Grundkurs Informatik Aufgabensammlung mit Lösungen Teil 1

1-54 Aufgaben und Lösungen
Da das Ergebnis der Nullvektor ist, handelt sich um ein korrektes Code-Wort.
Die Information lautet: 1010.
Für 1101011 rechnet man:
1 1 0 1 0 1 1
0 0 1
0 1 0
0 1 1
1 0 0
1 0 1
1 1 0
1 1 1
1 1 0
Am Ergebnis liest man ab, dass das Bit an Position 6 fehlerhaft ist. Die Zählung der Positionen
beginnt von links mit Position 1. Der korrekte Text lautet: 1101001.
Die Information lautet: 0001.
Aufgabe 3.3.10 (M2)
Geben Sie allgemein an, wie viele verschiedene Code-Wörter ein Code mit s Stellen und
vorgegebener Hamming-Distanz h maximal umfassen kann. Wie viele Code-Wörter kann ein
Code mit s=6 Stellen und Hamming-Distanz h=5 maximal umfassen?
Lösung
Eine obere Grenze für die Anzahl von Code-Wörtern, die unter dieser Bedingung gebildet
werden können ergibt sich unmittelbar aus der Bedingung:
maximale Anzahl der Code-Wörter < Gesamtvolumen / Volumen einer Kugel mit Radius e
Als Maß für das Volumen ist hier die Anzahl der enthaltenen Vektoren zu verstehen. Der
gesamte lineare Raum B s hat daher das Volumen 2 s , da er bei gegebener Dimension s, d.h.
Stellenzahl der Code-Wörter, gerade 2 s Vektoren umfasst. Das Volumen einer Kugel mit Radius
1 umfasst den Mittelpunkt der Kugel sowie alle über eine Kante erreichbaren nächsten
Nachbarn, es beträgt also V1 =1+s.
Als obere Grenze für die Anzahl n1 der Code-Wörter, für welche die Korrigierbarkeit von Einzelfehlern
gefordert wird, ergibt sich also:
n1 < 2 s /V1 = 2 s /(1+s)
Im allgemeinen Fall von e pro Code-Wort korrigierbaren Fehlern ist in der obigen Formel
anstelle von V1 das Volumen Ve einer Kugel mit Radius e einzusetzen. Durch Abzählen aller
Punkte, die von dem betrachteten Punkt aus über maximal e Kanten erreichbar sind, erhält
man das Volumen Ve:
V e
1
s
e
Die obere Grenze für die Anzahl ne der s-stelligen Code-Wörter eines Codes, für welche die
Korrigierbarkeit von e Fehlern möglich ist, lautet damit:
ne < 2 s /Ve