Primzahlen

VortragCASK 2007Die Nullstellen der Zeta – Funktionund die Verteilung der Primzahlen- unter Verwendung von mathcad© 12 –Prof. Dr. Peter Grobstich1. Die Ermittlung aller Primzahlen bis N2. Der Zusammenhang der Primzahlen3. Die reelle Zeta – Funktion nach EULER4. Die komplexe Zeta – Funktion nach RIEMANN5. Die Nullstellen der Funktionen ζ(s) und Ξ(t)6. Die Verteilung der Primzahlen7. Eine Anwendung der Primzahlen8. Projekte, Literatur und Programme1

Man erhält eine große Primzahl- Tabelle bis N = 10 5 , hier im Auszug dargestellt.T7262728293031323334353637383940411101103107109113127131137139149151157163167173179= T71215121612171218121912201221122212231224122512261227122812291230198519857985998719883988799019907992399299931994199499967997310007= T7=9577957895799580958195829583958495859586958795889589959095919592199823998299983399839998599987199877998819990199907999239992999961999719998999991Aus dieser Tabelle können zwei markante Ergebnisse abgelesen werden.Die Anzahl der Primzahlen bis N = 10 4 ist 1229 und bis N = 10 5 beträgt sie 9592.Diese beiden Ergebnisse werden später zur Kontrolle benutzt.2. Der Zusammenhang der PrimzahlenDie Auswertung der bisherigen Ergebnisse erfolgt nun in einer kleinen Tabelle, die durchweitere Angaben ergänzt wurde, π (N) bezeichnet die Anzahl der Primzahlen bis N.N = π (N) N / π (N) ln (N)10 225 4,0 4,610 3168 6,0 6,910 41 229 8,1 9,210 59 592 10,4 11,510 678 498 12,7 13,810 7664 579 15,0 16,1Unter Beachtung der Logarithmen- Gesetze mitN := 10 . N ln (10 . N) = ln (N) + ln (10) = ln (N) + 2.30ergibt sich die grundsätzliche Vermutung über die Verteilung der Primzahlen:π(N)≈Nln (N)π(N)≈Li(N)=N∫21ln (x)dx(C. F. GAUSS / 1792)3

Der Zusammenhang zwischen den Primzahlen {p} und den ganzen Zahlen {n} wird überdie Primfaktor-Zerlegung durch die Formel von EULER (1737) beschrieben:−s−11∏ ( 1 − p ) = ∑ snpAuf der linken Seite dieser Formel stellt jede Klammer die Summenformel einer geometrischenReihe mit dem Faktor1q = dar.spDie Multiplikation zweier solcher Reihen ergibt alle möglichen Kombinationen der Primzahlpotenzen.Aus der Eindeutigkeit der Zerlegung einer ganzen Zahl in Primfaktorenergeben sich alle Zahlen n, die nur aus diesen beiden Primfaktoren aufgebaut sind. DurchHinzunahme weiterer Primzahlen ergeben sich schrittweise alle natürlichen Zahlen unddamit die Formel auf der rechten Seite.3. Die reelle Zeta – Funktion nach EULERDie Reihe auf der rechten Seite konvergiert für s- Werte, die größer als 1 sind.Die entscheidende Idee von Euler war, diese Reihe zur Definition einer neuen Funktionzu verwenden. So entstand die berühmte Zeta-Funktion:∞1ζ (s) = ∑ snn = 1s > 1Zunächst konnte man nur Näherungswerte dieser Funktion berechnen. Ein Durchbruch imVerständnis war Eulers Entdeckung einer Formel für ζ(2) mit ζ (2) =2π.6Da es auch für 0 < s < 1 Grenzwerte in dieser Form gibtnlimn → ∞⎛⎜⎜⎝n∑k = 11k− 2⋅n⎞⎟⎟⎠⎛⎜⎝→ Zeta 1 2⎞ ⎟⎠kann man die Zeta – Funktion im positiven Bereich mit einer Gliedzahl N so definieren:ZETA( s,N):=N∑n = 11n sif1 < sN∑n = 11n sN 1−s− if 0.1 < s < 11 − sDas Programm Mathcad ist in der Lage, daraus eine Kurve für diese Funktion zu erstellen.Neben dem Wert ζ(2) und der Asymptote ist die Polstelle typisch für den Verlauf.Die folgende Zeichnung zeigt den Bereich für x = 0.1 … 5.4

