Grundkurs Informatik Aufgabensammlung mit Lösungen Teil 1
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1-54 Aufgaben und Lösungen Da das Ergebnis der Nullvektor ist, handelt sich um ein korrektes Code-Wort. Die Information lautet: 1010. Für 1101011 rechnet man: 1 1 0 1 0 1 1 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 Am Ergebnis liest man ab, dass das Bit an Position 6 fehlerhaft ist. Die Zählung der Positionen beginnt von links mit Position 1. Der korrekte Text lautet: 1101001. Die Information lautet: 0001. Aufgabe 3.3.10 (M2) Geben Sie allgemein an, wie viele verschiedene Code-Wörter ein Code mit s Stellen und vorgegebener Hamming-Distanz h maximal umfassen kann. Wie viele Code-Wörter kann ein Code mit s=6 Stellen und Hamming-Distanz h=5 maximal umfassen? Lösung Eine obere Grenze für die Anzahl von Code-Wörtern, die unter dieser Bedingung gebildet werden können ergibt sich unmittelbar aus der Bedingung: maximale Anzahl der Code-Wörter < Gesamtvolumen / Volumen einer Kugel mit Radius e Als Maß für das Volumen ist hier die Anzahl der enthaltenen Vektoren zu verstehen. Der gesamte lineare Raum B s hat daher das Volumen 2 s , da er bei gegebener Dimension s, d.h. Stellenzahl der Code-Wörter, gerade 2 s Vektoren umfasst. Das Volumen einer Kugel mit Radius 1 umfasst den Mittelpunkt der Kugel sowie alle über eine Kante erreichbaren nächsten Nachbarn, es beträgt also V1 =1+s. Als obere Grenze für die Anzahl n1 der Code-Wörter, für welche die Korrigierbarkeit von Einzelfehlern gefordert wird, ergibt sich also: n1 < 2 s /V1 = 2 s /(1+s) Im allgemeinen Fall von e pro Code-Wort korrigierbaren Fehlern ist in der obigen Formel anstelle von V1 das Volumen Ve einer Kugel mit Radius e einzusetzen. Durch Abzählen aller Punkte, die von dem betrachteten Punkt aus über maximal e Kanten erreichbar sind, erhält man das Volumen Ve: V e 1 s e Die obere Grenze für die Anzahl ne der s-stelligen Code-Wörter eines Codes, für welche die Korrigierbarkeit von e Fehlern möglich ist, lautet damit: ne < 2 s /Ve
Aufgaben und Lösungen 1-55 Dieses Ergebnis sagt nichts darüber aus, ob diese Anzahl tatsächlich erreichbar ist und wie derartige Codes konstruiert werden können. Für s=6 und h=5 folgt zunächst e=(h-1)/2=2 und damit: n 6 6 2 6 1 2 64 16 4
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Aufgaben und <strong>Lösungen</strong> 1-55<br />
Dieses Ergebnis sagt nichts darüber aus, ob diese Anzahl tatsächlich erreichbar ist und wie<br />
derartige Codes konstruiert werden können.<br />
Für s=6 und h=5 folgt zunächst e=(h-1)/2=2 und da<strong>mit</strong>:<br />
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