Grundkurs Informatik Aufgabensammlung mit Lösungen Teil 1

1-46 Aufgaben und Lösungen
Betrachtet man einen typische Text, bei dem also die einzelnen Zeichen tatsächlich mit den
in diesem Beispiel durch die Auftrittswahrscheinlichkeiten spezifizierten Häufigkeiten auftreten,
so liefert der Huffman-Code ein um 30% kürzeres Ergebnis als der Code mit konstanter
Wortlänge.
Aufgabe 3.2.3 (L2)
Gegeben sei das binäre Alphabet B={0,1}. Geben Sie alle Teilmengen des Nachrichtenraums
über B* an, welche folgende Bedingungen erfüllen: Die Teilmengen umfassen mindestens
drei Wörter; die Wörter bestehen aus höchstens zwei Zeichen; die Wörter erfüllen
die Fano-Bedingung.
Lösung
Die gesuchten Teilmengen lauten:
{00, 01, 10, 11}
{00, 01, 10} {00, 01, 11} {00, 10, 11} {01, 10, 11}
{0, 10, 11} {1, 00, 01}
Aufgabe 3.2.4 (L3)
Gegeben sei ein Alphabet mit n Zeichen. Bestimmen Sie die Wortlänge des Zeichens mit
dem längsten Codewort, das eine binäre Huffman-Codierung im Extremfall liefern kann.
Welche Bedingung muss dann für die Auftrittswahrscheinlichkeiten wi gelten?
Lösung
Das Codewort des längsten Wortes hat die Länge n-1, mindestens jedoch 1. Dies folgt aus
dem sich im Extremfall ergebenden entarteten Huffman-Baum, der nachfolgend für den Fall
n=7 angegeben ist. Das längste Codewort 111111 für das Zeichen x1 hat also die Länge 6.
x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7
1
Dieser Extremfall ergibt sich, wenn folgende Bedingung erfüllt ist: Höchstens eine der verbleibenden
Auftrittswahrscheinlichkeiten von Einzelzeichen ist kleiner als die durch Zusammenfassung
der beiden Knoten mit den beiden kleinsten Auftrittswahrscheinlichkeiten gebildete
Summe. Ordnet man die Auftrittswahrscheinlichkeiten wi mit i=1 bis n aufsteigend der
Größe nach, so muss also gelten:
k
j 1
1
0 0 0 0 0 0
1
w für alle k von 1 bis n-1
j k 1 w
1
1
1