Repetitorium Mathematik – Teil 2 - Treminer.de

Repetitorium der Mathematik — Teil 2Repetitorium Mathematik – Teil 2Wahrscheinlichkeitsrechnung und StatistikMarkus Baur1

InhaltsverzeichnisRepetitorium der Mathematik — Teil 21 Die Wahrscheinlichkeit 32 Wahrscheinlichkeit mit Abzählverfahren 31 Die Produktregel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 Geordnete Stichproben mit Zurücklegen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 Die geordnete Stichprobe ohne Zurücklegen . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 Die ungeordnete Stichprobe ohne Zurücklegen . . . . . . . . . . . . . . . 63 Aufgaben zu Wahrscheinlichkeit mit Kombinatorik 74 Verknüpfte Ereignisse– Der Additionssatz 91 Zur Einführung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 Lösung der Aufgabenstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 Die bedingte Wahrscheinlichkeit 101 Ein Beispiel zur Einführung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 Unabhängigkeit von Ereignissen 121 Lösung der Arbeitsaufträge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 Der spezielle Multiplikationssatz für unabhängige Ereignisse . . . . . . . 133 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157 Zufallsgrößen 161 Einführung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162 Die Verteilungsfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173 Erwartungswert einer Zufallsgröße . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184 Varianz und Streuung einer Zufallsgröße . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195 Musteraufgabe zum Themenkomplex Zufallsgrößen . . . . . . . . . . . . 198 Das Bernoulli- Experiment und die Binomialverteilung 211 Erwartungswert beim Bernuolli- Experiment . . . . . . . . . . . . . . . . 232 Die Länge einer Bernoulli- Kette . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249 Testen von Hypothesen 251 Der einseitige Signifikanztest . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252 Theoretischer Hintergrund . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253 Bestimmung einer Entscheidungsregel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264 Zusammenfassung über den einseitigen Signifikanztest . . . . . . . . . . . 282

1 Die WahrscheinlichkeitRepetitorium der Mathematik — Teil 2In einem Zufallsexperiment wird zwei Mal eine Münze nacheinander geworfen. Es solldie Wahrscheinlichkeit des Ereignisses bestimmt werden, dass einmal Kopf und einmalZahl geworfen wird.Nach dem französischen Mathematiker Laplace ist die Wahrscheinlichkeit definiert als:P (Ereignis) =Nach dieser Definition gelangen wir zu:Anzahl aller Ergebnisse, bei denen das Ereignis eintrittAnzahl aller Ergebnisse des ZufallsexperimentsP (E) = 2 · 12 · 2 = 2 4 = 1 2Der russische Mathematiker Kolmorgorow legt die Wahrscheinlichkeit durch drei Axiomefest, durch die die Eigenschaften der Wahrscheinlichkeit beschrieben werden:Komolgorow- Axiome1. Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses A ist immer positiv:P (A) > 02. Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses, desseb mögliche Ergebnisseidentisch mit allen Ergebnissen des Ergebnisraumsist, hat den Wert 1: P (Ω) = 13. Haben zwei Ereignisse keine gemeinsamen Ergebnisse, dannsind sie disjunkt. Die Wahrscheinlichkeit zweier disjunkter Ergebnissewird berechnet durch die Summe der Wahrscheinlichkeitder Einzelereignisse.2 Wahrscheinlichkeit mit Abzählverfahren1 Die ProduktregelAus der Zulassungsverordnung für Kraftfahrzeuge des Landkreises Garmisch- Partenkirchensvom 12.12.1976: Die Kennzahl eines privaten Personenkraftfahrzeugs ist maximaldreistellig. Die Nummer ist so zu wählen, dass sich keine Ziffer wiederholtBerechne, wie viele Möglichkeiten die KfZ- Zulassungsstelle hat, mit dieser VerordnungNummern zu vergeben.Die Lösung ist sehr einfach: Man denkt sich die dreistellige Zahl in drei Blöcke aufgeteilt,für die jeweils eine bestimmte Anzahl von Ziffern zur Verfügung steht:n = 10 · 9 · 8 = 720Aus diesem Beispiel kann man die folgende Abzählregel ableiten:3

Repetitorium der Mathematik — Teil 2Aus k nichtleeren Mengen M 1 ,...,M k mit n 1 ,...,n k Elementen kannman n 1 · ... · n k verschiedene k- Tupel (x 1 , ..., x k ) bilden, wobeix 1 ɛM 1 ,...,x k ɛM k .BeispielBei einem dreimaligen Würfeln betrachtet man das Ereignis A: Genau zwei Augenzahlensind gleich.Im ersten Schritt ermittelt man mit der Produktregel die Mächtigkeit des Ergebnisraums:|Ω| = 6 · 6 · 6 = 216Im zweiten Schritt errechnet man mit der Produktregel die Anzahl aller günstigen Möglichkeitenfür A:|A| = 6 · 1 · 5 = 30Mit Hilfe der Wahrscheinlichkeitsdefinition kann man nun die Wahrscheinlichkeit für dasEreignis A berechnen:P (A) = |A||Ω| = 30216 ≈ 0,422 Geordnete Stichproben mit ZurücklegenJede der drei Urnen aus der Abbildung enthält Kugeln mit den Ziffern 1,3,5 und 7. Ziehtman aus jeder der Urnen der Reihe nach eine Kugel, so erhält man ein Tripel, bzw. einedreistellige Zahl. Man notiert diese dreistellige Zahl und legt dann die gezogene Kugelin die jeweilige Urne zurück.Mit Hilfe der Produktregel kann man nun die Anzahl der verschiedenen Möglichkeitenbei diesem Zufallsexperiment berechnen:|Ω| = 4 · 4 · 4 = 4 3Diese Anzahl erhält man auch, wenn man aus einer Urne zieht und die Kugel nach demZug immer wieder zurücklegt. Aus diesem Beispiel lässt sich die folgende Kombinatorikregelableiten:Bei einer Gesamtheit von n verschiedenen Elementen kann maninsgesamtn kgeordnete Stichproben mit Zurücklegen entnehmen.4