4. Die komplexe Zeta – Funktion nach RIEMANNJetzt werden wir die Zeta-Funktion durch Übergang in den komplexen Bereich noch einmalentscheidend erweitern. Diese Erweiterungen stammen im wesentlichen von Riemann.Als Reihenentwicklung legt man für die rechentechnische Behandlung am besten eineVeränderung der Euler-Maclaurin-Formel zugrunde, die von Edwards stammt:ζ ( sN , ):=N−1∑n = 11n s+1 1⋅2N s+1 1⋅s−1N s−1+s12⋅N s+1für Re(s) > -2Damit kann das Programm eine 3-D – Darstellung der Funktion | ζ(s) | in der oberenkomplexen Halbebene erzeugen:Man erkennt zunächst die Eigenschaften vom reellen Bereich wieder. Die Polstelle und dasasymptotische Verhalten treten deutlich hervor.Das Ziel ist jedoch, weitere Nullstellen im komplexen Bereich zu finden.Eine gute Vorstellung vom Verhalten der Funktion kann man durch Schnittebenen gewinnen.Im obigen Bild ist die wichtige Ebene für Re(s) = ½ eingezeichnet worden.An dieser Stelle seien an einer einfachen komplexen Funktion elementare Eigenschaftendargestellt, wichtig sind die Nullstellen und Polstellen.2z + 2 + iDie Funktion lautet g(z) = , ihre Nullstellen und die Polstelle werden berechnet.2 ⋅ z + 86

gz ():=z 2 + 2 + i2z + 8Nullstellen bei z 2 + 2 + i 0auflösen,z→gleit,2⎛⎜⎝ −.34+.34 − 1.5 ⋅i1.5 ⋅i⎞ ⎟⎠zn1 := 0.34 − 1.5 ⋅izn2 := −0.34+1.5 ⋅iPolstelle bei: zp := −4In der komplexen Ebene wird ein elliptischer Bereich ausgewählt, der diese Stellen enthält.Ellipse als Bereich in der komplexen Ebene, Lage der Polstelle und der Nullstellen :426 4 2 0 2 4 6 824EllipseNullstelleNullstellePolstelleDie 3-D – Darstellung im ausgewählten Bereich zeigt dieses Bild.7

Wir kehren zur Zeta-Funktion zurück. Die ausgewählte Schnittebene bestimmt eine Kurve.Die Kurve für s = ½ + t . i entlang dieser Schnittebene könnte neue, nichttriviale Nullstellenaufweisen. Diese Kurve wird im folgenden Bild gezeigt, sie hat tatsächlich Nullstellen.Die Nullstellen treten für etwa t = 14, 21, 25 und 31 auf.Jetzt ergeben sich mehrere Fragen:- wie kann man erkennen, dass sich dort tatsächlich Nullstellen befinden ?- wie kann man sie genau lokalisieren ?- kann man die Nullstellen berechnen ?- wie viele Nullstellen gibt es im Bereich 0 < t < T ?- kann man mit einem Programm eine Tabelle der Nullstellen erzeugen ?Eine genaue getrennte Untersuchung des Realteils und des Imaginärteils der Zeta-Funktionzeigt zum Beispiel für s = ½ + t . i folgendes Bild:Realteil Zeta-Fkt für Re (s) = 1/20.70.5U ( t)− 0.48 10 12 14 16 18 20 228 t23Imaginärteil Zeta-Fkt. für Re (s) = 1/20.7V( t)8 10 12 14 16 18 20 22− 118 t23Es treten bei Realteil und Imaginärteil gemeinsame Nullstellen auf !Eine Untersuchung für andere s-Werte mit Re(s) ≠ ½ zeigt entweder keine gemeinsamenoder keine Nullstellen des Realteils.Diese Beobachtung führt auf die berühmte RIEMANNsche Vermutung:„ Alle nichttrivialen Nullstellen der ζ – Funktionliegen auf der Geraden Re (s) = ½ “8

