Grundkurs Informatik Aufgabensammlung mit Lösungen Teil 1

1-32 Aufgaben und Lösungen
Aufgabe 2.4.5 (L3)
Die Journalistin Marilyn vos Savant hat das folgende Fernseh-Quizz in Amerika populär gemacht:
Einem Kandidaten werden 3 Türen gezeigt und mitgeteilt, dass sich hinter zwei Türen
je eine Ziege befindet und hinter einer Tür ein Auto. Errät der Kandidat die Tür, hinter der
das Auto steht, so erhält er es als Gewinn. Der Kandidat zeigt nun auf eine Tür, aber ohne
sie zu öffnen. Der Spielleiter öffnet nun von den verbleibenden beiden Türen diejenige, hinter
der sich eine Ziege befindet. Der Kandidat darf nun nochmals wählen. Mit welcher Wahrscheinlichkeit
gewinnt der Kandidat mit den drei folgenden Strategien das Auto?
a) Er bleibt bei der Wahl
b) Er nimmt die andere Tür
c) Er wirft zur Türenwahl eine Münze
Lösung
a) Bleibt der Kandidat bei seiner Wahl, so spielt die Tatsache dass eine Türe geöffnet wurde,
keine Rolle. Der Kandidat hätte ebenso gut nach seiner anfänglichen Wahl nach Hause
gehen können, ohne abzuwarten, welche Türe der Spielleiter nun öffnet. Die Wahrscheinlichkeit
dafür, das Auto zu erhalten ist also nach der Abzählregel w=1/3.
b) Hier hat der Kandidat die Möglichkeit, das zusätzliche Wissen nach Öffnen einer Türe mit
einzubeziehen. Es ergeben sich folgende drei gleichwahrscheinliche Möglichkeiten:
TÜRE 1 TÜRE 2 TÜRE 3
Auto Ziege Ziege
erste Wahl neue Wahl geöffnet
geöffnet neue Wahl
Auto Ziege Ziege
neue Wahl erste Wahl geöffnet
Auto Ziege Ziege
neue Wahl geöffnet erste Wahl
Ändert der Kandidat also seine Wahl (neue Wahl), trifft er einmal auf „Ziege“ und zweimal
auf „Auto“. Die Wahrscheinlichkeit dafür, das Auto zu gewinnen, ist bei dieser Strategie
also w=2/3.
Die Überlegungen aus Teilaufgabe a) werden bestätigt: Bleibt der Kandidat bei seiner
Wahl (erste Wahl), so trifft er zweimal auf „Ziege“ und einmal auf „Auto“. Es folgt w=1/3.
c) Nach dem Öffnen einer Türe, die jetzt unbeachtet bleibt, entsteht durch das Würfeln ein
neues Zufallsexperiment, bei dem nur noch zwischen zwei Türen gewählt wird. Da bekannt
ist, dass hinter einer Türe das Auto und hinter der anderen Türe eine Ziege steht, ist
die Wahrscheinlichkeit dafür, das Auto zu gewinnen w=1/2.
Eine gängige Interpretation des Wahrscheinlichkeitsbegriffs bezieht sich auf die objektive
Prognose künftiger Ereignisse. Häufig, so auch hier, drückt man mit Wahrscheinlichkeiten
aber auch einen subjektiven, mehr oder weniger lückenhaften Kenntnisstand aus. Eine Änderung
des Kenntnisstandes bewirkt somit auch eine Änderung von Wahrscheinlichkeiten.
Die häufig zu beobachtende Verwirrung im Zusammenhang mit dem Ziegenproblem beruht
gerade auf der Verwechslung der objektiven und subjektiven Wahrscheinlichkeit.