Repetitorium der Mathematik — Teil 2BeispielBei einem Eishockey- Lottospiel sagt man den Ausgang von 11 Spielen voraus. Das Ankreuzenvon 1 bedeutet: Spiel wird gewonnen, 0 steht für Unentschieden und 2 sagt aus,dass das Spiel verloren wird. Man gewinnt im 1. Rang, wenn alle Tipps stimmen.Die Lösung besteht in der Rückführung auf das Urnenmodell. Nimmt man an, dassdie Tipps durch reines Raten zustande Kommen, bedeutet das Lotto das hintereinanderZiehen aus 11 Urnen mit den drei Kugeln 0,1,2. Somit ergibt sich mit der eben genanntenKombinatorikregel die folgende Anzahl an verschiedenen Möglichkeiten:|Ω| = 3 11 = 177147Somit ergibt sich die Wahrscheinlichkeit mit |A| = 1 die Wahrscheinlichkeit des Gewinnsim ersten Rang zu:P (A) = |A||Ω| = 1177147 ≈ 0,0006%3 Die geordnete Stichprobe ohne ZurücklegenEin großer Automobilhersteller unterzieht nach der Abschlusskontrolle nochmals einemstrengen Qualitätstest. In der Garge stehen dreißig mit den Nummern 1-30 verseheneFahrzeuge. Aus diesen Fahrzeugen werden nun von einem Kontrolleur zufällig 5 Fahrzeugeausgewählt. Jedes der gewählten Fahrzeuge wird in einem unterschiedlichen Qualitätsmerkmalgetestet. Ermittle wie viele unterschiedliche Testmöglichkeiten der Kontrolleurbesitzt.• Man kann dieses Testverfahren wiederum mit dem Urnenmodell erklären: In einerUrne befinden sich 30 nummerierte Kugeln, aus welchen nun 5 verschiedeneKugeln gewählt werden. Da jedes der gewählten Autos einem unterschiedlichemTestverfahren unterzogen wird, muss die Reihenfolge in der Ziehung berücksichtigtwerden.• Mit dem Multiplikationssatz kann man nun zunächst von Hand die Möglichkeitenermitteln:|Ω| = 30 · 29 · 28 · 27 · 26 = 1710072• Man kann dieses Ergebnis aber auch mit Hilfe von Fakultäten berechnen:|Ω| =30!(30 − 5)!=30 · 29 · 28 · 27 · ... · 2 · 125 · 24 · 23 · ... · 2 · 1= 30 · 29 · 28 · 27 · 265

Repetitorium der Mathematik — Teil 2Damit ermittelt man die Mächtigkeit des Ergebnisraums einer geordnetenStichprobe, bei der aus n Kugeln k Kugeln unter Berücksichtigungder Reihenfolge ausgewählt werden zu|Ω| =n!(n − k)!4 Die ungeordnete Stichprobe ohne ZurücklegenAus einem 6 Personen starken Vereinsvorstand sollen 4 Delegierte für die Verbandssitzungper Losentscheid bestimmt werden. Im Gegensatz zu den bisher betrachtetenProblemen spielt hier die Reihenfolge keine Rolle. Ins Urnenmodell übersetzt bedeutetdies: Man zieht aus der Urne 4 Kugeln gleichzeitig, also mit einem Griff.In einem ersten Schritt kann man mit der Produktregel die Anzahl aller Dubletts bestimmen:|Ω 1 | = 6 · 5 · 4 · 3 = 360Allerdings ist bei dieser Berechnungsart die Reihenfolge mit gezählt. Zieht man miteinem Griff 4 Kugeln, dann kann man aus diesen 4 Kugeln jeweils 4 · 3 · 2 · 1 = 4!verschiedene Reihenfolgen bilden. Das bedeutet|Ω| = |Ω 1|4!= 36024 = 15Allgemein lässt sich hieraus die folgende Abzählregel bestimmen: Esgibt die nachstehenden Möglichkeiten für eine ungeordnete Stichproben:(nk)=Diese Regel heisst k über n.n · (n − 1) · ... · (n − k + 1)1 · 2 · ... · k=n!k!(n − k)!6

