Geometrische Wahrscheinlichkeit Aufgaben 1. x und y seien ... - gxy.ch

Geometrische WahrscheinlichkeitAufgaben1. x und y seien zwei uniform (gleichförmig) verteilte und unabhängige Zufallszahlenim Intervall I = [0,1). Berechne die Wahrscheinlichkeit folgender Ereignisse:(a) x = y(b) y ≤ x(c) y < x(d) y > x 2(e) x+y ≤ 1(f) 1 2 ≤ x·y2. Jemand begibt sich auf eine mehrere Monate dauernde Reise und lässt in einemunbewohntenZimmereineaufgezogeneWanduhrzurück,dienunwährendderDauerder Reise nicht mehr aufgezogen wird und unbeobachtet stillsteht. Wie gross ist dieWahrscheinlichkeit, dass die Uhr, wenn er von der Reise zurückkommt, eine Zeitangibt, die von der richtigen Zeit um höchstens 6 Minuten abweicht?3. Auf der innern Seite des Bodens einer Kiste ist ein Kreis K, dessen Radius 7.5cmmisst, gezeichnet; der Kistenboden misst 30cm auf 60cm. Man legt ein Fünffrankenstück(Durchmesser 3cm) in die Kiste und schüttelt die Kiste längere Zeit so,dass sich das Geldstück auf dem Kistenboden hin und her bewegt. Wie gross ist dieWahrscheinlichkeit, dass sich das Geldstück ganz im Innern des Kreises befindet,wenn man mit Schütteln aufhört?4. Man wirft ein Geldstück von 2cm Durchmesser zufällig auf ein Schachbrett, dessenFelder eine Seitenlänge von 4cm haben. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dasses ganz in einem schwarzen Feld liegt? (Dabei betrachten wir nur die Würfe, beidenen das Geldstück ganz innerhalb des Schachbrettes von 32cm Seitenlänge liegt.)

Geometrische WahrscheinlichkeitLösungen+1. (a) P(x = y) = 01y00 x1(b) P(y ≤ x) = 1 21y00 x1(c) P(y < x) = 1 21y(d) P(y > x 2 ) = 1−∫ 10x 2 dx010 x1[ ] 1 1= 1−3 x3 0y= 1− 1 3 = 2 300 x1(e) P(x+y ≤ 1) ⇔ P(y ≤ 1−x) = 1 21y00 x11

((f) P x·y ≤ 1 )2P⇔ P(y ≤ 1 )2x(y ≤ 1 ) ∫ 11= 0.5+2x 0.5 2x dx+P(x = 0)} {{ }01y= 0.5+ 1 2[lnx] 10.5= 0.5+2( 1 0−ln0.5) = 0.847 0 x102. Geht man von einer Uhr aus, welche die Zeitvon 0 Uhr bis 12 Uhr anzeigt, so liegen diegünstigen“ Zeitpunkt-Paare auf einem Streifenum die Diagonale, der wegen der 12-Uhr-”Grenze an beiden Enden um zwei Dreieckeergänzt werden muss. Somit:P(Abweichung ≤ 6min) = 12min·720min720min·720min12hHeimkehrddd= 1 600h0hStillstand12hd3.Das Geldstück wird mit seinen Mittelpunkt M identifizert.Flächeninhalt der günstigen Landeorte für M: g = π ·(7.5−1.5) 2 ≈ 113.10cm 2Flächeninhalt der möglichen Landeorte für M: m = (30−3)(60−3) = 1539cm 2p = g m ≈ 0.0734. Das Geldstück wird mit seinen Mittelpunkt M identifizert.Flächeninhalt der günstigen Landeorte für M: g = 32(4−2)(4−2) = 128cm 2Flächeninhalt der möglichen Landeorte für M: m = (32−2)(32−2) = 900cm 2p = g m ≈ 0.142 2