Repetitorium Mathematik – Teil 2 - Treminer.de

Repetitorium der Mathematik — Teil 24 Varianz und Streuung einer ZufallsgrößeIn diesem Abschnitt steht die Frage im Vordergrund, in welchen Wert die meisten Werteeiner Zufallsgröße liegen. Aufgrund der Definition des Erwartungswertes liegt es nahe,dass dieser Bereich symmetrisch zu dem Erwartungswert ist: Man kann die untere Grenzeund die obere Grenze dieses Bereichs durch eine Differenz zum Erwartungswert derZufallsgröße ermitteln. Um das Vorzeichen dieser Differenz zu eleminieren, wird dieseDifferenz quadriert. Die Wahl des Quadrat dieses Abstandes hat noch zudem denVorteil, dass es größere Abweichungen stärker gewichtet. Damit dem Expandieren desStreuungsmaßes bei großen n vorgebeugt werden kann, wird es durch die Anzahl n derWerte der Zufallsgröße dividiert. Das so konstruierte Maß heißt Varianz der Zufallsgrößeund wird exakt wie folgt definieriert:Mit X sei eine Zufallsgröße gegeben, die einen Wertebereich x 1 , x 2bis x n hat. Dann ist die Varianz dieser Zufallsgröße gegeben durch:n∑V AR(X) = (x i − E(X)) 2 · P (X = x i )i=0Die Wurzel aus der Varianz wird mit der Standardabweichung σbezeichnet:√σ = V AR(X)5 Musteraufgabe zum Themenkomplex Zufallsgrößen• Bei einem Stadtfest stellt ein sozial- caritativer Ortsverein eine Lostrommel auf.Dabei darf für ein Entgeld von 1,00 Eur ein Teilnehmer aus der Lostrommel ein Losziehen. Die Lose sind mit 1 bis 5 durchnummeriert und geben die Preiskategoriean:– Kategorie 1: Der Spieler gewinnt 8,00 Eur– Kategorie 2: Der Spieler gewinnt 6,00 Eur– Kategorie 3: Der Spieler gewinnt einen gesponserten Preis, der dem Vereinnichts kostet.– Kategorie 4: Der Spieler gewinnt einen gesponserten Preis, der dem Verein1,00 Eur einbringt.– Kategorie 5: Der Spieler zieht eine Niete und geht leer aus.In der Lostrommel befinden sich 2 Lose mit der 5,je ein Los mit 3 und 2,fünf Losemit der 4 und ein Los mit der 1. Die Zufallsgröße X bezeichnet den Gewinn desVereins bei dem Lostrommelstand.19