Grundkurs Informatik Aufgabensammlung mit Lösungen Teil 1

Aufgaben und Lösungen 1-81
Einsetzen von k=3 in (1) liefert: 3=24+s → s=-21 → s=5
Alternativ ergibt sich aus (2): 8=3+s → s=5
Aufgabe 3.5.5 (M2)
Bob sendet die verschlüsselte Nachricht HVOBVXVEXCYVHRUXYSTIJLZOJXVLZAX an
Alice. Cleo fängt die Nachricht ab. Sie weiß, dass Bob und Alice einen Vigenère-Code verwenden.
Als ersten Schritt der Entschlüsselung muss Cleo daher die Schlüssellänge bestimmen.
Ermitteln Sie die wahrscheinlichste Schlüssellänge für die verschlüsselte Nachricht.
Lösung
Cleo wendet den Kasiski-Test an, d.h. sie bestimmt die die Primfaktoren der Abstände der
häufigsten Zeichen. Die am häufigsten auftretenden Primfaktoren bzw. deren häufigste Produkte
sind dann Kandidaten für die Schlüssellänge.
HVOBVXVEXCYVHRUXYSTIJLZOJXVLZAX
Die häufigsten Buchstaben sind V und X, die beide 5 Mal auftreten.
Die Abstände zwischen den Vs sind:
3, 5, 10=2 5, 25=5 5, 2, 7, 22=2 11, 5, 20=2 2 5, 15=3 5
Die Abstände zwischen den Xen sind:
3, 10=2 5, 20=2 2 5, 25=5 5, 7, 17, 22=2 11, 10=2 5, 15=3 5, 5
Die Häufigkeiten der Abstände lauten also: 14 mal 5, 10 mal 2, 4 mal 3
Die wahrscheinlichste Schlüssellänge ist also 5.
Aufgabe 3.5.6 (M1)
Berechnen Sie ggT(16269, 693) und 31 4123 mod 40251
Lösung
a) ggT(x,y)=ggT(y, x mod y) für y>0
ggT(x,0)=x
ggT(16269,693)=ggT(693,330)=ggT(330,33)=ggT(33,0)=33
b) Es gilt: a b mod n = [(a mod n)(b mod n)] mod n
oder für a=b: a 2 mod n = [(a mod n)(a mod n)] mod n
Daraus folgt durch wiederholte Anwendung der Regel für beliebige Potenzen:
a m mod n = [(a k mod n) j a m-kj mod n] mod n mit a k-1 < n < a k , j=int(m/k)
Mit n=40251 rechnet man also:
31 4123 mod 40251 = [(31 4 mod n) 1030 31 3 ] mod n =
= [(923521 mod n) 1030 31 3 ] mod n =[37999 1030 31 3 ] mod n =
= [(37999 2 mod n) 515 31 3 ] mod n =
= [(1443924001 mod n) 515 31 3 ] mod n = [40129 515 31 3 ] mod n =
= [(40129 2 mod n) 257 40129 31 3 ] mod n =
= [(1610336641 mod n) 257 40129 31 3 ] mod n = [14884 257 40129 31 3 ] mod n =
= [(14884 2 mod n) 128 14884 40129 31 3 ] mod n =
= [(221533456 mod n) 128 14884 40129 31 3 ] mod n = [32203 128 14884 40129 31 3 ] mod n =
= [(32203 2 mod n) 64 14884 40129 31 3 ] mod n =