Repetitorium der Mathematik — Teil 23 Aufgaben zu Wahrscheinlichkeit mit Kombinatorik1. Vor einer Werkstatt stehen 10 verschiedene Personenkraftwagen, die alle reperaturbedürftigsind. Dabei haben 6 Wagen einen Kupplungsschaden. Für den Arbeitstagwählt der Werkstattmeister 5 Kraftwagen für die Reperatur zufällig aus.a) Bestimme wie viele unterschiedliche Möglichkeiten sich für den Meister ergeben.b) Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der Meister an diesem Tag genauzwei Fahrzeuge mit defekter Kupplung instandsetzten lässt.c) Berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass an diesem Tag höchstens 4 defekteKupplungen durch die Werkstatt ausgetauscht werden.d) Bestimme durch Berechnung die Wahrscheinlichkeit dafür, dass mindestens 3defekte Kupplungen durch die Werkstatt in Ordnung gebracht werden.2. Bei einem Jugenskirennen starten die Nationen Frankreich, Österreich, Schweiz,Italien und die Bundesrepublik Deutschland. Insgesamt gehen 30 Rennläufer anden Start. Die Bundesrepublik Deutschland stellt davon 6 Rennläufer, die Schweiz,Frankreich und Österreich je 5 Sportler und Italien 4 Skifahrer.a) Berechne, wie viele unterschiedliche Möglichkeiten es bei der Startnummernvergabegeben kann.b) Bestimme, wie viele verschiedene Möglichkeiten das deutsche Team hat.c) Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass das Rennen von der Schweizeröffnet wird und auch die zwei folgenden Starter aus der Schweiz sind.3. Bei dem beliebten bayerische Kartenspiel Schafkopf wird mit 32 Karten gespielt,wobei jeder Spieler 8 Karten erhält. Die höchsten vier Trumpfkarten sind dabeider Eichel- Ober, der Gras- Ober, der Herz- Ober und der Schell- Ober.a) Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass ein Spieler genau zwei Ober erhält.b) Errechne, mit welcher Wahrscheinlichkeit der Spieler höchstens drei Ober inseinem Blatt besitzt.c) Berechne, mit welcher Wahrscheinlichkeit der Spieler mindestens einen Oberin seinem Blatt findet.4. Bei einem Glücksspiel befinden sich in einer Lostrommel 9 von 1 bis 9 durchnummerierteKugeln. Es werden nacheinander 3 Kugeln gezogen, die Zahl notiert unddie Kugel wieder in die Trommel geworfen. Dadurch ergibt sich nach drei Zügeneine dreistellige Zahl, wobei der erste Zug die Einerziffer, der zweite Zug dieZehnerziffer und der dritte Zug die Hunderterziffer festlegt.7

Repetitorium der Mathematik — Teil 2a) Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Hunderterziffer größer als 7ist.b) Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Zehnerziffer gerade ist.c) Berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Einerziffer ungerade ist.8

Repetitorium der Mathematik — Teil 24 Verknüpfte Ereignisse– Der Additionssatz1 Zur EinführungIn der Leichtatletikmannschaft des Weisheitsgymnasiums sind 60% Läufer. 30% der Gesamtmannschaftnehmen an dem Wettbewerb in Kurzstreckenlaufen teil, 40% nehmenan dem Langstreckenwettbewerb teil. Ermittle die Wahrscheinlichkeit dafür, dass einLäufer an beiden Wettbewerben teilnimmt.2 Lösung der AufgabenstellungDie Gruppe der Läufer besteht sowohl aus Langstrecken als auch aus den Sprintern. DieLäufer sind also die Vereinigung aus den Sprintern und den Langstreckenläufern. Wirbezeichnen die Langstreckenläufer L und die Kurzstreckenläufer S. Es entsteht dabeifolgendes Mengenbild:Mit Hilfe dieses Mengenbildes ergibt sich die Berechnung der Wahrscheinlichkeit für dasEreignis Läufer auf die folgende Art und Weise:P (Laeufer) = P (Sprinter) + P (beides) + P (Langstreckenlaeufer)9

Repetitorium der Mathematik — Teil 2Mit Hilfe des oben gezeichneten Mengendiagramms kann man nun diese Wahrscheinlichkeitenwie folgt ausdrücken:P (L) = P (S \ (S ∩ L)) + P (S ∩ L) + P (L \ (S ∩ L))Die erste und die letzte Wahrscheinlichkeit lässt sich ausdrücken, indem man die Wahrscheinlichkeitder Schnittmenge jeweils von der Teilmenge abzieht, alsoP (L) = P (S) − P (S ∩ L) + P (S ∩ L) + P (L) − P (S ∩ L)Zusammengefasst ergibt sich nun:P (L) = P (S) + P (L) − P (S ∩ L)Mit den Angaben aus dem Eingangsbeispiel ist P (S∩L) die gesuchte Wahrscheinlichkeit,die man mit x bezeichnet. Gemäß der eben gefundenen Regel ergibt sich die folgendeGleichung zu lösen:60% = 40% + 30% − x0,60 = 0,40 + 0,30 − x−0,10 = −xx = 0,10Die Wahrscheinlichkeit für einen Allroundläufer des Vereins liegt bei 10%.3 ZusammenfassungWill man die Wahrscheinlichkeit der Vereinigung von zwei beliebigen Ereignissen A undB bestimmen, dann gilt der im folgenden genannte Additionssatz:P (A ∪ B) = P (A) + P (B) − P (A ∩ B)5 Die bedingte Wahrscheinlichkeit1 Ein Beispiel zur EinführungEine Klasse des Weisheitsgymnasiums besteht aus 20 Jungen und 15 Mädchen. Von denJungen sind 8, von den Mädchen sind 3 Fahrschüler. Mit welcher Wahrscheinlichkeit istein Mitglied1. Ein Junge2. ein Junge der Fahrschüler10

