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Universität Karlsruhe (TH)Institut für BaustatikBerechnung der Schubspannungenaus Querkraft in dünnwandigen Querschnittenmit einem programmiergerechten VerfahrenW. Wagner, F. GruttmannMitteilung 5(2002)BAUSTATIK

Universität Karlsruhe (TH)Institut für BaustatikBerechnung der Schubspannungenaus Querkraft in dünnwandigen Querschnittenmit einem programmiergerechten VerfahrenW. Wagner, F. GruttmannMitteilung 5(2002)BAUSTATIKc○Prof. Dr.–Ing. W. Wagner Telefon: (0721) 608–2280Institut für Baustatik Telefax: (0721) 608–6015Universität Karlsruhe E–mail: bs@.uni-karlsruhe.dePostfach 6980 Internet: http://www.bs.uni-karlsruhe.de76128 Karlsruhe

Baustatik-Baupraxis 8, c­ 2002 Institut für Statik, TU BraunschweigBerechnung der Schubspannungen aus Querkraft in dünnwandigenQuerschnitten mit einem programmiergerechtenVerfahrenWerner Wagner und Friedrich GruttmannInstitut für Baustatik, Universität Karlsruhe (TH),Institut für Statik, Technische Universität DarmstadtZusammenfassung: Die Schubspannungen in beliebig geformten Querschnitten prismatischerStäbe können für eine gegebene Normalspannungsverteilung aus der Integrationder Gleichgewichtsbedingungen gewonnen werden. Die betrachteten dünnwanndigenQuerschnitte haben scheibenweise konstante Dicke, sind sonst aber beliebig angeordnet.Die Einführung einer Wölbfunktion führt zu einer Differentialgleichung 2. Ordnung mitkonstanten Koeffizienten. Die Lösung des Randwertproblems liefert eine Elementsteifigkeitsbeziehungfür ein Zweiknotenelement im Rahmen der Verschiebungsmethode. Diedamit berechneten Schubspannungen sind im Rahmen der gewählten Theorie exakt. DieVorgehensweise eignet sich besonders für eine Programmierung.1 EINLEITUNGSchubspannungen aus Biegung in prismatischen Stäben können aus den Gleichgewichtsbedingungenberechnet werden. Die Differentialgleichung enthält die Schubspannungenund die Normalspannungen, siehe z.B. [1, 2, 3]. Für beliebige dickwandige Querschnitteerhält man eine partielle Differentialgleichung, welche näherungsweise mit der Methodeder Finiten Elemente gelöst werden kann, z.B. [4, 5]. In dünnwandigen Querschnittenwerden die Querkraftschubspannungen über die Querschnittsdicke als konstant angenommen.Für mehrfach zusammenhängende Querschnitte wird üblicherweise ein Kraftgrößenverfahrenangewendet. Der je Zelle unbekannte umlaufende Schubfluss wird ausKontinuitätsbedingungen gewonnen. Diese Vorgehensweise ist jedoch nicht besonders füreine Programmierung geeignet. In diesem Beitrag beschreiben wir daher ein Verschiebungsgrößenverfahren,welches gerade diesen Nachteil behebt und dessen Umsetzung imRahmen des Programmes Excel. Wir betrachten dabei gerade Stäbe unter torsionsfreierBiegung. Die Querkraftschubspannungen werden aus der Ableitung der Wölbfunktionermittelt. Auch hier liefert die Gleichgewichtsbedingung eine Differentialgleichung zweiterOrdnung mit konstanten Koeffizienten. Deren Lösung führt zu einer Steifigkeitsmatrix

