Repetitorium Mathematik â Teil 2 - Treminer.de

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Repetitorium der Mathematik — Teil 22 Die Länge einer Bernoulli- KetteBeispiel zur EinführungEine Firma kauft Massenartikel ein. Der Hersteller gibt den Ausschussanteil mit einerhöchsten 0,5% an. Der Einkäufer will nun die Glaubhaftigkeit des Herstellers überprüfen.Er greift aus der Produktion zufällig eine gewisse Anzahl des gewünschten Artikelheraus. Ist ein Werkstück defekt, verweigert er die Annahme der Lieferung.Berechne wie viele Artikle der Einkäufer mindestens prüfen muss, damit er mit eine Mindestwahrscheinlichkeitvon 98% die richtige Entscheidung trifft.LösungEs handelt sich um eine Bernoullikette mit folgenden Vereinbarungen:• Der Treffer ist ein defektes Werkstück• Trefferwahrscheinlichkeit ist 0,5%Zur Lösung des Problems ist folgendes zu bemerken:• Der Kontrolleur erzielt keinen Treffer: k = 0• Die Wahrscheinlichkeit dafür soll 98% betragen.Mit Hilfe der Bernoulli- Formel ergibt sich deshalb der nachstehende Ansatz:( )n0,98 = · 0,005 0 · 0,995 n0Dies vereinfacht sich nach Anwendung der Fakultätsregeln und den Potenzgesetzenzu0,98 = 0,995 nZieht man nun auf beiden Seiten den Logarithmus ln auf beiden Seiten, dann erhältmanln(0,98) = n · ln(0,995)n = ln(0,98)ln(0,995)Als Zahlenwert ergibt sich nach Ausziehen des Logarithmuses:n = 4,03Damit muss der Einkäufer mindestens 5 Werkstücke prüfen.24
9 Testen von Hypothesen1 Der einseitige SignifikanztestZur EinführungRepetitorium der Mathematik — Teil 2Die Brüder Fritzi und Egon haben unterschiedliche Meinungen über die Anzahl derKunden einer benachbarten Tankstelle, die bleifreies Superbenzin tanken. Fritzi behauptet,dass dies 20% tun, Egon hingen meint, dass die Schätzung seines Bruders zu geringist. Sie beschließen die nächsten 100 Kunden zu beobachten. Falls höchstens 27Kunden Super tanken soll entscheiden sie sich für die Annahme von Fritzis Hypothese.1. Bestimme wie hoch die Wahrscheinlichkeit ist, dass Fritzi recht hat, obwohl dasTestergebnis für die Ablehnung von Fritzis Hypothese spricht.2. In Wahrheit liegt die Wahrscheinlichkeit für das Tanken von Superbenzin bei 35%.Bestimme, wie hoch die Wahrscheinlichkeit ist, dass das Testergebnis trotzdem fürFritzis Annahme spricht.2 Theoretischer HintergrundEs handelt sich bei der vorangestellten Aufgabe um einen statistischen Test.Ein statistischer Test ist ein Entscheidungsverfahren darüber, obdie Daten einer Stichprobe einer vorgegebenen Hypothese über dieunbekannte Grundgesamtheit entsprechen oder widersprechen.Fällt die Entscheidung zwischen Annahme oder Ablehnung einer Hypothese , so heißtder Test einseitiger Signifikanztest. An unserem Beispiel kann man erkennen, was beieinem Signifikanztest alles beachtet werden muss:• Man beobachtet 100 Fahrzeuge, d.h. die Länge n der Stichprobe wird festgelegt.• Man muss die Hypothese formulieren:– H 0 : Es tanken 20% Superbenzin• Man muss eine Entscheidungsregel angeben: H 0 gilt, wenn höchtsens 27 Autos Supertanken. Durch die Entscheidungsregel wird ein Annahmebereich A festgelegt,in welchem H 0 zutrifft. Im Ablehnebreich A trifft dann H 0 nicht zu.Die mit der Entscheidungsregel verknüpften möglichen Fehlentscheidungen können danngemäß der folgenden Prozedur bestimmt werden.25
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