Lösung der AufgabeRepetitorium der Mathematik — Teil 2Die Lösung gelingt über eine Vierfeldertafel aus den Ereignissen J und J bzw. F undFP (F )835P (F )1235Summe2035P (J) P (J) Summe3 1135 3512 2435 3515135Zur Bestimmung der gewünschten Wahrscheinlichkeiten hat man nun zwei Möglichkeiten:• Möglichkeit: Bestimmung der Wahrscheinlichkeit zu Fuß:P (J) = 2035Die Wahrscheinlichkeit für einen Jungen unter den Fahrschülern:P F (J) = 8 11• Bestimmung der zweiten Wahrscheinlichkeit durch die in der Vierfeldertafel angegebenenTeilwahrscheinlichkeiten:P F (J) =8351135= 8 11Diese letzte Berechnungsmöglichkeit lässt sich allgemein als Formel an schreiben:P F (J) = P (J ∩ F )P (F )Dies führt zur allgemeinen Definition einer bedingten Wahrscheinlichkeit :Sind A und B zwei beliebige Ereignisse und P (A) ≠ 0, so bezeichetman P A (B) die bedinigte Wahrscheinlichkeit von B, die nachstehenddefiniert ist:P (A ∩ B)P A (B) =P (A)11

Repetitorium der Mathematik — Teil 26 Unabhängigkeit von EreignissenBeispiel zur EinführungDas Weisheitsgymnasiums hat 1194 Schüler und Schülerinnen. 837 Schüler sind Jungen,477 Schüler sind Fahrschüler von auswärts. Unter den Fahrschülern sind 335 Jungen.1. Zeige, dass die Wahrscheinlichkeit für einen Jungen unter den Schülern genausohoch ist wie die Wahrscheinlichkeit für einen Jungen unter den Fahrschülern.2. Überlege, was diese Feststellung aussagt.1 Lösung der ArbeitsaufträgeWir berechnen die geforderten Wahrscheinlichkeiten mit Hilfe der allgemeinen Definitionder Wahrscheinlichkeit:P (Junge) = 8371194 = 0,70%P (Junge) F ahrs = 335477 = 0,70%In praktischen Untersuchungen tritt häufig die Frage auf, ob sich durch Eintreten desEreignisses A die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses B ändert. In unserem Beispiel habenwir gesehen, dass das Ereignis Fahrschüler offensichtlich keine Auswirkungen auf dasEreignis der Schüler ist ein Junge hat. In diesem Fall haben wir erkannt, dass die Wahrscheinlichkeitdes Ereignisses Junge gleich der bedingten Wahrscheinlichkeit Junge unterder Bedingung Fahrschüler ist, als Gleichung formuliert:Diese Eigenschaft hat einen neuen Namen:P (Junge) F ahrs = P (Junge)DefinitionGilt für zwei Ereignisse über dem gleichen Ergebnisraum ΩP B (A) = P (A)so sind die Ereignisse A und B über Ω stochastisch unabhängig.12

Repetitorium der Mathematik — Teil 22 Der spezielle Multiplikationssatz für unabhängige EreignisseBeispiel zur EinführungIn einem Verarbeitungsbetrieb für Metall sind 60 Männer und 40 Frauen angestellt. 18Männer nutzen jeden Morgen den Werksbus, von den Frauen benützen ihn x. Aus demBetrieb wird zufällig eine Person ausgewählt. Überprüfe, unter welcher Bedingung die EreignisseMann und Werksbus stochastisch unabhängige Ereignisse sind.Lösung mit der VierfeldertafelMan löst diese Aufgabe mit einer Vierfeldertafel:M M SummeW 18 x 18 + xW 42 40 − x 82 − xSumme 60 40 100Aus der Vierfelder- Tafel kann man nun die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis Mannermitteln:P (M) = 60100 = 0,60Im nächsten Schritt ist nun die bedingte Wahrscheinlichkeit zu ermitteln, dass einePerson männlich ist und den Werksbus benützt. Nach unserer Definition aus dem letztenAbschnitt ist diese zu berechnen über:Mit Hilfe der Vierfeldertafel ergibt sich:P W (M) = P (M ⋂ W )P (W )P W (M) =1810018+x100= 1818 + xWenn die beiden Ereignisse stochstisch unabhängig sind, dann muss gelten:P W (M) = P (M)1818 + x = 0,60Löst man nun diese Bestimmungsgleichung nach x auf, dann erhält man für xx = 12Im Fall der stochstischen Unabhängigkeit der Ereignisse gilt also:13

Repetitorium der Mathematik — Teil 2M M SummeW 18 12 30W 42 28 70Summe 60 40 100ArbeitsauftragBerechne P (M) · P (W ) und vergleiche das Ergebnis mit P (M ⋂ W ). Wie kannst du mitHilfe dieses Ergebnisses die stochastische Unabhängigkeit noch ausdrücken:Lösung des ArbeitsauftragsAus der Viefeldertafel lassen sich nun die gewünschten Wahrscheinlichkeiten berechnen:P (M) = 60100 = 0,60P (W ) = 30100 = 0,30Somit erhält man als Ergebnis für die Produktwahrscheinlichkeit:P (M) · P (W ) = 0,60 · 0,30 = 0,18Mit Hilfe der Vierfeldertafel gilt desweiteren:P (M ⋂ W ) = 18100 = 0,18Für die beiden stochastisch unabhängige Ereignisse gilt offensichtlich:P (M ⋂ W ) = P (M) · P (W )Damit kann man die stochstische Unabhängigkeit mit Hilfe der Produktwahrscheinlichkeitfolgendermaßen beschreiben:DefinitionZwei Ereignisse A und B sind über dem gleichen ErgebnisraumΩ stochastisch unabhängig, wenn giltP (A ⋂ B) = P (A) · P (B)Diesen Zusammenhang nennt man speziellen Multiplikationssatz.14