und einem Lastvektor für ein Zweiknotenelement. Die berechneten Lösungen sind auf derBasis der verwendeten Stabtheorie exakt und erfüllen die Spannungsrandbedingungen anfreien Rändern sowie die Kontinuitätsbedingungen an Verzweigungen von mehrfach zusammenhängendenQuerschnitten.2 TORSIONSFREIE BIEGUNG PRISMATISCHER STÄBEWir betrachten prismatische Stäbe, unter den Annahmen der technischen Biegetheorie.Mit Ü soll die Stabachse und mit Ý und Þ die Querschnittskoordinaten bezeichnet werden.Letztere müssen keine Hauptachsen sein und auch nicht durch den Schwerpunkt Ë gehen.Der Ursprung des parallelen Koordinatensystems Ý Ý Ý × und Þ Þ Þ × liegt in Ë.Der dünnwandige Querschnitt besteht aus Ñ Scheiben und kann einfach oder mehrfachzusammenhängen. Jede Scheibe hat eine konstante Dicke . Mit « sei der Winkel zwischender Scheibe und der Ý-Achse bezeichnet. Weiterhin sei eine lokale Koordinate ×sowie deren partielle Ableitungen nach Ý und Þ eingeführtÕ´Ý Ý ½ µ ¾ ·´Þ Þ ½ µ ¾ × Ý Ó׫ × Þ ×Ò « (1)× Ý ½ Þ ½ sind die Anfangskoordinaten der betrachteten Scheibe. Der Stab wird BiegemomentenÅ Ý und Å Þ sowie Querkräften É Ý und É Þ ausgesetzt. Weitere Kräfte bzw. Momentesind nicht vorhanden. Mit ¬ ݴܵ und ¬ ޴ܵ werden nun Drehungen um die Ý– und Þ–wzz zhz 1sz 1z S S y 1y Sy 1y yvyAbbildung 1: KoordinatensystemeAchsen eingeführt, während ڴܵ und ۴ܵ die Querverschiebungen darstellen. Weiterhinwird die bekannte Stabkinematik um eine Wölbfunktion ³´Ý Þµ infolge Querschubverformungenerweitert, siehe z.B. [4]:Ù Ü ¬ ݴܵ Þ ¬ ޴ܵ Ý · ³´Ý ÞµÙ Ý Ú´ÜµÙ Þ Û´Üµ (2)

Die Verzerrungen werden aus den partiellen Ableitungen erhalten, wobei ´µ die Ableitungbezüglich der Stabkoordinate Ü ¼bezeichnet Ü Ù Ü Ü ¬ ¼ Ý Þ ¬ ¼ Þ Ý­ ÜÝ Ù Ü Ý ·Ù Ý Ü ¬ Þ · Ú ¼ · ³ Ý­ ÜÞ Ù Ü Þ ·Ù Þ Ü ¬ Ý · Û ¼ · ³ Þ (3)Die Spannungen folgen direkt aus dem linearelastischen isotropen Stoffgesetz zu Ü Ü ´¬ ¼ Ý Þ ¬ ¼ Þ Ýµ ÜÝ ­ ÜÝ ´ ¬ Þ · Ú ¼ · ³ Ý µ ÜÞ ­ ÜÞ ´ ¬ Ý · Û ¼ · ³ Þ µ Hierin sind und der Elastizitäts- und Schubmodul der betrachteten Scheibe . WeitereSpannungskomponenten Ý , Þ und ÝÞ werden im Rahmen der Stabtheorie zu Nullgesetzt.Die Einführung der Wölbfunktion ³ in Verbindung mit den Substitutionen³ Ý ¬ Þ · Ú ¼ · ³ Ý ³ Þ ¬ Ý · Û ¼ · ³ Þ (5)liefert nach Anwendung der Kettenregel mit (1)(4) ÜÝ ³ Ý ³ × × Ý Ó× « ÜÞ ³ Þ ³ × × Þ ×Ò «(6)Hierin stellt ´×µ die über den Querschnitt konstante Schubspannung dar, während mitØ´×µ der Schubfluss definiert ist. ´×µ ³ × Ø´×µ (7)Die Gleichgewichtsbedingungen, formuliert in den Spannungen, können der Literatur,z.B. [1], entnommen werden. An den freien Rändern × × müssen die Schubspannungenverschwinden. Hieraus kann das Randwertproblem folgendermaßen definiert werden:mit × · ¼ Ü ³ ×× · ¼ Ü ¼ ¼ Ü ´¬ ¼¼Þ Ý ´× µ ¼wobei Ò gilt und ein Bezugsmodul ist.(8)¬¼¼Þ ݵ Ò ´ Ý Ý · Þ Þµ (9)Für die Berechnung der Konstanten Ý und Þ werden zunächst die Querkräfte über dieBiegemomente definiertÉ Ý Å ¼ Þ ¼ Ü Ý d´µÉ Þ Å ¼ Ý ´µ(10) ¼ ÜÞ d

