Grundkurs Informatik Aufgabensammlung mit Lösungen Teil 1

Aufgaben und Lösungen 1-85
Axiom 1: Kommutativität
Axiom 2: Assoziativität
Axiom 3: Absorption
Axiom 4: Existenz des Null- und Einselements und Verknüpfung damit
Ein Verband heißt distributiver Verband, wenn außerdem die Distributivgesetze gelten.
Ein Verband heißt ein komplementärer distributiver Verband, wenn zusätzlich komplementäre
Elemente eingeführt werden. Ein komplementärer distributiver Verband wird
auch als Boole’scher Verband bezeichnet.
Wählt man als Verknüpfungen und , und identifiziert man das zu a komplementäre
Element mit a, so erkennt man, dass der Aussagenlogik die algebraische Struktur eines
Boole’schen Verbandes zu Grunde liegt. Wie man leicht zeigen kann, lassen sich insbesondere
die logischen Verknüpfungen Implikation, Äquivalenz und Exklusiv-Oder auch
durch Konjunktion, Disjunktion und Negation ausdrücken, so dass man tatsächlich mit den
beiden zweistelligen Verknüpfungen und auskommt.
e) Venn-Diagramme dienen in der Mengenlehre zur anschaulichen, grafischen Darstellung
der Verknüpfung von Mengen. Es gibt eine strukturelle Übereinstimmung (Isomorphie) der
Mengenlehre mit der Aussagenlogik: „oder“ entspricht „Vereinigung“, „und“ entspricht
„Durchschnitt“ und „nicht“ entspricht „Komplementbildung“. Deswegen hat man auch die
an die Symbole der Mengenoperationen erinnernde Schreibweise und für die logischen
Verknüpfungen „oder“ und „und“ eingeführt. Wegen dieser Isomorphie lassen sich
auch logische Verknüpfungen durch Venn-Diagramme anschaulich darstellen, wie die folgende
Abbildung zeigt:
a) A B
b)
A B
c) A B
a) Schnittmenge A B der Mengen A und B, entsprechend der logischen UND-Verknüpfung.
b) Vereinigungsmenge A B der Mengen A und B, entsprechend der ODER-Verknüpfung.
c) (A B) (/A /B), entsprechend der XOR-Verknüpfung.
f) Wendet man die Boole’sche Algebra auf die Analyse und Synthese von digitalen Schaltungen
an, so identifiziert man „wahr“ bzw. 1 mit dem Zustand „Spannung vorhanden“ und
„falsch“ bzw. 0 mit dem Zustand „Spannung nicht vorhanden“. Die Boole’sche Algebra
wird dann als Schaltalgebra bezeichnet und Funktionen von Wahrheitswerten als Schaltfunktionen.
Präziser spricht man von n-stelligen binären Schaltfunktionen f(x1, x2,... xn) mit
den Variablen x1, x2,... xn, da die Argumente xi nur die beiden Werte 0 und 1 annehmen
können. Sowohl Definitionsbereich als auch Wertebereich sind also auf die Werte {0,
1} beschränkt, es gibt daher nur 2 2n n-stellige binäre Schaltfunktionen, die sich wegen der
Endlichkeit von Definitions- und Wertebereich immer in Form von endlichen Wahrheitstabellen
angeben lassen.
Die bereits eingeführten logischen Verknüpfungen kann man demnach auch als ein- und
zweistellige Schaltfunktionen auffassen. Alle 4 einstelligen und alle 16 zweistelligen
Schaltfunktionen sind somit bereits in Form logischer Verknüpfungen oder Wahrheitsfunktionen
eingeführt worden.
Allgemein lässt sich eine Schaltfunktion als „schwarzen Kasten“
mit einem Ausgang und einem oder mehreren Eingängen
darstellen:
e1
e2
.
.
.
en
n-stellige Schaltfunktion
g) Das Boole’sche Normalform-Theorem liefert eine einfache Möglichkeit, aus der Wahrheitstabelle
einer Schaltfunktion die Schaltfunktion selbst zu konstruieren. Zur Herleitung
des Boole’schen Normalform-Theorems geht man von folgender Identität aus, die sich
aus den Gesetzen des Boole’schen Verbandes ergibt:
a