Repetitorium der Mathematik — Teil 23 Aufgaben1. Bei einer Verkehrskontrolle wird von der Polizeistreife Loisach 12 insgesamt an derLoisachbrücke das Fahrverhalten von 50 Fahrzeuglenkern überprüft. Dabei werdendie Fahrzeughalter ermittelt, die schneller als 50 km fahren und die Fahrzeughalterhangehalten, welche die Ampel bei rot passiert haben. Ganz regelkonform haben sichdabei 42 Fahrzeuglenker verhalten. Zwei Fahrzeuglenker hatten unter Einhaltungder Höchstgeschwindigkeit die rote Ampel übersehen. Insgasamt hielten 47 vonallen untersuchten Kraftfahrzeuglenkern an der roten Ampel.a) Stelle das Ergebnis der Verkehrsüberwachung anhand einer Vier- Felder- Tafeldar.b) Ermittle die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein vor der roten Ampel haltendesFahrzeug zu schnell unterwegs war.c) Untersuche, ob die beiden von der Polizei untersuchten Ereignisse voneinanderstochastisch unabhängig sind.15

7 Zufallsgrößen1 EinführungRepetitorium der Mathematik — Teil 2Bei einem Glücksspiel wird nacheinander dreimal eine Münze geworfen. Vor dem Spielmuss ein Spieler einen Einsatz von 10 ct leisten. Wird dreimal Kopf gewürfelt, bekommtder Spieler 20 ct ausbezahlt, wird zweimal Zahl gezogen, dann erhält der Spieler 15 ct. Inallen anderen Fällen wird dem Spieler nichts ausgezahlt. Ziel ist es nun herauszufinden,mit welcher Wahrscheinlichkeit ein Spieler einen Gewinn oder einen Verlust erzielt.Bei diesem Spiel ergeben sich folgende Gewinne bzw. Verlust:• Verlust: −10 ct.• Gewinn: 5 ct• Gewinn: 10 ctDer Ergebnisraum des zugehörigen Zufallsexperiment lautet:Ω = {(k|k|k); (z|k|k); (k|z|k); (k|k|z); (z|z|k); (z|k|z); (k|z|z); (z|z|z)}Für den Verlust ergibt sich folgende günstige Ergebnisse:V = {(z|z|z); (z|k|k); (k|z|k); (k|k|z)}Für den ersten Gewinn ergeben sich folgende günstige Ergebnisse:A = {(z|z|k); (z|k|z); (k|z|z)}Für den zweiten Gewinn ergibt sich dann nachstehende günstige Ergebnisse:B = {(k|k|k)}Damit ergeben sich die folgenden Wahrscheinlichkeiten:P (V ) = 1 2P (A) = 3 8P (B) = 1 8Damit man die eingangs gestellte Aufgabe auch formal beschreiben kann, führt man diefolgenden Begriffe ein:Unter einer Zufallsgröße versteht man eine Zuordnung, die jedemErgebnis aus dem Ergebnisraum Ω eine ganzzahlige Zahl zuordnet.16

Repetitorium der Mathematik — Teil 2In unserem Beispiel ordnet die Zufallsgröße Gewinn jedem Ergebnis aus dem Ergebnisraumdie Zahlen −10, 5 und 10 zu. Jeder dieser Zahlen wird nun eine Wahrscheinlichkeitzugeordnet, die wir oben berechnet haben: Diese Zuordnung erhält ebenfalls einen Namen:Die Wahrscheinlichkeitsverteilung ordnet jeder Zahl einer Zufallsgrößeeine Wahrscheinlichkeit zu.Die Wahrscheinlichkeitsverteilung kann man entweder in einer Tabelle darstellen:X -10 5 101 3 1P (X = x i )2 8 8Man kann diese Tabelle in einem sogenannten Hiostogramm ebenfalls veranschaulichen:Dabei wird jeweils die bei den entsprechenden Zufallszahlen die Wahrscheinlichkeit alssenkrechte Linie dargestellt.2 Die VerteilungsfunktionKehrt man zu dem vorigen Beispiel zurück, dann kann man sich die Frage stellen, mitwelcher Wahrscheinlichkeit man höchstens 5 ct erzielt.P (X < 5 ct) = 1 2 + 3 8 = 7 8Die oben genannte Fragestellung beinhaltet ebenfalls eine Zuordnung einer Wahrscheinlichkeit.Der Fragestellung entsprechend wird jeder Zufallszahl die Summe der Einzelwahrscheinlichkeitenzugeordnet. Exakt wird dies durch folgende Definition wiedergegeben:17

Repetitorium der Mathematik — Teil 2Unter der Verteilungsfunktion F (x) versteht man die eindeutigeZuordnung, die jedem Wert der Zufallgröße die WahrscheinlichkeitP (X < x) zuordnet. Dabei gilt:P (X < x) = ∑P (X = x i )x i

