¨Ubungen zur Vorlesung Einführung in die Theoretische Informatik ...

Universität Heidelberg / Institut für Informatik 18. April 2013Prof. Dr. Klaus Ambos-SpiesDipl.-Math. Thorsten KrälingÜbungen zur VorlesungEinführung in die Theoretische InformatikBlatt 1Aufgabe 1 (4 Punkte)Sei Σ = Σ 2 = {0, 1} das binäre Alphabet und sei h : Σ ∗ → Σ ∗ der durch h(0) = 10,h(1) = 001 induzierte Homomorphismus. Berechnen Sie den Wert von# 0 (h((Bin(21) ◦ w 12 ) ↾ 7))Aufgabe 2 (4 Punkte)Die Binärsprache L sei induktiv definiert durch(i) λ ∈ L.(ii) Gehört w zu L, dann auch 0w1 und 1w0.(iii) Gehören v ≠ λ und w ≠ λ zu L, dann auch vw.Zeigen Sie, dass die Sprache L mit der Sprache L ′ = {w ∈ Σ ∗ 2 : # 0 (w) = # 1 (w)} übereinstimmt.Hinweis: Führen Sie den Nachweis, dass jedes Wort w mit der Eigenschaft # 0 (w) = # 1 (w)}in L liegt, induktiv nach der Länge von w. Beobachten Sie hierbei, dass sich jedes nichtleereWort w ∈ L ′ , dessen erster und letzter Buchstabe übereinstimmen, echt in zwei Teilwörteraus L ′ zerlegen lässt.Aufgabe 3 (4 Punkte)Zeigen Sie, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind.(i) A ist aufzählbar.(ii) A ist endlich oder A ist der Wertebereich einer berechenbaren injektiven Funktion f.(iii) A ist der Wertebereich einer partiell berechenbaren Funktion ϕ.

Aufgabe 4 (4 Punkte)Zeigen Sie, dass die Klassen der entscheidbaren bzw. aufzählbaren Sprachen gegen Vereinigungund Durchschnitt abgeschlossen sind. D.h. sind A und B entscheidbare (aufzählbare)Sprachen, so sind auch die Sprachen A ∪ B und A ∩ B entscheidbar (aufzählbar).Hinweis: Skizzieren Sie, wie sich aus Entscheidungsverfahren (Aufzählungsverfahren) für Aund B Entscheidungsverfahren (Aufzählungsverfahren) für A∪B und A∩B gewinnen lassen.Abgabe: Bis Donnerstag, den 25. April 2013 in den Briefkästen im Foyer im EG derAngewandten Mathematik (INF 294). Leerung 14 Uhr!Die aktuellen Übungsblätter sind als PDF-Dateien im Internet auf der Seite der Vorlesungabrufbar:http://www.math.uni-heidelberg.de/logic/SS13/theoinf SS13.html