Eine weitere Darstellung für die vervollständigte Zeta-Funktion geht ebenfalls auf Riemannzurück und ist durch eine Integralformel gegeben:Ξ(t)=12−3−2( t + 1) ⋅ θ(x)⋅x4⋅cos(1 ⋅ t ⋅ln x)dx4∫ ∞1Diese Form ist für die Berechnung von Funktionswerten ebenfalls gut geeignet. Wirverwenden sie, um Nullstellen der ζ - Funktion zu berechnen.Eine Nullstelle einer (stetigen) Funktion ist durch einen Vorzeichen-Wechsel zu erkennen.So ergibt sich zum Beispiel:22)Ξ () t200Genauigkeit:⌠− 3⎮1 ⎛t 2 1 ⎞ 4 ⎛ t⎜ + ⎟⎠ θ ( x) ⋅xcos ⎜ x2 ⎝ 4⎝ 2 ⋅ln(x)⎞:= − ⋅⎮⋅ ⎟ dTOL := 10 − 4⎮⌡⎠1Nullstelle finden: Ξ ( 14.1 ) = 4.91 × 10 − 5 Ξ ( 15) = −7.05× 10 − 4Mathcad - Anweisung "wurzel" zur Ermittlung von Nullstellent := 14 wurzel Ξ () t , tt := 25 wurzel Ξ () t , t( ) 14.135( ) 25.009= t := 21 wurzel Ξ () t , t= t := 30 wurzel Ξ () t , t( ) = 21.022( ) = 30.597Eine elegante Methode zur Ermittlung von Nullstellen stellt die Mathcad-Anweisung„wurzel“ dar. Es wird die Gleichung Ξ (t) = 0 nach dem Newton – Verfahren mit demvorgegebenen Startwert gelöst. Damit hat man bisher für 4 Nullstellen Näherungswerte.Um eine systematische Ermittlung der Nullstellen durchzuführen, verwenden wir einkleines Mathcad-Programm, das einen gegebenen Bereich T mit einer Schrittweite h testet.Dabei ist eine Voraussetzung, dass man die Anzahl der Nullstellen in diesem Bereich kennt.Eine Näherungsformel, die von Riemann ohne Beweis angegeben wurde lautet:T ⎛ T ⎞N (T) ≈ ⋅⎜ln−1⎟+ 12⋅π ⎝ 2⋅π ⎠3)Im folgenden wird das Programm angeschrieben. Es verwendet einen Bereich [a, b], in derRegel [0 … T], und durchläuft ihn mit der Schrittweite h. Bei einem Vorzeichenwechselder Funktion werden die aktuellen Werte in eine Liste geschrieben.Das Programm gibt dann die Lage der Nullstellen in geordneter Reihenfolge aus. In einemersten kleinen Beispiel werden die erwarteten 21 Nullstellen im Bereich 0 < t < 80 berechnet.Eine große Tabelle mit insgesamt 210 Nullstellen bildet das Kernstück der Berechnungen.2 Die Funktion θ(x) bezeichnet die Jacobi-Theta – Funktion.3 Man kann die Anzahl der Nullstellen durch ein Integral über die logarithmische Ableitung der Funktion Ξ (t) entlangeiner geschlossenen Kurve berechnen. Die Auswertung dieses komplizierten Integrals gelingt mit Mathcad.Es ergeben sich so z. B. 5 ζ - Nullstellen im Bereich 18 < t < 38.10