Repetitorium der Mathematik — Teil 24 Varianz und Streuung einer ZufallsgrößeIn diesem Abschnitt steht die Frage im Vordergrund, in welchen Wert die meisten Werteeiner Zufallsgröße liegen. Aufgrund der Definition des Erwartungswertes liegt es nahe,dass dieser Bereich symmetrisch zu dem Erwartungswert ist: Man kann die untere Grenzeund die obere Grenze dieses Bereichs durch eine Differenz zum Erwartungswert derZufallsgröße ermitteln. Um das Vorzeichen dieser Differenz zu eleminieren, wird dieseDifferenz quadriert. Die Wahl des Quadrat dieses Abstandes hat noch zudem denVorteil, dass es größere Abweichungen stärker gewichtet. Damit dem Expandieren desStreuungsmaßes bei großen n vorgebeugt werden kann, wird es durch die Anzahl n derWerte der Zufallsgröße dividiert. Das so konstruierte Maß heißt Varianz der Zufallsgrößeund wird exakt wie folgt definieriert:Mit X sei eine Zufallsgröße gegeben, die einen Wertebereich x 1 , x 2bis x n hat. Dann ist die Varianz dieser Zufallsgröße gegeben durch:n∑V AR(X) = (x i − E(X)) 2 · P (X = x i )i=0Die Wurzel aus der Varianz wird mit der Standardabweichung σbezeichnet:√σ = V AR(X)5 Musteraufgabe zum Themenkomplex Zufallsgrößen• Bei einem Stadtfest stellt ein sozial- caritativer Ortsverein eine Lostrommel auf.Dabei darf für ein Entgeld von 1,00 Eur ein Teilnehmer aus der Lostrommel ein Losziehen. Die Lose sind mit 1 bis 5 durchnummeriert und geben die Preiskategoriean:– Kategorie 1: Der Spieler gewinnt 8,00 Eur– Kategorie 2: Der Spieler gewinnt 6,00 Eur– Kategorie 3: Der Spieler gewinnt einen gesponserten Preis, der dem Vereinnichts kostet.– Kategorie 4: Der Spieler gewinnt einen gesponserten Preis, der dem Verein1,00 Eur einbringt.– Kategorie 5: Der Spieler zieht eine Niete und geht leer aus.In der Lostrommel befinden sich 2 Lose mit der 5,je ein Los mit 3 und 2,fünf Losemit der 4 und ein Los mit der 1. Die Zufallsgröße X bezeichnet den Gewinn desVereins bei dem Lostrommelstand.19

Repetitorium der Mathematik — Teil 21. Bestimme den durchschnittlich zu erwartetenden Gewinn pro Spiel des Vereins.2. Ermittle, in welchem Intervall um diesen durchschnittlichen Gewinn die meistensErgebnisse liegen.• Lösung:1. Stelle zunächst die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsgröße auf:Kategorie 1 2 3 4 5Gewinn des Vereins in Euro -7 -5 1 21 1 3 5P (X = x i )10 10 10 10Der durchschnittlich erwartete Gewinn ist eine andere Formulierung für dasErmitteln des Erwartungswertes der Zufallsgröße:E(X) = −7 ·110 + (−5) · 110 + 1 · 310 + 2 · 510E(X) = 0,10 Eur2. Die zweite Frage wird durch die Ermittlung der Standardabweichung beantwortet:V AR(X) = (−7 − 0,1) 2 · 110 + (−5 − 0,1)2 · 110 + (1 − 0,1)2 · 310 + (2 − 0,1)2 · 510σ =V AR(X) = 9,69√V AR(X) =Damit lässt sich das Intervall angeben zu√9,69 = 3,11[0,10 − 3,11; 0,10 + 3,11][−3,01 Eur; 3,41 Eur]20

Repetitorium der Mathematik — Teil 28 Das Bernoulli- Experiment und dieBinomialverteilung1. Bei einer Fertigung von Energiesparlampen ist die Wahrscheinlichkeit einer defektenSparlampe 0,05. Jeder Fertigungsserie werden nun die ersten 5 Energiesparlampenentnommen.a) Stelle einen geeigneten Ergebnisraum aufb) Stelle den Ereignisraum auf für das Ereignis, dass unter den 5 genau 2 defekteGlübirnen sind.c) Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass unter den ersten 5 Glühbirnen 2 defekteWerkstücke sich befinden.Lösung der Arbeitsaufträgea) Das Zufallsexperiment hat grundsätzlich nur zwei Ergebnisse: Die Glühbirneist defekt. Oder die Glübirne leuchtet und ist in Ordnung. Damit ist eintauglicher ErgebnisraumΩ = {0; 1}DefinitionEin Zufallsexperiment heißt Bernoulli- Experiment, wenn esnur zwei Ergebnisse besitzt. Dabei hat das Ergebnis 1 den Namentreffer und 0 wird mit Niete bezeichnet. Die Trefferwahrscheinlichkeitwird mit p bezeichnet, die Nietenwahrscheinlichkeit mit q.Zwischen den beiden besteht die Beziehung:q = 1 − pEin Zufallsexperiment, dass aus n stochastisch unabhängig durchgeführtenBernoulliexperiment besteht, heißt Bernoullikette .b) Bestimmung eines Ereignisraums für das Ereignis genau zwei defekte Birnen.Es handelt sich nach obenstehender Definition um eine Bernoulli- Kette.21

Repetitorium der Mathematik — Teil 21 2 2 4 51 1 0 0 00 1 1 0 00 0 1 1 00 0 0 1 11 0 1 0 00 1 0 1 00 0 1 0 11 0 0 1 00 1 0 0 11 0 0 0 1Aus der Tabelle erkennt man, dass es für das Ergebnis insgesamt(510 =2)verschiedene Kombinationen gibt.c) Da die einzelnen Durchführungen des Bernoulli- Experiments stochastischunabhängig sind gilt für das Eintreten der ersten Möglichkeit die folgendeWahrscheinlichkeit:P (11000) = 0,05 · 0,05 · 0,95 · 0,95 · 0,95 = 0,05 2 · 0,95 3Die Wahrscheinlichkeit der weiteren Möglichkeiten ist – wie man sich leichtüberzeugt– gleich groß. Damit aber gilt insgesamt:(5P (Zwei defekt) = 10 · 0,05 2 · 0,95 3 =2)· 0,05 2 · 0,95 3Sucht man nun in einer Bernuollikette der Länge n k Treffer, dann erhält manfür dieses Ereignis die folgende Wahrscheinlichkeit:Satz 1Ein Bernoulli- Experiment wird n- Mal durchgeführt. DieDurchführungen sind unabhängig. Dann erhält man als Wahrscheinlichkeitfür k Treffer den folgenden Term(nP (k) =k)· p k · (1 − p) n−k22

