Grundkurs Informatik Aufgabensammlung mit Lösungen Teil 1
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1-26 Aufgaben und <strong>Lösungen</strong><br />
Aufgabe 2.2.4 (M2)<br />
Die zu einem empfundenen Helligkeitsreiz R gehörige Pulsfrequenz f ist proportional zu R,<br />
es gilt also f~R. Außerdem gilt nach dem Fechner’schen Gesetz R~log(S/S o ). Für das Helligkeitsempfinden<br />
kennt man die zum physikalischen Maximalreiz Smax gehörende maximale<br />
Pulsfrequenz fmax=250 Hz sowie das Verhältnis von Maximalreiz zu Reizschwelle Smax/S0=10 10<br />
aus experimentellen Untersuchungen. Welche Pulsfrequenz gehört zu einem physikalischen<br />
Reiz S1= Smax/10?<br />
Lösung<br />
Aus f~R und R~log(S/S o ) folgt f = c . log(S/S o ) <strong>mit</strong> einer Proportionalitätskonstanten c.<br />
Aus fmax = c . log(Smax/S o ) und 250 = c . log(10 10 ) folgt 250 = c . 10, also c = 25.<br />
Also: f1 = c . log(S1/S o ) = 25 . log(Smax/S o /10) = 25 . [log(Smax/S o ) – log(10)] = 25 . [10 – 1] = 225 Hz<br />
Aufgabe 2.2.5 (M3)<br />
Nach dem Weber’schen Gesetz gilt für eine von biologischen Rezeptoren gerade noch auflösbare<br />
Differenz S eines physikalischen Reizes S die Beziehung S=k . S. Berechnen Sie<br />
daraus <strong>mit</strong> gegebener Proportionalkonstante k und gegebenem Smax/S0 (Maximalreiz zu<br />
Reizschwelle) die Anzahl der aufgelösten Reizstufen für folgende Reize:<br />
a) Helligkeit: Smax/S0 = 10 10 k=0.02<br />
b) Lautstärke: Smax/S0 = 10 12 k=0.09<br />
b) Tonhöhe: Smax/S0 = 10 3 k=0.003<br />
Lösung<br />
Die Proportionalität zwischen S und S lässt sich folgendermaßen visualisieren:<br />
S0 S1 S2 Sn=Smax<br />
1 2 . . .<br />
Aus S = k . S folgt:<br />
S1 = S1-S0 = k . S0 S1 = S0(1+k)<br />
S2 = S2-S1 = k . S1 S2 = S1(1+k) = S0(1+k) 2<br />
Also: Sn/S0 = (1+k) n n =<br />
.<br />
.<br />
Sn = S0(1+k) n<br />
log( Sn<br />
/ S0<br />
)<br />
log( 1 k)<br />
Einsetzen der gegebenen Zahlen liefert:<br />
a) Helligkeit: Smax/S0 = 10 10 k=0.02 n=10/log(1.02)=1163<br />
b) Lautstärke: Smax/S0 = 10 12 k=0.09 n=12/log(1.09)=320<br />
b) Tonhöhe: Smax/S0 = 10 3 k=0.003 n=3/log(1.003)=2306