¨Ubungen zur Vorlesung Einführung in die Theoretische Informatik ...
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Universität Heidelberg / Institut für <strong>Informatik</strong> 18. April 2013Prof. Dr. Klaus Ambos-SpiesDipl.-Math. Thorsten Kräl<strong>in</strong>gÜbungen <strong>zur</strong> <strong>Vorlesung</strong><strong>E<strong>in</strong>führung</strong> <strong>in</strong> <strong>die</strong> <strong>Theoretische</strong> <strong>Informatik</strong>Blatt 1Aufgabe 1 (4 Punkte)Sei Σ = Σ 2 = {0, 1} das b<strong>in</strong>äre Alphabet und sei h : Σ ∗ → Σ ∗ der durch h(0) = 10,h(1) = 001 <strong>in</strong>duzierte Homomorphismus. Berechnen Sie den Wert von# 0 (h((B<strong>in</strong>(21) ◦ w 12 ) ↾ 7))Aufgabe 2 (4 Punkte)Die B<strong>in</strong>ärsprache L sei <strong>in</strong>duktiv def<strong>in</strong>iert durch(i) λ ∈ L.(ii) Gehört w zu L, dann auch 0w1 und 1w0.(iii) Gehören v ≠ λ und w ≠ λ zu L, dann auch vw.Zeigen Sie, dass <strong>die</strong> Sprache L mit der Sprache L ′ = {w ∈ Σ ∗ 2 : # 0 (w) = # 1 (w)} übere<strong>in</strong>stimmt.H<strong>in</strong>weis: Führen Sie den Nachweis, dass jedes Wort w mit der Eigenschaft # 0 (w) = # 1 (w)}<strong>in</strong> L liegt, <strong>in</strong>duktiv nach der Länge von w. Beobachten Sie hierbei, dass sich jedes nichtleereWort w ∈ L ′ , dessen erster und letzter Buchstabe übere<strong>in</strong>stimmen, echt <strong>in</strong> zwei Teilwörteraus L ′ zerlegen lässt.Aufgabe 3 (4 Punkte)Zeigen Sie, dass <strong>die</strong> folgenden Aussagen äquivalent s<strong>in</strong>d.(i) A ist aufzählbar.(ii) A ist endlich oder A ist der Wertebereich e<strong>in</strong>er berechenbaren <strong>in</strong>jektiven Funktion f.(iii) A ist der Wertebereich e<strong>in</strong>er partiell berechenbaren Funktion ϕ.
Aufgabe 4 (4 Punkte)Zeigen Sie, dass <strong>die</strong> Klassen der entscheidbaren bzw. aufzählbaren Sprachen gegen Vere<strong>in</strong>igungund Durchschnitt abgeschlossen s<strong>in</strong>d. D.h. s<strong>in</strong>d A und B entscheidbare (aufzählbare)Sprachen, so s<strong>in</strong>d auch <strong>die</strong> Sprachen A ∪ B und A ∩ B entscheidbar (aufzählbar).H<strong>in</strong>weis: Skizzieren Sie, wie sich aus Entscheidungsverfahren (Aufzählungsverfahren) für Aund B Entscheidungsverfahren (Aufzählungsverfahren) für A∪B und A∩B gew<strong>in</strong>nen lassen.Abgabe: Bis Donnerstag, den 25. April 2013 <strong>in</strong> den Briefkästen im Foyer im EG derAngewandten Mathematik (INF 294). Leerung 14 Uhr!Die aktuellen Übungsblätter s<strong>in</strong>d als PDF-Dateien im Internet auf der Seite der <strong>Vorlesung</strong>abrufbar:http://www.math.uni-heidelberg.de/logic/SS13/theo<strong>in</strong>f SS13.html