Grundkurs Informatik Aufgabensammlung mit Lösungen Teil 1
Grundkurs Informatik Aufgabensammlung mit Lösungen Teil 1 Grundkurs Informatik Aufgabensammlung mit Lösungen Teil 1
1-18 Aufgaben und Lösungen Addition und Subtraktion Addition und Subtraktion von links nach rechts: von rechts nach links: 0.100 *10 1 0.476 *10 -1 -0.033 *10 1 -0.526 *10 -1 0.067 *10 1 0.588 *10 -1 =0.670 *10 0 -0.666 *10 -1 0.200 0.796 *10 -1 -0.142 -0.909 *10 -1 0.111 -0.241 *10 -1 -0.090 = -0.024 0.076 0.111 -0.066 -0.142 0.058 0.2 -0.052 -0.333 0.047 -0.188 0.812 = -0.018 *10 1 0.100 *10 1 0.082 *10 1 = 0.820 Getrennte Addition aller positiven und aller negativen Terme von links nach rechts und anschließende Subtraktion: Positive Terme: Negative Terme: 0.100 *10 1 0.333 0.020 *10 1 0.142 0.011 *10 1 0.090 0.007 *10 1 0.066 0.005 *10 1 0.052 0.004 *10 1 0.147 *10 0.683 1 Ergebnis: 0.147*10 1 -0.683 = 0.147*10 1 -0.068*10 1 = 0.079*10 1 = 0.790 Getrennte Addition aller positiven und aller negativen Terme von rechts nach links und anschließende Subtraktion: Positive Terme: Negative Terme: 0.476 *10 -1 0.526 *10 -1 0.588 *10 -1 0.666 *10 -1 1.064 *10 -1 1.192 *10 -1 =0.106 =0.119 0.076 0.090 0.111 0.142 0.2 0.333 0.493 =0.049 *10 1 0.100 *10 1 0.149 *10 1 0.684 Ergebnis: 0.149*10 1 -0.684 = 0.149*10 1 -0.068*10 1 = 0.081*10 1 = 0.810 Rechnet man auf 5 Stellen genau, so erhält man 0.80807. Vergleicht man dies mit den obigen Ergebnissen, so wird deutlich, dass Verfahren (4), also die getrennte Addition aller positiven und negativen Terme von rechts nach links und anschließende Subtraktion der Zwischenergebnisse das genaueste Ergebnis liefert.
Aufgaben und Lösungen 1-19 Aufgabe 1.4.10 (M2, P1) Zur näherungsweisen Berechnung von Wurzeln y= x mit x>0 ist die Newton’sche Iterationsformel yk+1=(yk+x/yk)/2 gut geeignet. Beginnend mit einem Startwert y0≠0 berechnet man Näherungswerte, bis der Fehler e=|yk+1-yk|/yk0. b) Vergleichen Sie Ihre Strategie mit den Strategien y0=1 und y0=x, indem Sie für einige repräsentative Beispiele die Anzahl der erforderlichen Iterationen zählen. Schreiben Sie dazu am besten ein Programm in einer beliebigen Programmiersprache. Lösung a) Ist x als Gleitpunktzahl im Zehnersystem gegeben, so ist 10 e/2 eine gute Näherung für den Startwert, da dies ja die Wurzel aus 10 e ist, so dass sich die Newton’sche Iteration nur noch auf die Mantisse bezieht, die immer zwischen 0 und 1 liegt. Am einfachsten lässt sich dies mithilfe eines Programms nachvollziehen. Im Beispiel wurde x=123456 verwendet, der Exponent ist also e=6, entsprechend dem Startwert y0=1000. Dafür sind nur 6 Iterationen erforderlich. Für den Startwert 1 sind dagegen 13 Iterationen erforderlich. b) Der Vergleich der Anzahl der Iterationen für den Startwert y0=1 mit Anzahl der Iterationen unter Verwendung des optimierten Startwert y0=10 e/2 ist oben bereits erledigt. Der Startwert y0=x ist mit dem Startwert y0=1 identisch. Man erkennt dies unmittelbar durch Einsetzen in die Newton’sche Formel y1 = (y0+x/y0)/2 = (y0+1)/2.
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Aufgaben und <strong>Lösungen</strong> 1-19<br />
Aufgabe 1.4.10 (M2, P1)<br />
Zur näherungsweisen Berechnung von Wurzeln y= x <strong>mit</strong> x>0 ist die Newton’sche Iterationsformel<br />
yk+1=(yk+x/yk)/2 gut geeignet. Beginnend <strong>mit</strong> einem Startwert y0≠0 berechnet man Näherungswerte,<br />
bis der Fehler e=|yk+1-yk|/yk0.<br />
b) Vergleichen Sie Ihre Strategie <strong>mit</strong> den Strategien y0=1 und y0=x, indem Sie für einige repräsentative<br />
Beispiele die Anzahl der erforderlichen Iterationen zählen. Schreiben Sie dazu<br />
am besten ein Programm in einer beliebigen Programmiersprache.<br />
Lösung<br />
a) Ist x als Gleitpunktzahl im Zehnersystem gegeben, so ist 10 e/2 eine gute Näherung für den<br />
Startwert, da dies ja die Wurzel aus 10 e ist, so dass sich die Newton’sche Iteration nur<br />
noch auf die Mantisse bezieht, die immer zwischen 0 und 1 liegt. Am einfachsten lässt<br />
sich dies <strong>mit</strong>hilfe eines Programms nachvollziehen. Im Beispiel wurde x=123456 verwendet,<br />
der Exponent ist also e=6, entsprechend dem Startwert y0=1000. Dafür sind nur 6 Iterationen<br />
erforderlich. Für den Startwert 1 sind dagegen 13 Iterationen erforderlich.<br />
b) Der Vergleich der Anzahl der Iterationen für den Startwert y0=1 <strong>mit</strong> Anzahl der Iterationen<br />
unter Verwendung des optimierten Startwert y0=10 e/2 ist oben bereits erledigt.<br />
Der Startwert y0=x ist <strong>mit</strong> dem Startwert y0=1 identisch. Man erkennt dies un<strong>mit</strong>telbar<br />
durch Einsetzen in die Newton’sche Formel y1 = (y0+x/y0)/2 = (y0+1)/2.
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