sowie mit Gl. (9)É ÝÉ ÞѽÑÒ Ò ´ µ½´ µ´ Ý Ý ¾ · Þ ÝÞµ d℄´ Þ Þ ¾ · Ý ÝÞµ d℄ wobei die Elementfläche darstellt. Werden nun die ideellen FlächenträgheitsmomenteÁ Ò Ý Ñ ½Ò Þ ¾ d℄ Á Ò Þ Ñ ½Ò ÑÝ ¾ d℄ Á Ò ÝÞ Ò ½(11)ÝÞ d℄ (12)´ µ´ µ´ µeingeführt, kann das Gleichungssystem (11) für die unbekannten Parameter Ý und Þgelöst werden: É ÝÁÝÒÝ ÁÝ Ò ÁÞÒÉ ÞÁ Ò Ý ÞÁ ÒÝ ÞÁ Ò Ý Þ É ÞÁ Ò É Þ ÝÁÝÞÒÞ ÁÝ Ò ÁÞÒ Á ÝÞÁ Ò ÝÞÒ (13)Das Integral der Schubspannungen (6) liefert die Querkräfte mit É ÝÉ Þ Ê´µ ÜÞ d Ê´µ ÜÝ d und3 VERSCHIEBUNGSMETHODEDer Querschnitt wird mit Ñ Zwei–Knoten Elementen diskretisiert, siehe Abbildung 2.Knoten müssen nur an Verzweigungen, an freien Rändern und bei Dickensprüngen angeordnetwerden. Die Elementkoordinaten sind Ö ½ Ý ½ Þ ½ und Ö ¾ Ý ¾ Þ ¾ . Die Längewird mit Ð bezeichnet und die Dicke ist für jedes Element konstant. Weiterhin wird dielokale normalisierte Koordinate ¼ ×Ð ½ eingeführt.z2t 2z 2y 2i zt 11s = lz 1y 1 yl yr nAbbildung 2: Zwei–Knoten ElementDie lineare inhomogene Differentialgleichung zweiter Ordnung ´µ ½ kann exakt gelöstwerden³ ³ · ³ Ô ½ · ¾ · ¿ ¾ · ¿ (14)

Die Konstanten ¿ und der Partikularlösung werden mitÝ Ý ½ ·¡Ý Ý ½ Ý ½ Ý × ¡Ý Ý ¾ Ý ½Þ Þ ½ ·¡Þ Þ ½ Þ ½ Þ × ¡Þ Þ ¾ Þ ½(15)zuberechnet. ¿ Ð ¾¾ Ò ´ Ý Ý ½ · Þ Þ ½ µ Ð ¾ Ò ´ Ý ¡Ý · Þ ¡Þµ (16)Die Konstanten ½ und ¾ werden durch die Freiheitsgrade ³ ½ ³´¼µ und ³ ¾ ³´½µ ½ ³ ½ ¾ ³ ¾ ³ ½ ¿ (17)auf Elementebene ausgedrückt. Anschließend kann der Schubfluss Ø´µ mit (7) und (14)wie folgt bestimmt werden:Ø´µ ³ × ´ ¾ ·¾ ¿ ·¿ ¾ µ (18)ÐDie Auswertung des Schubflusses Ø´µ an den Stellen ¼und ½liefert mit (17) dieWerte an den Knoten Ø ½ Ø´¼µ und Ø ¾ Ø´½µØ½Ø ¾ ÐØ Ú ½ ½½½ ³½³ ¾ Ð ¿ ¿ ¾ Mit der Topologiematrix werden, wie in der Finite–Element–Methode üblich, die Beziehungenzwischen den Einzelelementen und dem Gesamtsystem hergestellt(19)Ú Î Ì Ì Ø (20)Die Anzahl der Elemente von Î entspricht der Anzahl der Knoten. Ì bezeichnet denglobalen Schubflussvektor des Elements . Das Gleichgewicht in Stablängsrichtung fordert,dass die Summe der Schubflüsse an jedem Knoten Null ergibt. Mit Gl. (19) und (20)folgt hierausÑ½Ì ÃÎ ¼ (21)Die globale Steifigkeitsmatrix à und der Lastvektor ergeben sich aus bekannten Assemblierungsprozedurenà ѽ Ì Ñ½ Ì (22)Das Gleichungssystem (21) kann gelöst werden, wenn einem beliebigen Knoten eineRandbedingung Î Á ¼gesetzt wird. Unterschiedliche Knoten liefern jeweils andere Lösungenfür Î, welche sich jedoch nur um eine Konstante unterscheiden. Dies beschreibteine Starrkörperbewegung, die keinen Einfluss auf die Schubspannungen hat.

