Grundkurs Informatik Aufgabensammlung mit Lösungen Teil 1

1-80 Aufgaben und Lösungen
ergibt. Findet man keine Lösung, so besitzt k keine modular Inverse. Hier findet man mit k=5
bereits bei i=4 die ganzzahlige Lösung k -1 =(26 4+1)/5=105/5=21.
Alice rechnet somit:
Nachricht: L G P A G Z
numerische Darstellung: 12 7 20 1 7 26
Subtraktion von s=8:: 4 25 12 19 25 18
Multiplikation mit k -1 =21: 6 5 18 9 5 14
Ergebnis: f e r i e n
Aufgabe 3.5.4 (M2)
Alice sendet Bob die verschlüsselte Nachricht CHJF. Die beiden haben die Verwendung der
26 lateinischen Buchstaben mit den Positionen im Alphabet als numerische Codierung (also
A=1 bis Z=26) vereinbart und sie benutzen zur Verschlüsselung den multiplikativen Schlüssel
k=3 und den additiven Schlüssel s=5. Wie bestimmt Alice aus der empfangenen verschlüsselten
Nachricht den Klartext und wie lautet dieser?
Cleo hat die Nachricht CHJF abgefangen und außerdem Bobs Abfalleimer durchwühlt. Dort
hat sie einen Papierschnipsel mit dem Text ha gefunden, in welchem sie den zu CH gehörenden
Klartext vermutet. Berechnen Sie daraus (unter der Annahme, dass ein entsprechendes
Verschlüsselungsverfahren verwendet wurde) den additiven Schlüssel s und den
multiplikativen Schlüssel k.
Lösung
Die verschlüsselte Nachricht lautet: y = CHJF
Für die Entschlüsselung muss Alice rechnen:
xi=(yi-s) k -1 mod n
Dabei ist k -1 die modular Inverse von k. Da für diese k -1 k mod 26 = 1 gelten muss, kann man
zunächst k -1 aus der Gleichung k -1 =(26 i + 1)/k ermitteln, indem man die natürliche Zahl i mit 1
beginnend bis maximal 26 so lange erhöht, bis sich für k -1 schließlich eine ganzzahlige Lösung
ergibt. Findet man keine Lösung, so besitzt k keine modular Inverse und die Zahl k wäre
damit als Schlüssel ungeeignet. Hier findet man bereits für i=1 die Lösung, dass k -1 =
(26 1+1)/k=27/3=9 die modular Inverse von k=3 ist.
Alice rechnet also:
Nachricht: C H J F
numerische Darstellung: 3 8 10 6
Subtraktion von s = 5: 24 3 5 1
Multiplikation mit k -1 =9: 8 1 19 9
Ergebnis: h a s i
Cleo vermutet, dass der auf dem Papierschnipsel gefundene Text ha zu den verschlüsselten
Zeichen CH gehört. Daraus berechnet sie den additiven Schlüssel s und den multiplikativen
Schlüssel k wie folgt:
Die numerischen Darstellungen der Zeichen gemäß ihrer Position im Alphabet lauten:
C: y1=3, H: y2=8, h: x1=8, a: x2=1
Mit y=x k+s ergeben sich daraus die beiden Gleichungen für k und s:
(1) 3=8 k+s
(2) 8=1 k+s
Aus (2)-(1) folgt: -5=7 k → 21=7 k → k=3