Grundkurs Informatik Aufgabensammlung mit Lösungen Teil 1
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Aufgaben und <strong>Lösungen</strong> 1-33<br />
Aufgabe 2.4.5 (M3)<br />
Schafkopfen ist ein Spiel <strong>mit</strong> 32 Karten für 4 Mitspieler, die jeweils 8 Karten erhalten. Wahrscheinlichkeiten<br />
und Kombinatorik sind dabei von großer Bedeutung.<br />
a) Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, ein „Sie“ (d.h. alle 4 Unter und alle 4 Ober) auf die<br />
Hand zu bekommen?<br />
b) Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, einen „Wenz <strong>mit</strong> 4“ (d.h. alle 4 Unter und sonst beliebige<br />
Karten) auf die Hand zu bekommen?<br />
Lösung<br />
a) Es gibt 32 Karten, davon erhält jeder der vier Mitspieler 8 Karten. Die Wahrschienlichkeit<br />
dafür, dass einer der Spieler alle vier Ober und alle vier Unter erhält ist dann:<br />
w<br />
8<br />
32<br />
7 6 5 4 3 2<br />
31 30 29 28 27 26<br />
4 Ober 4 Unter<br />
1<br />
25<br />
9 507 10 8<br />
.<br />
Andere Lösungsmöglichkeit: Die Anzahl der Möglichkeiten, 8 Elemente aus einer Anzahl<br />
von 32 ohne Beachtung der Reihenfolge auszuwählen, berechnet man als Kombinationen<br />
C(32,8) ohne Wiederholungen. Für die gesuchte Wahrscheinlichkeit folgt dann:<br />
1<br />
w<br />
C(<br />
32, 8)<br />
1<br />
32<br />
8<br />
b) Es gibt C(8,4)= 8<br />
4<br />
8!( 32 8)!<br />
32!<br />
9 507 10 8<br />
.<br />
70 Möglichkeiten (Kombinationen ohne Wiederholungen), 4 Unter in<br />
8 Karten anzuordnen. Für die Kombination UUUU???? Mit U=Unter und ?=Nicht-Unter<br />
folgt die Wahrscheinlichkeit:<br />
w(UUUU????) = 4<br />
32<br />
3<br />
31<br />
2<br />
30<br />
1<br />
29<br />
28<br />
28<br />
27<br />
27<br />
26<br />
26<br />
Für jede andere der 70 Möglichkeiten ergibt sich derselbe Wert. Man kann dies anhand<br />
eines Beispiels nachvollziehen:<br />
w(?U??UU?U)= 28<br />
32<br />
4<br />
31<br />
27<br />
30<br />
26<br />
29<br />
3<br />
28<br />
2<br />
27<br />
25<br />
26<br />
26<br />
25<br />
1<br />
25<br />
Die Gesamtwahrscheinlichkeit ist nun die Summe dieser 70 identischen Einzelwahrscheinlichkeiten:<br />
w(Wenz <strong>mit</strong> 4) = 70 4<br />
32<br />
3<br />
31<br />
2<br />
30<br />
1<br />
29<br />
7<br />
29 31 4<br />
4<br />
32<br />
4<br />
32<br />
3<br />
31<br />
3<br />
31<br />
2<br />
30<br />
2<br />
30<br />
2 947 10 3<br />
.<br />
Andere Lösungsmöglichkeit: Die Anzahl der Möglichkeiten einen Wenz <strong>mit</strong> 4 zu erhalten<br />
ist gegeben durch die Anzahl der Möglichkeiten vier Unter zu ziehen, C(4,4), multipliziert<br />
<strong>mit</strong> der Anzahl der Möglichkeiten, die vier Nicht-Unter aus den verbleibenden 28 Karten<br />
zu kombinieren, C(28,4). Für die gesuchte Wahrscheinlichkeit folgt dann:<br />
w<br />
4<br />
4<br />
32<br />
8<br />
28<br />
4<br />
1 8!( 32 8)! 28!<br />
32! 4! ( 28 4)!<br />
5 6 7 8<br />
29 30 31 32<br />
7<br />
29 31 4<br />
1<br />
29<br />
1<br />
29<br />
2 947 10 3<br />
.
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