Nullstellen imDas ζ - Programm Bereich 0 < t < 80ζNull( a , b , h) := t ← a.1 2k ← 1whileLz ←ξ3()tt1 ← t + hz1 ←iftt < b←ξ3( t1)zz1 ⋅ < 0L ← t k, 1L ← t1 k, 2k ← k + 1t1ζ1 =12345678910111213141516171819202114.13 14.1421.02 21.0325.01 25.0230.42 30.4332.93 32.9437.58 37.5940.91 40.9243.32 43.3348.00 48.0149.77 49.7852.97 52.9856.44 56.4559.34 59.3560.83 60.8465.11 65.1267.07 67.0869.54 69.5572.06 72.0775.70 75.7177.14 77.1579.33 79.34Tabelle der ersten 210 ζ - Nullstellen111111ζ =12345678910111213141514.1321.0225.0130.4232.9337.5840.9143.3248.0049.7752.9756.4459.3460.8365.11 ζ= 313233343536373839404142434445103.72105.44107.16111.02111.87114.32116.22118.79121.37122.94124.25127.51129.57131.08133.49 ζ= 616263646566676869707172737475165.53167.18169.09169.91173.41174.75176.44178.37179.91182.20184.87185.59187.22189.41192.02919293949596979899100101102103104ζ= 105220.71221.42224.00224.98227.42229.33231.24231.98233.69236.52237.76239.55241.04242.82244.07121122123124125126127128129130131132133134ζ= 135271.49273.45275.58276.45278.25279.23282.46283.20284.83286.66287.91289.57291.84293.56294.96151152153154155156157158159160161162163164ζ= 165321.16322.14323.46324.86327.44329.03329.95331.47333.64334.21336.84338.34339.86341.04342.05181182183184185186187188189190191192193194ζ=19516171819202122232425262728293067.0769.5472.0675.7077.1479.3382.9184.7387.4288.8092.4994.6595.8798.83101.31464748495051525354555657585960134.75138.11139.73141.12143.11146.00147.42150.05150.92153.02156.11157.59158.84161.18163.03767778798081828384858687888990193.07195.26196.87198.01201.26202.49204.18205.39207.90209.57211.69213.34214.54216.16219.06106107108109110111112113114115116117118119120247.13248.10249.57251.01253.06255.30256.38258.60259.87260.80263.57265.55266.61267.92269.97136137138139140141142143144145146147148149150295.57297.97299.84301.65302.69304.86305.72307.21310.11311.16312.42313.98315.47317.73318.85166167168169170171172173174175176177178179180344.66346.34347.27349.31350.41351.88353.48356.01357.14357.94359.74361.29363.33364.73366.211961971981992002012022032042052062072082092101367.99368.96370.04373.06373.86375.82376.33378.43379.87381.48383.44384.96385.86387.22388.84391.45392.23393.42395.58396.37397.91399.98401.83402.86404.23405.13407.57408.94410.51411.9711