Die Rückrechnung liefert mit (18) den Schubfluss und mit ´µ Ø´µ die Schubspannungenfür jedes Element. Es kann nun eine Einheitsverwölbung mitÊ´µ³ d ¼durch½³ ³ ³ d (23)eingeführt werden, wobei È Ñ½ gilt.Das Integral kann in einer Summe über die Elemente wie folgt berechnet werden:´µ³ d Ñ ½Damit hat der beliebige Punkt Á mit Î ÁSchließlich kann ³ mit (5) in der Form´µÐ ´ ½ · ½¾ ¾ · ½¿ ¿ · ½ µ (24) ¼ keinen Einfluss auf das Ergebnis für ³.³´Ý Þµ ´ ¬ Þ · Ú ¼ µÝ ·´¬ Ý · Û ¼ µÞ · ³´Ý Þµ (25)dargestellt werden. Hierin beschreibt ³ den nichtlinearen Anteil der Wölbfunktion undderen Ableitung den nichtlinearen Teil der Schubspannungen.4 SCHUBMITTELPUNKTDie Lage des Schubmittelpunktes Å mit den Koordinaten Ý Å Þ Å kann aus der BedingungÉ Þ Ý ÅÉ Ý Þ Å ´µ´ ÜÞ Ý ÜÝ Þµ d ´µ ´Ý ×Ò « Þ Ó× «µ d (26)mit den Querkraftschubspannungen gemäß Gl. (6) bestimmt werden. Die Integration liefert´µÝ ×Ò « d ѽ ×Ò « Ý ½ ´ ¾ · ¿ · µ·¡Ý ´½ ¾ · ¾ ¿ · ¿ µ ¾ ¿ sowie einen analogen Ausdruck für Ê´µ ÞÓ× « d. Zur Bestimmung von Å müssenzwei separate Berechnungen durchgeführt werden. So erhält man Ý Å aus É Ý ¼ undÉ Þ ½während Þ Å aus der umgekehrten Belastung folgt.Unter Verwendung der Betti–Maxwell’schen Reziprozitätsbeziehungen hat Weber in [6]gezeigt, dass die Koordinaten von Schubmittelpunkt und Drillruhepunkt identisch sind,siehe auch Trefftz [7]. Darauf aufbauend können die Koordinaten Ý Å und Þ Å auch wiefolgt ermittelt werden(27)Ý Å Ê Ò Ý ÁÞÒÁÝ Ò ÁÞÒÊÒ Þ Á Ò ÝÞÁ ÒÝ ÞÁ Ò Ý ÞÞ Å ÊÒ Þ ÁÝÒÁÝ Ò ÁÞÒÊÒ Ý Á Ò Ý ÞÁ ÒÝÞÁ Ò ÝÞ (28)Im Folgenden werden nun die Wölbmomente unter Verwendung der Wölbfunktion ´Ý Þµder Saint–Venant’schen Torsionstheorie eingeführt:ÑÊ Ò Ý Ò ½ÑÞ d℄ Ê Ò Þ Ò ½Ý d℄ (29)´ µ´ µ

