Diskrete Strukturen und Logik: Relationen - Matthias Springer

2/15InhaltDiskreteStrukturenund Logik:RelationenKarthesischesProduktDefinition derRelationAussagen aufRelationenEigenschaftenvon RelationenOperationenauf RelationenÄquivalenzrelationenZerlegung /Partition1 Karthesisches Produkt2 Definition der Relation3 Aussagen auf Relationen4 Eigenschaften von Relationen5 Operationen auf Relationen6 Äquivalenzrelationen7 Zerlegung / Partition

5/15Beispiele für RelationenDiskreteStrukturenund Logik:RelationenKarthesischesProduktDefinition derRelationAussagen aufRelationenEigenschaftenvon RelationenOperationenauf RelationenÄquivalenzrelationenZerlegung /Partition1 Relation zu Lehrveranstaltungen:Professor = {G, M, W },Vorlesung = {DS, MOD1, MOD2, GdS},Veranstaltung ⊆ Professor × Vorlesung= {(G, MOD1), (G, MOD2), (M, DS), (W , GdS)}2 Wurzelfunktion:M 1 = R + , M 2 = R, R ⊆ M 1 × M 2 ,R = {(x, y) ∈ M 1 × M 2 | y = √ x}3 Nachfolgerrelation auf den natürlichen Zahlen:M 1 , M 2 ∈ N,N = {(x, y) ∈ N 2 | y = x + 1}

6/15Aussagen auf RelationenDiskreteStrukturenund Logik:RelationenKarthesischesProduktDefinition derRelationAussagen aufRelationenEigenschaftenvon RelationenOperationenauf RelationenRelationen sind Mengen.R ⊆ S ≡ ∀(x, y) : ((x, y) ∈ R ⇒ (x, y) ∈ S)R = S ≡ R ⊆ S ∧ S ⊆ RÄquivalenzrelationenZerlegung /Partition

7/15Eigenschaften auf RelationenDiskreteStrukturenund Logik:RelationenKarthesischesProduktDefinition derRelationAussagen aufRelationenEigenschaftenvon RelationenOperationenauf RelationenÄquivalenzrelationenZerlegung /PartitionReflexivität: ∀a ∈ A : (a, a) ∈ RSymmetrie: ∀a, b ∈ A : (a, b) ∈ R ⇒ (b, a) ∈ RAntisymmetrie:∀a, b ∈ A : (a, b) ∈ R ∧ (b, a) ∈ R ⇒ a = bTransitivität:∀a, b, c ∈ A : (a, b) ∈ R ∧ (b, c) ∈ R ⇒ (a, c) ∈ RNacheindeutigkeit:∀a, b, c ∈ A : (a, b) ∈ R ∧ (a, c) ∈ R ⇒ b = cAlternativität: ∀a, b ∈ A, a ≠ b : (a, b) ∈ R ⇔ (b, a) ∉ RAssymmetrie: ∀a, b ∈ A : (a, b) ∈ R ⇒ (b, a) ∉ R

8/15Beispiele für RelationenDiskreteStrukturenund Logik:RelationenKarthesischesProduktDefinition derRelationAussagen aufRelationenEigenschaftenvon RelationenR ⊆ N 2 , R = {(1, 2), (2, 3), (1, 3)} ist antisymmetrischund transitiv.R = {(x, y) ∈ R 2 | x 2 + y 2 = 1} ist symmetrisch.Operationenauf RelationenÄquivalenzrelationenZerlegung /Partition

9/15Operationen auf RelationenDiskreteStrukturenund Logik:RelationenKarthesischesProduktDefinition derRelationAussagen aufRelationenEigenschaftenvon RelationenOperationenauf RelationenMengenoperationen: ∪, ∩, ×, AInverse Relation: R −1 = {(b, a) | (a, b) ∈ R} ⊆ B × AInneres Produkt: Sei R ⊆ A × B, S ⊆ C × DR ⊗ S = (A × C) × (B × D) = {((a, c), (b, d)) | aRb ∧ cSd}Kringel-Operator: R ◦ S = {(a, c) | ∃b : aRb ∧ bRc}ÄquivalenzrelationenZerlegung /Partition

