Grundkurs Informatik Aufgabensammlung mit Lösungen Teil 1

1-60 Aufgaben und Lösungen
Aufgabe 3.4.4 (L2)
Lässt sich der String ANTANANARIVO (das ist die Hauptstadt von Madagaskar) oder
PAPAYAPALMEN (die wachsen in Madagaskar, sind aber eigentlich keine Palmen)
durch den LZW-Algorithmus effizienter codieren? Bitte begründen Sie Ihre Antwort.
Lösung
Die Strings ANTANANARIVO und PAPAYAPALMEN sind beide 12 Zeichen lang und sie
bestehen beide aus 7 verschiedenen Buchstaben. Es sei n die Anzahl der pro Zeichen in der
Code-Tabelle verwendeten Bits. Teilt man die Strings in Zeichengruppen auf, für deren Codierung
jeweils n Bits erforderlich sind, so erhält man:
A N T AN ANA R I V O Länge: 9 n Bit
P A PA Y AP A L M E N Länge 10 n Bit
Die Kompression ist also für ANTANANARIVO um 10% effizienter als für PAPAYAPALMEN.
Aufgabe 3.4.5 (M1)
Es soll ein aus 2 16 Zeichen bestehender Text komprimiert werden, dessen Quellalphabet aus
40 mit gleicher Häufigkeit auftretenden Zeichen besteht. Weiter sei nichts über den Text und
das Alphabet bekannt.
a) Berechnen Sie die Entropie dieses Alphabetes.
b) Wie viele Bits pro Zeichen benötigt man mindestens für eine Codierung mit einem binären
Block-Code?
c) Ist das folgende Kompressionsverfahren für dieses Beispiel sinnvoll?
Man kann eine Anzahl n von Codewörtern mit 5 Bit und die verbleibenden 40-n Codewörter
mit 6 Bit codieren. Dabei muss n so bestimmt werden, dass die mittlere Wortlänge
nicht kleiner als die Entropie wird.
d) Wie viele Byte umfasst dann der komprimierte Text? Welchem Kompressionsfaktor entspricht
dies im Vergleich mit dem Block-Code aus a)?
Lösung
a) Für die Entropie gilt mit wi=1/40:
40 1 1
H wi
ld ( ) 40 ld ( 40)
5.
3219 [ Bit / Zeichen]
i 1 wi
40
b) Wegen H = 5.3219 [Bit/Zeichen benötigt man für einen Block-Code (Code mit konstanter
Wortlänge) mindestens 6 Bit pro Zeichen.
c) Man berechnet für dieses Verfahren:
(n 5 + (40-n) 6)/40 > 5.3219 n < 240 - 5.3219 40 = 27.124 n=27
Allerdings ergibt sich dafür das Problem, dass die Fano-Bedingung nicht notwendigerweise
erfüllt ist. Man könnte zur Erfüllung der Fano-Bedingung beispielsweise alle 6-Bit-
Worte mit 0 beginnen und alle 5-Bit-Worte mit 1. Man hat also Code-Wörter der Art 0xxxxx
und 1xxxx. Dies ergibt 32 Wörter mit 6 Bit und 16 Wörter mit 5 Bit. Man wird also als Optimum
n=16 wählen, also 16 Wörter mit 5 Bit und 24 Wörter mit 6 Bit codieren.
d) Die mittlere Wortlänge ist L=(16 5+24 6)/40=5.6.
Die Anzahl der Bytes des komprimierten Textes ist also 5.6 2 16 /8 = 0.7*2 16
Die Anzahl der Bytes des unkomprimierten Textes ist 6 2 16 /8 = 0.75*2 16
Der Kompressionsfaktor beträgt k=5.6/6=0.933...