Grundkurs Informatik Aufgabensammlung mit Lösungen Teil 1
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Aufgaben und <strong>Lösungen</strong> 1-61<br />
Aufgabe 3.4.6 (L3)<br />
Gegeben sei das nebenstehende, aus<br />
den Grauwerten 1, 2, 3, 4, 5, und 6 bestehende Bild.<br />
a) Bestimmen Sie die Auftrittswahrscheinlichkeiten der verschiedenen<br />
im Bild vorkommenden Grauwerte.<br />
b) Geben Sie für die Grauwerte einen Binärcode <strong>mit</strong> minimaler<br />
konstanter Wortlänge an und berechnen Sie die Größe (in Bit)<br />
des so codierten Bildes.<br />
c) Berechnen Sie die Entropie des gegebenen Bildes.<br />
d) Konstruieren Sie unter Verwendung des Huffman-Verfahrens<br />
einen optimalen Code <strong>mit</strong> variabler Wortlänge. Berechnen<br />
Sie dabei auch die <strong>mit</strong>tlere Wortlänge und die Redundanz. Wie viel Bit umfasst das Bild,<br />
wenn man es <strong>mit</strong> diesem Huffman-Code codiert?<br />
e) Konstruieren Sie nun einen möglichst effizienten Lauflängen-Code. Wie viele Bit umfasst<br />
das Bild, wenn man es <strong>mit</strong> diesem Lauflängen-Code codiert?<br />
f) Codieren Sie nun das Bild <strong>mit</strong> dem LZW-Verfahren. Wie groß ist das Bild jetzt?<br />
Lösung<br />
a) Die Auftrittshäufigkeiten und die daraus berechneten Auftrittswahrscheinlichkeiten sind in<br />
der folgenden Tabelle eingetragen.<br />
b) Bei sechs <strong>mit</strong> einem Code konstanter Wortlänge zu codierenden Worten ist die minimale<br />
Wortlänge 3. In der Tabelle ist ein entsprechender Code als CodeBlock eingetragen.<br />
Als Bildgröße ergibt sich da<strong>mit</strong> 80∙3 = 240 Bit.<br />
xi Anzahl wi Ii li CodeH CodeBlock<br />
____________________________________________________________________________________________________<br />
1 38 0.475 1.0740 1 0 001<br />
2 8 0.100 3.3219 3 110 010<br />
3 6 0.075 3.7370 4 1110 011<br />
4 4 0.050 4.3219 4 1111 100<br />
5 12 0.150 2.7370 3 101 101<br />
6 12 0.150 2.7370 3 100 110<br />
c) Entropie H = ∑wiIi ≈ 2.1598 [Bit/Zeichen]<br />
d) Huffman-Code<br />
1111 1110 110 101 100 0 CodeH<br />
4 3 2 5 6 1 xi<br />
0.050 0.075 0.100 0.150 0.150 0.475 wi<br />
1 0<br />
0.125<br />
1<br />
0.225<br />
0<br />
1<br />
0.525<br />
1<br />
0<br />
1.000<br />
1 0<br />
0.300<br />
Mittlere Wortlänge L = ∑wili = 2.1750 [Bit/Zeichen]<br />
Redundanz R = L – H = 2.1750 – 2.1598 = 0.0152 [Bit/Zeichen]<br />
Das Bild hat da<strong>mit</strong> die Länge 38∙1 + 8∙3 + 6∙4 + 4∙4 + 12∙3 + 12∙3 = 174 Bit.<br />
0<br />
1 1 2 2 2 2 1 1<br />
1 1 2 2 2 2 1 1<br />
1 1 1 4 4 1 1 1<br />
3 3 3 4 4 3 3 3<br />
1 1 5 5 5 5 1 1<br />
1 1 5 5 5 5 1 1<br />
1 1 5 5 5 5 1 1<br />
1 6 6 1 1 6 6 1<br />
1 6 6 1 1 6 6 1<br />
1 6 6 1 1 6 6 1
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