Zu diesem Zweck werden die Schubspannungen aus der Saint-Venant’schen Torsion inden Ableitungen von ´Ý Þµ und der Verdrillung dargestellt, siehe z.B. [1] ÜÝ ´ Ý Þµ Ó× « ÜÞ ´ Þ ·Ýµ ×Ò «(30)Die Schubspannungen ´×µ und der zugehörige Schubfluss Ø´×µ folgen aus ´×µ ´ × Ö Ò µ Ø´×µ (31)Die Elementkoordinaten Ý Þ können auch in der Form Ý Ö Ò ×Ò « und Þ Ö Ò Ó× «angegeben werden. Hierin lässt sich der orthogonale Abstand Ö Ò aus den Elementkoordinatenbestimmen, siehe Abbildung 2Ö Ò sign ´Þ Ò ¡Ý Ý Ò ¡Þµ Ö Ò mit Ö Ò Ý Ò Þ Ò Ö Ò Ö ½ · Ò Ò Ò Ö ½ ¡ Ò Ò ´Ö ¾ Ö ½ µÐ (32)Das Gleichgewicht in Längsrichtung mit Ü ¼ und die Spannungsrandbedingungen derSaint–Venant’schen Torsionstheorie lauten × ×× ¼ ´× µ¼ (33)Die Lösung dieser Differentialgleichung ist nun wiederum ´µ ½ · ¾ . Die Konstantenwerden durch die Elementfreiheitsgrade ½ ´¼µ und ¾ ´½µ in der Form ½ ½ und ¾ ¾ ½ bestimmt. Aus Gl. ´¿½µ ¾ und mit einem linearen Verlaufvon folgt, dass Ø´×µ in jedem Element konstant ist. Aus der Randbedingung ´¿¿µ ¾ folgtfür offene Teile des Querschnitts Ø ¼. Daher tragen nur die geschlossenen Teile desQuerschnitts zur Abtragung eines Torsionsmomentes bei.Die Berechnung von ´¿½µ ¾ liefert den Schubfluss an den Knoten Ø ½ Ø½Ø ¾´ ÐØ Ú ½ ½½½ ½ ¾ Ø´¼µ und Ø ¾ Ø´½µµÖ ÒÖ ÒDas weitere Vorgehen ist analog zu den Gl. (20) - (22). Ohne Beschränkung der Allgemeinheitkann ½gesetzt werden.ÊDie Einheitsverwölbung ist als ´µ d definiert. Aus dem Verlauf ´×µkönnen nun die Wölbmomente bestimmt werden. Es folgtÑ Ê Ò Þ Ò Ð Ý ½ ´ ½ · ½ ¾µ·¡Ý ´½ ½ · ½ ¾µ (35)¾ ¾ ¿½und ein analoger Ausdruck für Ê Ò Ý. Daher können nun beide Koordinaten aus Gl. (28) ineinem Schritt berechnet werden.(34)

5 BEISPIELEDie entwickelten Beziehungen wurden unter Visual Basic programmiert und lassen sichals Macro unter Excel aufrufen. Es werden zwei Beispiele präsentiert. Während im erstenBeispiel bei den Ergebnissen die Umsetzung in Excel präsentiert wird, ist im zweitenBeispiel der Einfluss unterschiedlicher Materialien gezeigt.5.1 Zweizelliger QuerschnittDas erste Beispiel, siehe Abbildung 3, ist [2] entnommen. Das betrachtete unsymmetrischeProfil hat offene und zwei geschlossene Bereiche. 9 Knoten und 10 Elementesind für eine Diskretisierung notwendig. Die Berechnung erfolgt für É Þ ½¼¼¼ kNund ½ kN/cm ¾ . In den nachfolgenden Abbildungen 4 und 5 sind zunächst die Programmhauptseiteund die Elementierung des Systems dargestellt. Die berechneten Ergebnissesind in den Abbildungen 6,7 und 4 angegeben. Zunächst zeigt Abbildung 6 dieberechneten Schubspannungen. Hierbei sind jeweils auch die Maximalwerte in den Stegenermittelt. Die Lösung ist exakt und stimmt mit der Handrechnung in [2] überein.Die zugehörige Wölbfunktion ³ ist in Abbildung 7 dargestellt, während die berechnetenQuerschnittswerte in Abbildung 4 folgen.zh=1,2 h=2,0 s h=1,6 h=1,2s s zsssyh=1,0sh=1,0sh=2,0Ss31,46100 100 200100yh=1,6sh=1,0 ½¼ ¼ cm ¾ Á Ý ½¾½ ¾ cm Ý Å ¿ ½ cm Á Þ ¾¼ cm Þ Å ½ ½ cm Á ÝÞ ¿¼ cm 65,73100100200Maße in cmAbbildung 3: Zweizelliger Querschnitt

