Grundkurs Informatik Aufgabensammlung mit Lösungen Teil 1

Aufgaben und Lösungen 1-35
Lösung
a) Es gibt N=16 Teilmengen, nämlich:
{}
{a}, {b}, {c}, {d}
{a,b}, {a,c}, {a,d}, {b,c}, {b,d}, {c,d}
{a,b,c}, {a,b,d}, {a,c,d}, {b,c,d}
{a,b,c,d}
Die Elemente der Teilmengen ergeben sich durch Kombinationen ohne Wiederholungen
von m=0,1,2,3,4 aus n=4 Elementen. Die Reihenfolge der Auswahl spielt keine Rolle. Man
erhält daher:
N =
Mit
n
m 1
n
m
n n 4 4 4 4 4
C ( m,
n)
= 1 + 4 + 6 + 4 + 1 = 2
m 0 1 2 3 4
4 = 16
m 1
n!
m!
( n m)!
Von diesen 16 Teilmengen sind 15 nicht leer.
b) Folgende Zerlegungen von M={a,b,c,d} in zwei disjunkte Teilmengen, deren Vereinigung
M ist, sind möglich:
{a,b,c}, {d} Es handelt sich wieder um Kombinationen ohne
{a,b,d}, {c} Wiederholungen von m=1 und m=2 Elementen,
{a,c,d}, {b} wobei die Reihenfolge keine Rolle spielt.
{b,c,d}, {a}
{a,b}, {c,d}
{a,c}, {b,d}
{a,d}, {b,c}
C(1,4) =
4
1
4
3
4
=4 und C(2,4) / 2 = / 2 = 3
2
c) Es gibt 25 derartige Zerlegungen. Zunächst gehören die 7 in b) gefundenen Mengen zu
den gesuchten Zerlegungen. Außerdem gehören noch die C(1,4) C(1,3)/2=6 disjunkten
Zerlegungen dazu, bei denen beide Teilmengen nur ein Element enthalten sowie die
C(1,4) C(2,3)=12 Zerlegungen, bei denen die eine Menge ein Element enthält und die andere
Menge zwei Elemente.
Aufgabe 2.3.6 (M1)
Die folgende Aufgabe ist als das Botenproblem bekannt. Zum Übertragen einer Nachricht stehen
zwei Kanäle A und B zur Verfügung, wobei die Wahrscheinlichkeit für das Auftreten eines
Fehlers bei der Übertragung einer Nachricht für Kanal B doppelt so hoch ist wie für Kanal A. Mit
welcher der beiden Strategien erreicht eine Nachricht den Empfänger mit größerer Sicherheit:
a) Die Nachricht wird über Kanal A gesendet.
b) Die Nachricht wird zweimal über Kanal B gesendet.