Repetitorium Mathematik â Teil 2 - Treminer.de
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Repetitorium der Mathematik — Teil 26 Unabhängigkeit von EreignissenBeispiel zur EinführungDas Weisheitsgymnasiums hat 1194 Schüler und Schülerinnen. 837 Schüler sind Jungen,477 Schüler sind Fahrschüler von auswärts. Unter den Fahrschülern sind 335 Jungen.1. Zeige, dass die Wahrscheinlichkeit für einen Jungen unter den Schülern genausohoch ist wie die Wahrscheinlichkeit für einen Jungen unter den Fahrschülern.2. Überlege, was diese Feststellung aussagt.1 Lösung der ArbeitsaufträgeWir berechnen die geforderten Wahrscheinlichkeiten mit Hilfe der allgemeinen Definitionder Wahrscheinlichkeit:P (Junge) = 8371194 = 0,70%P (Junge) F ahrs = 335477 = 0,70%In praktischen Untersuchungen tritt häufig die Frage auf, ob sich durch Eintreten desEreignisses A die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses B ändert. In unserem Beispiel habenwir gesehen, dass das Ereignis Fahrschüler offensichtlich keine Auswirkungen auf dasEreignis der Schüler ist ein Junge hat. In diesem Fall haben wir erkannt, dass die Wahrscheinlichkeitdes Ereignisses Junge gleich der bedingten Wahrscheinlichkeit Junge unterder Bedingung Fahrschüler ist, als Gleichung formuliert:Diese Eigenschaft hat einen neuen Namen:P (Junge) F ahrs = P (Junge)DefinitionGilt für zwei Ereignisse über dem gleichen Ergebnisraum ΩP B (A) = P (A)so sind die Ereignisse A und B über Ω stochastisch unabhängig.12
Repetitorium der Mathematik — Teil 22 Der spezielle Multiplikationssatz für unabhängige EreignisseBeispiel zur EinführungIn einem Verarbeitungsbetrieb für Metall sind 60 Männer und 40 Frauen angestellt. 18Männer nutzen jeden Morgen den Werksbus, von den Frauen benützen ihn x. Aus demBetrieb wird zufällig eine Person ausgewählt. Überprüfe, unter welcher Bedingung die EreignisseMann und Werksbus stochastisch unabhängige Ereignisse sind.Lösung mit der VierfeldertafelMan löst diese Aufgabe mit einer Vierfeldertafel:M M SummeW 18 x 18 + xW 42 40 − x 82 − xSumme 60 40 100Aus der Vierfelder- Tafel kann man nun die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis Mannermitteln:P (M) = 60100 = 0,60Im nächsten Schritt ist nun die bedingte Wahrscheinlichkeit zu ermitteln, dass einePerson männlich ist und den Werksbus benützt. Nach unserer Definition aus dem letztenAbschnitt ist diese zu berechnen über:Mit Hilfe der Vierfeldertafel ergibt sich:P W (M) = P (M ⋂ W )P (W )P W (M) =1810018+x100= 1818 + xWenn die beiden Ereignisse stochstisch unabhängig sind, dann muss gelten:P W (M) = P (M)1818 + x = 0,60Löst man nun diese Bestimmungsgleichung nach x auf, dann erhält man für xx = 12Im Fall der stochstischen Unabhängigkeit der Ereignisse gilt also:13
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<strong>Repetitorium</strong> <strong>de</strong>r <strong>Mathematik</strong> — <strong>Teil</strong> 22 Der spezielle Multiplikationssatz für unabhängige EreignisseBeispiel zur EinführungIn einem Verarbeitungsbetrieb für Metall sind 60 Männer und 40 Frauen angestellt. 18Männer nutzen je<strong>de</strong>n Morgen <strong>de</strong>n Werksbus, von <strong>de</strong>n Frauen benützen ihn x. Aus <strong>de</strong>mBetrieb wird zufällig eine Person ausgewählt. Überprüfe, unter welcher Bedingung die EreignisseMann und Werksbus stochastisch unabhängige Ereignisse sind.Lösung mit <strong>de</strong>r Vierfel<strong>de</strong>rtafelMan löst diese Aufgabe mit einer Vierfel<strong>de</strong>rtafel:M M SummeW 18 x 18 + xW 42 40 − x 82 − xSumme 60 40 100Aus <strong>de</strong>r Vierfel<strong>de</strong>r- Tafel kann man nun die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis Mannermitteln:P (M) = 60100 = 0,60Im nächsten Schritt ist nun die bedingte Wahrscheinlichkeit zu ermitteln, dass einePerson männlich ist und <strong>de</strong>n Werksbus benützt. Nach unserer Definition aus <strong>de</strong>m letztenAbschnitt ist diese zu berechnen über:Mit Hilfe <strong>de</strong>r Vierfel<strong>de</strong>rtafel ergibt sich:P W (M) = P (M ⋂ W )P (W )P W (M) =1810018+x100= 1818 + xWenn die bei<strong>de</strong>n Ereignisse stochstisch unabhängig sind, dann muss gelten:P W (M) = P (M)1818 + x = 0,60Löst man nun diese Bestimmungsgleichung nach x auf, dann erhält man für xx = 12Im Fall <strong>de</strong>r stochstischen Unabhängigkeit <strong>de</strong>r Ereignisse gilt also:13
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