Repetitorium der Mathematik — Teil 21 Erwartungswert beim Bernuolli- ExperimentZur EinführungEine Zahnarztpraxis behandelt 5 Patienten mit einem Antiseptikum. Dem Arzt ist bekannt,dass 1 Patienten unerwünschte Nebenwirkungen aufweisen, die eine Nachbehandlungerforderlich6machen.1. Mit wie vielen Nachbehandlungen muss der Zahnarzt rechnen.2. Berechne das Produkt n · p und vergleiche es mit dem Ergebnis von der vorangegangenenTeilaufgabe. Was fällt dir dabei auf?LösungUm die durchschnittliche Anzahl von Patienten, bestimmen wir mit Hilfe der stochastischenTabellen die Wahrscheinlichkeit für 0 bis 10 Treffer:k 5 4 3 2 1 0P(k) 0,0001 0,0032 0,0322 0,1608 0,4019 0,4019Das arithmetische Mittel ist dies Summe der einzelnen Treffer multipliziert mit derWahrscheinlichkeit der einzelnen Treffer.k = 5 · 0,001 + 4 · 0,0032 + 3 · 0,0322 + 2 · 0,1608 + 1 · 0,4019 + 0 · 0,4019Das Ergebnis ausgewertet er gibt für unseren Fall:k = 0,83Vergleichen wir das Produkt 5 · 16 : 5 · 16 = 5 6 = 0,83Man erkennt, dass bis auf die Rundungsfehler die durch die stochastischen Tabellengemacht wurde, eine Übereinstimmung besteht.Der Erwartungswert der Bernoullikette ist die Summe der Produkteaus Trefferanzahl und Wahrscheinlichkeit für die Trefferanzahl.Er wird mit dem griechischen µ bezeichnet. Der Erwartungswertder Bernoullikette hängt folgendermaßen mit Kettenlänge und derTrefferwahrscheinlichkeit zusammen:µ = n · p23

Repetitorium der Mathematik — Teil 22 Die Länge einer Bernoulli- KetteBeispiel zur EinführungEine Firma kauft Massenartikel ein. Der Hersteller gibt den Ausschussanteil mit einerhöchsten 0,5% an. Der Einkäufer will nun die Glaubhaftigkeit des Herstellers überprüfen.Er greift aus der Produktion zufällig eine gewisse Anzahl des gewünschten Artikelheraus. Ist ein Werkstück defekt, verweigert er die Annahme der Lieferung.Berechne wie viele Artikle der Einkäufer mindestens prüfen muss, damit er mit eine Mindestwahrscheinlichkeitvon 98% die richtige Entscheidung trifft.LösungEs handelt sich um eine Bernoullikette mit folgenden Vereinbarungen:• Der Treffer ist ein defektes Werkstück• Trefferwahrscheinlichkeit ist 0,5%Zur Lösung des Problems ist folgendes zu bemerken:• Der Kontrolleur erzielt keinen Treffer: k = 0• Die Wahrscheinlichkeit dafür soll 98% betragen.Mit Hilfe der Bernoulli- Formel ergibt sich deshalb der nachstehende Ansatz:( )n0,98 = · 0,005 0 · 0,995 n0Dies vereinfacht sich nach Anwendung der Fakultätsregeln und den Potenzgesetzenzu0,98 = 0,995 nZieht man nun auf beiden Seiten den Logarithmus ln auf beiden Seiten, dann erhältmanln(0,98) = n · ln(0,995)n = ln(0,98)ln(0,995)Als Zahlenwert ergibt sich nach Ausziehen des Logarithmuses:n = 4,03Damit muss der Einkäufer mindestens 5 Werkstücke prüfen.24

9 Testen von Hypothesen1 Der einseitige SignifikanztestZur EinführungRepetitorium der Mathematik — Teil 2Die Brüder Fritzi und Egon haben unterschiedliche Meinungen über die Anzahl derKunden einer benachbarten Tankstelle, die bleifreies Superbenzin tanken. Fritzi behauptet,dass dies 20% tun, Egon hingen meint, dass die Schätzung seines Bruders zu geringist. Sie beschließen die nächsten 100 Kunden zu beobachten. Falls höchstens 27Kunden Super tanken soll entscheiden sie sich für die Annahme von Fritzis Hypothese.1. Bestimme wie hoch die Wahrscheinlichkeit ist, dass Fritzi recht hat, obwohl dasTestergebnis für die Ablehnung von Fritzis Hypothese spricht.2. In Wahrheit liegt die Wahrscheinlichkeit für das Tanken von Superbenzin bei 35%.Bestimme, wie hoch die Wahrscheinlichkeit ist, dass das Testergebnis trotzdem fürFritzis Annahme spricht.2 Theoretischer HintergrundEs handelt sich bei der vorangestellten Aufgabe um einen statistischen Test.Ein statistischer Test ist ein Entscheidungsverfahren darüber, obdie Daten einer Stichprobe einer vorgegebenen Hypothese über dieunbekannte Grundgesamtheit entsprechen oder widersprechen.Fällt die Entscheidung zwischen Annahme oder Ablehnung einer Hypothese , so heißtder Test einseitiger Signifikanztest. An unserem Beispiel kann man erkennen, was beieinem Signifikanztest alles beachtet werden muss:• Man beobachtet 100 Fahrzeuge, d.h. die Länge n der Stichprobe wird festgelegt.• Man muss die Hypothese formulieren:– H 0 : Es tanken 20% Superbenzin• Man muss eine Entscheidungsregel angeben: H 0 gilt, wenn höchtsens 27 Autos Supertanken. Durch die Entscheidungsregel wird ein Annahmebereich A festgelegt,in welchem H 0 zutrifft. Im Ablehnebreich A trifft dann H 0 nicht zu.Die mit der Entscheidungsregel verknüpften möglichen Fehlentscheidungen können danngemäß der folgenden Prozedur bestimmt werden.25