10/15ÄquivalenzrelationenDiskreteStrukturenund Logik:RelationenKarthesischesProduktDefinition derRelationAussagen aufRelationenEigenschaftenvon RelationenOperationenauf RelationenÄquivalenzrelationenZerlegung /PartitionEine Relation R ist Äquivalenzrelation, wenn sie reflexiv,symmetrisch und transitiv ist.Beispiel: Restklassen modulo m:R m = {(a, b) ∈ Z 2 | m|(a − b)}Reflexivität: Jede Zahl m teilt 0Symmetrie: m|x ⇒ m| − xTransitivität: m|(a − b) ∧ m|(b − c)⇒ ∃k 1 : a − b = k 1 · m ∧ ∃k 2 : b − c = k 2 · m⇒ ∃k 1 : a − b = k 1 · m ∧ ∃k 2 : b = k 2 · m + c⇒ ∃k 1 , k 2 : a − k 2 · m − c = k 1 · m⇒ ∃k 1 , k 2 : a − c = (k 1 + k 2 ) · m⇒ m|(a − c)

11/15Zerlegung / PartitionDiskreteStrukturenund Logik:RelationenKarthesischesProduktDefinition derRelationAussagen aufRelationenEigenschaftenvon RelationenOperationenauf RelationenÄquivalenzrelationenZerlegung /PartitionZ ⊆ P(A) ist Zerlegung einer Menge A ≠ ∅ genau dann, wennA = ⋃ Z∅ ∉ ZM 1 , M 2 ∈ Z : M 1 ≠ M 2 ⇒ M 1 ∩ M 2 = ∅Sei A ≠ ∅ eine Menge. Jede Äquivalenzrelation über A definierteine Zerlegung von A eineindeutig.

12/15Beispiel: Zerlegung in ÄquivalenzklassenDiskreteStrukturenund Logik:RelationenKarthesischesProduktDefinition derRelationAussagen aufRelationenEigenschaftenvon RelationenOperationenauf RelationenR m = {(a, b) ∈ Z 2 | m|(a − b)}Z i = {k · m + i | k ∈ Z} = [i] RmZ = {Z i | 0 ≤ i < m}Beispiel: m = 7, Z 0 = {0, −7, 7, 14, −14, . . .}[3] R7 ist Äquivalenzklasse. [3] R7 = [10] R7 = . . .. 3 und 10sind Repräsentanten der Äquivalenzklasse.ÄquivalenzrelationenZerlegung /Partition

13/15Beispiel: Beweise auf Äquivalenzrelationen (1)DiskreteStrukturenund Logik:RelationenKarthesischesProduktDefinition derRelationAussagen aufRelationenEigenschaftenvon RelationenOperationenauf RelationenÄquivalenzrelationenZu zeigen: Sind R, S Äquivalenzklassen über A, dannauch R ∩ S.Reflexivität: ∀a ∈ A : (a, a) ∈ R ∧ (a, a) ∈ S⇒ ∀a ∈ A : (a, a) ∈ (R ∩ S)Symmetrie: (a, b) ∈ (R ∩ S)⇒ (a, b) ∈ R ∧ (a, b) ∈ S⇒ (b, a) ∈ R ∧ (b, a) ∈ S⇒ (b, a) ∈ (R ∩ S)Zerlegung /Partition

14/15Beispiel: Beweise auf Äquivalenzrelationen (2)DiskreteStrukturenund Logik:RelationenKarthesischesProduktDefinition derRelationAussagen aufRelationenEigenschaftenvon RelationenOperationenauf RelationenTransitivität: (a, b) ∈ (R ∩ S) ∧ (b, c) ∈ (R ∩ S)⇒ (a, b) ∈ R ∧ (a, b) ∈ S ∧ (b, c) ∈ R ∧ (b, c) ∈ S⇒ (a, b) ∈ R ∧ (b, c) ∈ R ∧ (a, b) ∈ S ∧ (b, c) ∈ S⇒ (a, c) ∈ R ∧ (a, c) ∈ S⇒ (a, c) ∈ (R ∩ S)ÄquivalenzrelationenZerlegung /Partition

15/15QuellenDiskreteStrukturenund Logik:RelationenKarthesischesProduktDefinition derRelationAussagen aufRelationenEigenschaftenvon RelationenMeinel, C.; Mundhenk, M.: Mathematische Grundlagen inder Informatik. Mathematisches Denken und Beweisen.Eine Einführung. 4. Auflage. Wiesbaden:Vieweg+Teubner, 2009Operationenauf RelationenÄquivalenzrelationenZerlegung /Partition