6.1. Die Nullstellen der ζ- Funktion und die Verteilung der PrimzahlenDer folgende Formelapparat ist die Grundlage zur Berechnung der Anzahl der Primzahlenbis zu einer gegeben Größe x. Diese Formeln stammen von RIEMANN aus seiner berühmtenArbeit „Über die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse“. 4Man beginnt mit der Berechnung einer möglichst großen Anzahl von Nullstellen der Zeta-Funktion. Die Imaginärteile t dieser Nullstellen gehen in die Dichtefunktion D(x) ein.Sie spielen die Rolle von Korrekturtermen bei der bekannten Dichtefunktion nach Gauß.Das Integral über die Dichte ergibt die Anzahl aller Primzahl-Potenzen kleiner x.Die letzte Formel schließlich berechnet daraus die gesuchte Anzahl der Primzahlen.1Anzahl der NullstellenN (T) ≈ ⋅⎜ln−1⎟+2⋅π⎝ 2⋅π⎠4 Monatsberichte der Berliner Akademie, November 1859.Dichtefunktion für Primzahlen1 1D(x) = − 2⋅⋅ cos( tln (x)∑ ⋅x ⋅ln (x)txAnzahl PrimzahlpotenzenA(x) = D(x) dx∫2Anzahl der Primzahlen bis x3567ANZ(x) = A(x) − 1 ⋅A(x ) − 1 ⋅A(x ) − 1 A( x ) 1 A( x ) 15⋅ + ⋅ −7⋅A(x )236±Es folgen konkrete Berechnungen:Ermittlung von 235 ζ - Nullstellen für die Dichtefunktion:T := 450T ⎛ ⎛ T ⎞ ⎞NT ( ) := ⋅⎜ln⎜⎟ − 1 ⎟⎠ + 12⋅π⎝ ⎝ 2⋅π⎠NT ( ) = 235t T = 228 229 230 231 232 233 234 2351 438.61 439.91 441.68 442.9 444.31 446.86 447.45 449.15Dx ( ) :=235x1 1⌠− 2⋅⋅ cos( t i ⋅ln( x)) Ax ():=ln( x)∑⎮ Dx ( ) dxx⋅ln()x⌡2i = 11ANZ( x) A()x2 A 2 1− ⋅ ( x)3 A 3 1− ⋅ ( x)5 A 5 1− ⋅ ( x)6 A 6 1:=+ ⋅ ( x)− ⋅ (7 A 7 x)ANZ( 10) = 4 ANZ( 100) = 25 ANZ( 1000) = 168 ANZ 10 5 =Die Ergebnisse geben die tatsächliche Verteilung der Primzahlen fast exakt wieder!!12T⎛T⎞( ) 9591ln(x))...

6.2 Die Tschebyscheff – Funktion ψ(x)Der Zusammenhang zwischen den kompletten Nullstellen ρ der ζ - Funktion und einzelnenPrimzahlen wird über die Funktion ψ(x) beschrieben. Sie ist die Summe der Logarithmenaller Primzahlen bis zur Stelle x.Eine explizite Funktionsgleichung lautet:⎛ 1ψ (x) = x − ln (2⋅π)− ln⎜2⎝ 1−x⎞⎟⎠−∑ρρxρDie verkürzte Gleichung ist:ψ0(x) =x −∑ρρxρDie grafische Darstellung des Kurvenverlaufs im Bereich bis x = 30:Primzahlen13 17 19Der Verlauf zeigt eine Sprungfunktion. Die Sprünge treten bei den Primzahlen auf undbei Zahlen, die vollständige Potenzen von Primzahlen sind, z.B. bei x = 13,17,19, aberauch bei x = 8 = 2 3 , 25 = 5 2 , 27 = 3 3 usw.Der Verlauf zeigt auch ein Schwingungsverhalten wie bei einer Fourier - Entwicklung.Hier zum Vergleich eine bekannte Entwicklung:13