Repetitorium der Mathematik — Teil 2• H 0 trifft zu.1. Das Testergebnis liegt im Annahmebereich A. Es handelt sich um die richtigeEntscheidung, die den Fachnamen Sicherheit des Urteils erhält.2. Das Testergebnis liegt im Ablehnebereich A. Es handelt sich dann um denFehler erster Art . Man kann den Fehler erster Art für unser Beispiel nununmittelbar berechnen: P 1 (xɛ A) ist gesucht:P 1 (xɛ A) =100 ∑k=28B (100; 0,20; k) = 1 −27∑k=0B (100; 0,20; k)P 1 (x ɛ A) = 1 − 0,96585 = 0,03415 = 3,42%• H 0 trifft nicht zu. Auch hier sind nun wieder zwei Szenarien vorstellbar:1. Das Testergebnis liegt in A. Auch hier handelt es sich dann um die richtigeEntscheidung.2. Das Testergebnis liegt im Annahmebereich A. Hier handelt es sich um diezweite Fehlentscheidung, die man mit Fehler zweiter Art bezeichet. Auchdiese kann leicht berechnet werden: Gesucht wird hier P 2 (xɛ A). Mit Hilfe derBernoullikette kann man nun rechnen:P 2 (xɛ A) =27∑k=0Kurze Veranschaulichung in Form einer TafelB (100; 0,35; k) = 0,05581 = 5,81%H 0 H 0xɛ A statistische Sicherheit Fehler zweiter Artxɛ A Fehler erster Art richtige EntscheidungDer Fehler erster Art wird auch als Signifikanzniveau bezeichnet.3 Bestimmung einer EntscheidungsregelBeispielEin großer Automobilhersteller will überprüfen, wie weit sich die Bevölkerung mit Elektroautomobilenangefreundet hat. Die Konzernleitung geht davon aus, dass sich heutehöchstens 20% der Bevölkerung den Erwerb eines Elektromobils als Alternative zumkonventionell betriebenen Fahrzeug vorstellen können. Um das Kundenklima in dieserFrage zu testen, führt der Konzern eine Befragung von 100 Personen durch. Wiemuss die Entscheidungsregel lauten, wenn das Signifikanzniveau des Test 5,0% betragensoll?26

Repetitorium der Mathematik — Teil 2Lösung1. Allgemeine Formulierung des Annahme und Ablehnebereichs. Weil die Konzernleitungvon höchstens 20% Akzeptanz ausgeht, istA = {0, 1, 2, ..., k}A = {k + 1, k + 2, ..., 100}2. Mit Hilfe des Siginfikanzniveaus ist bekannt, dass der Fehler erste Art maximal5,0% beträgt. Damit kann man mit der Definition des Fehlers erster Art einen Ansatzaufstellen, mit dessen Hilfe und dem Tabellenwerk der Parameter k bestimmtwerden kann:P (xɛ A) < 0,05Mit Hilfe der Binomialverteilung kann man die linke Seite der Ungleichung ersetzendurch:F0,20(100) − F0,20(k) 100 < 0,051 − F 1000,20(k) < 0,05F 1000,20(k) > 0,95 ⇒ k = 273. Wörtliche Formulierung der Entscheidungsregel: Wenn höchstens 27 Personen einElektromobil erwerben möchten, dann wird die Hypothese der Konzernleitung alswahr angenommen.4. Angabe des Annahme- und Ablehnebereichs:A = {0, 1, 2, 3, ..., 27}A = {28, 29, 30, ..., 100}5. Hinweis: Mit der Summenschreibweise sieht der Ansatz unter 2. wie folgt aus:100 ∑i=k+1B(100, 0,20, i) < 0,05k∑1 − B(100, 0,20, i) < 0,05i=0Dann wiederum bei analogen Entwicklung ergibt sich k = 2727

Repetitorium der Mathematik — Teil 24 Zusammenfassung über den einseitigen SignifikanztestBei einem einseitigen Signifikanztest müssen die folgenden Schritte bedachtwerden:• Bestimme die Länge n für die Stichprobe.• Formuliere die Nullhypothese H 0 .• Lege einen Annahmebereich A und einen Ablehnebereich A fest.• Bestimme den Fehler erster Art α = P 1 (A).• Bestimme den Fehler zweiter Art β = P 2 (A).• Die statitische Sicherheit für H 0 ist 1 − α• Bei bekannten Signifikanzniveau ist die Entscheidungsregel zu bestimmen.28