Explizites und implizites Euler-Verfahren

Numerische Methoden in der Finanzmathematik Wintersemester 2010/11
Explizites und implizites Euler-Verfahren
Tobias Jahnke
Vorlesung Numerische Methoden in der Finanzmathematik
Wintersemester 2010/11
Tobias Jahnke Karlsruher Institut für Technologie

Numerische Methoden in der Finanzmathematik Wintersemester 2010/11
Der explizite Euler im nicht-steifen Fall (λ = −2)
Tobias Jahnke Karlsruher Institut für Technologie

Numerische Methoden in der Finanzmathematik Wintersemester 2010/11
y
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
−0.2
−0.4
−0.6
−0.8
−1
h = 0.1, lambda = −2
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
Tobias Jahnke Karlsruher Institut für Technologie
t
exakt
explizit

Numerische Methoden in der Finanzmathematik Wintersemester 2010/11
Der explizite Euler im steifen Fall (λ = −100)
Tobias Jahnke Karlsruher Institut für Technologie

Numerische Methoden in der Finanzmathematik Wintersemester 2010/11
y
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
−0.2
−0.4
−0.6
−0.8
−1
lambda = −100
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
Tobias Jahnke Karlsruher Institut für Technologie
t
exakt
explizit

Numerische Methoden in der Finanzmathematik Wintersemester 2010/11
y
10
8
6
4
2
0
−2
−4
−6
−8
h = 0.025, lambda = −100
−10
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
Tobias Jahnke Karlsruher Institut für Technologie
t
exakt
explizit

Numerische Methoden in der Finanzmathematik Wintersemester 2010/11
y
10
8
6
4
2
0
−2
−4
−6
−8
h = 0.020833, lambda = −100
−10
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
Tobias Jahnke Karlsruher Institut für Technologie
t
exakt
explizit

Numerische Methoden in der Finanzmathematik Wintersemester 2010/11
y
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
−0.2
−0.4
−0.6
−0.8
−1
h = 0.02, lambda = −100
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
Tobias Jahnke Karlsruher Institut für Technologie
t
exakt
explizit

Numerische Methoden in der Finanzmathematik Wintersemester 2010/11
y
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
−0.2
−0.4
−0.6
−0.8
−1
h = 0.016667, lambda = −100
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
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t
exakt
explizit

Numerische Methoden in der Finanzmathematik Wintersemester 2010/11
y
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
−0.2
−0.4
−0.6
−0.8
−1
h = 0.0125, lambda = −100
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
Tobias Jahnke Karlsruher Institut für Technologie
t
exakt
explizit

Numerische Methoden in der Finanzmathematik Wintersemester 2010/11
y
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
−0.2
−0.4
−0.6
−0.8
−1
h = 0.01, lambda = −100
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
Tobias Jahnke Karlsruher Institut für Technologie
t
exakt
explizit

Numerische Methoden in der Finanzmathematik Wintersemester 2010/11
y
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
−0.2
−0.4
−0.6
−0.8
−1
h = 0.005, lambda = −100
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
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t
exakt
explizit

Numerische Methoden in der Finanzmathematik Wintersemester 2010/11
y
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
−0.2
−0.4
−0.6
−0.8
−1
h = 0.001, lambda = −100
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
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t
exakt
explizit

Numerische Methoden in der Finanzmathematik Wintersemester 2010/11
Vergleich zwischen implizitem und explizitem Euler-Verfahren
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Numerische Methoden in der Finanzmathematik Wintersemester 2010/11
y
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
−0.2
−0.4
−0.6
−0.8
−1
h = 0.025, lambda = −100
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
Tobias Jahnke Karlsruher Institut für Technologie
t
exakt
explizit
implizit

Numerische Methoden in der Finanzmathematik Wintersemester 2010/11
y
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
−0.2
−0.4
−0.6
−0.8
−1
h = 0.02, lambda = −100
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
Tobias Jahnke Karlsruher Institut für Technologie
t
exakt
explizit
implizit

Numerische Methoden in der Finanzmathematik Wintersemester 2010/11
y
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
−0.2
−0.4
−0.6
−0.8
−1
h = 0.016667, lambda = −100
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
Tobias Jahnke Karlsruher Institut für Technologie
t
exakt
explizit
implizit

Numerische Methoden in der Finanzmathematik Wintersemester 2010/11
y
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
−0.2
−0.4
−0.6
−0.8
−1
h = 0.0125, lambda = −100
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
Tobias Jahnke Karlsruher Institut für Technologie
t
exakt
explizit
implizit

Numerische Methoden in der Finanzmathematik Wintersemester 2010/11
y
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
−0.2
−0.4
−0.6
−0.8
−1
h = 0.01, lambda = −100
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
Tobias Jahnke Karlsruher Institut für Technologie
t
exakt
explizit
implizit

Numerische Methoden in der Finanzmathematik Wintersemester 2010/11
y
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
−0.2
−0.4
−0.6
−0.8
−1
h = 0.005, lambda = −100
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
Tobias Jahnke Karlsruher Institut für Technologie
t
exakt
explizit
implizit

Numerische Methoden in der Finanzmathematik Wintersemester 2010/11
Illustration der Konvergenzordnung
Tobias Jahnke Karlsruher Institut für Technologie

Numerische Methoden in der Finanzmathematik Wintersemester 2010/11
max. Fehler
Konvergenz fuer lambda = −2
10 −1
10 −2
10 −3
10 −4
10 −5
10 −6
10 −3
10 −7
10 −2
Schrittweite h
10 −1
expliziter Euler
impliziter Euler
Trapezregel
Heun
10 20
10 15
10 10
10 5
max. Fehler Konvergenz fuer lambda = −100
10 0
10 −3
10 −5
10 −2
Schrittweite h
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10 −1
expliziter Euler
impliziter Euler
Trapezregel
Heun

Numerische Methoden in der Finanzmathematik Wintersemester 2010/11
Explizites und implizites Euler-Verfahren
Tobias Jahnke
Vorlesung Numerische Methoden in der Finanzmathematik
Wintersemester 2010/11
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