Repetitorium Mathematik â Teil 2 - Treminer.de

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Repetitorium der Mathematik — Teil 21 2 2 4 51 1 0 0 00 1 1 0 00 0 1 1 00 0 0 1 11 0 1 0 00 1 0 1 00 0 1 0 11 0 0 1 00 1 0 0 11 0 0 0 1Aus der Tabelle erkennt man, dass es für das Ergebnis insgesamt(510 =2)verschiedene Kombinationen gibt.c) Da die einzelnen Durchführungen des Bernoulli- Experiments stochastischunabhängig sind gilt für das Eintreten der ersten Möglichkeit die folgendeWahrscheinlichkeit:P (11000) = 0,05 · 0,05 · 0,95 · 0,95 · 0,95 = 0,05 2 · 0,95 3Die Wahrscheinlichkeit der weiteren Möglichkeiten ist – wie man sich leichtüberzeugt– gleich groß. Damit aber gilt insgesamt:(5P (Zwei defekt) = 10 · 0,05 2 · 0,95 3 =2)· 0,05 2 · 0,95 3Sucht man nun in einer Bernuollikette der Länge n k Treffer, dann erhält manfür dieses Ereignis die folgende Wahrscheinlichkeit:Satz 1Ein Bernoulli- Experiment wird n- Mal durchgeführt. DieDurchführungen sind unabhängig. Dann erhält man als Wahrscheinlichkeitfür k Treffer den folgenden Term(nP (k) =k)· p k · (1 − p) n−k22
Repetitorium der Mathematik — Teil 21 Erwartungswert beim Bernuolli- ExperimentZur EinführungEine Zahnarztpraxis behandelt 5 Patienten mit einem Antiseptikum. Dem Arzt ist bekannt,dass 1 Patienten unerwünschte Nebenwirkungen aufweisen, die eine Nachbehandlungerforderlich6machen.1. Mit wie vielen Nachbehandlungen muss der Zahnarzt rechnen.2. Berechne das Produkt n · p und vergleiche es mit dem Ergebnis von der vorangegangenenTeilaufgabe. Was fällt dir dabei auf?LösungUm die durchschnittliche Anzahl von Patienten, bestimmen wir mit Hilfe der stochastischenTabellen die Wahrscheinlichkeit für 0 bis 10 Treffer:k 5 4 3 2 1 0P(k) 0,0001 0,0032 0,0322 0,1608 0,4019 0,4019Das arithmetische Mittel ist dies Summe der einzelnen Treffer multipliziert mit derWahrscheinlichkeit der einzelnen Treffer.k = 5 · 0,001 + 4 · 0,0032 + 3 · 0,0322 + 2 · 0,1608 + 1 · 0,4019 + 0 · 0,4019Das Ergebnis ausgewertet er gibt für unseren Fall:k = 0,83Vergleichen wir das Produkt 5 · 16 : 5 · 16 = 5 6 = 0,83Man erkennt, dass bis auf die Rundungsfehler die durch die stochastischen Tabellengemacht wurde, eine Übereinstimmung besteht.Der Erwartungswert der Bernoullikette ist die Summe der Produkteaus Trefferanzahl und Wahrscheinlichkeit für die Trefferanzahl.Er wird mit dem griechischen µ bezeichnet. Der Erwartungswertder Bernoullikette hängt folgendermaßen mit Kettenlänge und derTrefferwahrscheinlichkeit zusammen:µ = n · p23
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