Grundkurs Informatik Aufgabensammlung mit Lösungen Teil 1

1-86 Aufgaben und Lösungen
f(x1, x2,... xn) = [ x1 f(0, x2, x3,... xn)] [x1 f(1, x2, x3,... xn)]
Mehrmalige Anwendung dieses Satzes liefert eine eindeutige Darstellung der Funktion
f(x1, x2,... xn), die man als Boole’sches Normalform-Theorem bezeichnet. Daraus lässt
sich direkt die Darstellung von Schaltfunktionen mit Mintermen in der disjunktiven Normalform
herleiten. Durch Negation ergibt sich eine alternative Darstellung durch Maxterme in
der konjunktiven Normalform.
h) Aus dem Boole’schen Normalform-Theorem lässt sich die folgende, als disjunktive Normalform
bekannte Darstellung einer Schaltfunktion aus deren Wahrheitstabelle herleiten:
f(x1, x2,... xn) = [ x1 x2 ... xn f(1,1,...1,1)]
[ x1 x2 ... xn f(0,1,...1,1)]
[ x1 x2 ... xn f(1,0,...1,1)]
.
.
.
[ x1 x2 ... xn-1 xn f(0,0,...0,1)]
[ x1 x2 ... xn-1 xn f(0,0,...0,0)]
Die durch Oder verknüpften Terme bezeichnet man als Minterme mi. Für eine n-stellige
Funktion kann es höchstens k=2 n Minterme mi bis mk geben, von denen aber im Allgemeinen
viele verschwinden werden, nämlich genau diejenigen mit f(x1, x2,... xn) = 0.
Äquivalent zu der disjunktiven Normalform ist die konjunktive Normalform, die aus der
disjunktiven Normalform durch Negation hervorgeht:
f(x1, x2,... xn) = [ x1 x2 ... xn f(1,1,...1,1)]
[ x1 x2 ... xn f(0,1,...1,1)]
[ x1 x2 ... xn f(1,0,...1,1)]
.
.
.
[ x1 x2 ... xn-1 xn f(0,0,...0,1)]
[ x1 x2 ... xn-1 xn f(0,0,...0,0)]
Die durch Und verknüpften Terme der konjunktiven Normalform werden als Maxterme Mi
bezeichnet. Ist eine Schaltfunktion durch eine Wahrheitstabelle gegeben, so lassen sich
disjunktive und konjunktive Normalform leicht angeben.
Zur disjunktiven Normalform (Minterme) tragen alle Kombinationen der Argumente bei, für
welche die Funktion den Wert 1 annimmt, zur konjunktiven Normalform (Maxterme) tragen
alle Kombinationen der Argumente bei, für welche die Funktion den Wert 0 annimmt.
i) Bei der Vereinfachung Boole’scher Ausdrücke unter Anwendung der Rechenregeln ergibt
sich dadurch eine Erleichterung, dass häufig so genannte benachbarte Minterme, oder
benachbarte Maxterme auftreten. Das sind Terme, die sich nur durch Negation einer
Komponente voneinander unterscheiden und sich daher zusammenfassen lassen. Betrachtet
man den Ausdruck
( a b c) ( a b c) = ( a b) (c c) = a b
so erkennt man, dass die beiden in Klammern gesetzten Terme benachbart sind. Durch
Ausklammern von a b und unter Beachtung von c c=1 folgt dann das Ergebnis a b.