7. Eine Anwendung der Primzahlen - Das RSA - VerfahrenDie Bedeutung der Primzahlen in der Praxis besteht heute darin, dass mit ihrer Hilfe einesichere Übermittlung von Texten möglich ist.Dazu ist es notwendig, dass man einen Text, bevor man ihn versendet, zuerst mit demSchlüssel d „verschlüsseln“ muss.Der Empfänger muss ihn dann wieder mit einem passenden Schlüssel e „entschlüsseln“.Bei dem RSA-Verfahren 5 werden die Schlüssel d und e verschieden gewählt, sie sindso genannte „modulo - Inverse“.Das Verschlüsseln und das Entschlüsseln erfolgt über ein Potenzieren modulo N .Das Verfahren besteht aus folgenden Schritten: Vorgabe zweier (großer) Primzahlen p und q - geheim - Bilden des Moduls durch p . q = N - öffentlich - Schlüssel d und e berechnen mit:d . e ≡ 1 mod [ (p – 1) . (q – 1) ] ( * ) Text „ x “ mit e (öffentlich) „verschlüsseln“ und absendenx e mod N = y Text „ y “ empfangen und mit d (geheim) „entschlüsseln“y d mod N = xEs folgt ein Beispiel. Hier wird das Computerprogramm „ARIBAS“ verwendet, um einrealistisches Beispiel zu demonstrieren. Dargestellt werden nur die Ergebnisse. 6 Auswahl der geheimen Primzahlen p und q von geeigneter Größe, hier ca. 40 Stellen Modul: N = p . q N = 3_29653_32750_91650_69129_99864_00426_53894_73091__65682_01891_25345_33258_20924_20721_74124_98960_65667 Verschlüsselter Text (dezimal): Y = 68473_96951_27948_92240_77176_08359_01595_18867_66419_14023_37982_76087_17223_04518_39969_32878_54247. Entschlüsselter Text (hexadezimal): X = 4D61_7468_656D_6174_696B_202D_2053_7072_6163_6865_2064_6573_2049_6E67_656E_6965_7572_73. Entschlüsselter ASCII - Text:„Mathematik – Sprache des Ingenieurs“Die Sicherheit des Verfahrens beruht darauf, dass es sehr schwer ist, eine große Zahl Nin ihre Primfaktoren zu zerlegen. Aus der Kenntnis von p und q könnte man dann über dieGleichung ( * ) zum öffentlichen Schlüssel e den passenden geheimen Schlüssel d berechnen!5 Das Verfahren ist benannt nach den Entwicklern Rivest, Shamir und Adleman6 Das komplette Beispiel findet man in Grobstich / Strey: „Mathematik für Bauingenieure“, Kap 1.1.314

8. Projekte, Literatur und ProgrammeWichtige große internationale Projekte, die mit massivem Computereinsatz Probleme ausdiesem mathematischen Gebiet bearbeiten, sind: „zetagrid“:ζ – Nullstellen werden berechnet zur Überprüfung der Riemann – Vermutung.10 13 Nullstellen wurden ermittelt, alle mit dem Re = ½ (Stand 2005). „prothsearch”:Proth – Primzahlen der Bauart p = k . b n + 1 werden gesucht,p = 17 . 2 1 990 299 + 1 ist ein Beispiel aus dem Jahre 2006. „GIMPS“:Mersenne – Primzahlen der Bauart p = 2 n – 1 werden gesucht,p = 2 32 582 657 – 1 ist die größte bekannte Primzahl, Stand 2006.Es folgt eine kurze Literatur – Liste mit Büchern und Artikeln, die Themen aus diesemBereich behandeln: RIEMANN: „Über die Anzahl der Primzahlen …..“,Monatsberichte der Berliner Akademie 1859 KNOPP:„Theorie und Anwendung der unendlichen Reihen“,Springer - Verlag 1996 / 1. Auflage 1921 EDWARDS: „Riemann’s Zeta Function”, 1974 / 2001 RIBENBOIM: „Die Welt der Primzahlen“, Springer - Verlag 2006 du SAUTOY: „Musik der Primzahlen“,Deutscher Taschenbuch Verlag 2006 BOMBIERI: „Problems of the Millennium: The RIEMANN Hypothesis“,Institute for Advanced Study, Princeton NJ 08540 FREITAG / BUSAM : „Funktionentheorie“, Springer - Verlag 2006 Grobstich / Strey: „Mathematik für Bauingenieure“, Teubner - Verlag 2004Diese Computer - Programme wurden für die Berechnungen benutzt: Das Computer-Algebra – Programm mathcad ©12, Mathsoft USA / Canada Das Zahlentheorie – Programm ARIBAS © NT, O. Forster / Uni München15

Mit Porträts der Mathematiker, die wesentliche Grundlagen zu diesem Thema geschaffenhaben, wird der Vortrag nun beschlossen.Leonhard Euler1707 - 1783Carl Friedrich Gauss1777 - 1855Bernhard Riemann1826 - 1866Quelle: WikipediaVielen Dank für Ihre Aufmerksamkeit !Peter Grobstich16