Abbildung 4: Hauptseite des Excel-Programms und berechnete QuerschnittswerteAbbildung 5: Zweizelliger Querschnitt: SystemAbbildung 6: Zweizelliger Querschnitt: Schubspannungen ´×µ in kN/cm ¾

Abbildung 7: Zweizelliger Querschnitt: Wölbfunktion ³ in Ñ5.2 VerbundquerschnittDer in Abbildung 8 dargestellte Verbundquerschnitt besteht aus Stahl und Beton und ist[3] entnommen. Die Verhältnisse der Elastizitätsmoduli und Schubmoduli sind × und × . Als Bezugsmodul wird × gewählt. Um Überschneidungenzu vermeiden wurde in [3] zwischen Betonplatte und Stahlstegen ein Zwischenraumder Länge Ð ½¾ cm und verschwindender Dicke eingeführt, siehe Abbildung 8.Ohne Berücksichtigung der Symmetrie wird eine Diskretisierung mit 8 Knoten und 6Elementen gewählt. Für die Knoten am Übergang wird dabei die gleiche Wölbordinateerzwungen. Die Querkraft wird zu É Ý ¿¿¾¿¼ kN angenommen, so dass sich eineKonstante Ý ½ ergibt. Die Schubmittelpunktskoordinaten werden wiederum mit Gl.50 50 50 5025h=25 ss12.52.51.5[cm]80sh=2.5zysh=1.580 × ¾½¼¼¼ kN/cm ¾ Á Ò Þ ¿¿¾¿¼ cm Þ Ë ¿ cm × ½¼¼¼ kN/cm ¾ Þ Å ½ cmAbbildung 8: Verbundquerschnitt

(26) oder (28) ermittelt. Wegen der Symmetrie folgt Ý Å ¼. Die berechneten Schubflüssesind in Abbildung 9 dargestellt und stimmen mit denen in [3] überein. Weiterhin ist dieWölbfunktion ³ in Abbildung 10 dargestellt.-1242.8 -1242.816447.4 16447.417690.223172.617690.24757.2 4757.27882.2Abbildung 9: Verbundquerschnitt: Schubfluss Ø´×µ in kN/cm31.3521.96-21.96 -31.3513.03 -13.03Abbildung 10: Verbundquerschnitt: Wölbfunktion ³ in cm6 SCHLUSSFOLGERUNGENEs ist ein Verschiebungsgrößenverfahren für die numerische Berechnung der Schubspannungenaus Querkraft in beliebigen dünnwandigen Querschnitten entwickelt worden. DasVerfahren führt zu einfachen Zweiknotenelementen und lässt sich sehr leicht auf einer beliebigenProgrammierplattform umsetzen. Die ermittelten Spannungen sind im Rahmender zugrunde liegenden Theorie exakt. Bei mehrfach zusammenhängenden Querschnittenwerden die Kontinuitätsbedingungen an Verzweigungen automatisch erfüllt. Weiterhinwerden die Schubmittelpunktskoordinaten berechnet. Das entwickelte Verfahren wurdean aus der Literatur bekannten Beispielen überprüft.

LITERATUR[1] Timoshenko, S. P., Goodier, J. N. 1984. Theory of Elasticity. London: McGraw–Hill.[2] Petersen, C. 1988. Stahlbau. Braunschweig, Wiesbaden: Vieweg.[3] Friemann, H. 1993. Schub und Torsion in geraden Stäben. Düsseldorf: Werner.[4] Gruttmann, F., Wagner, W., Sauer, R. 1998. Zur Berechnung der Schubspannungenaus Querkräften in Querschnitten prismatischer Stäbe mit der Methode der finitenElemente. Bauingenieur 73:485–490.[5] Gruttmann, F., Wagner, W. 2001. Shear correction factors in Timoshenko’s beamtheory for arbitrary cross-sections. Computational Mechanics 27:199–207.[6] Weber, C. 1926. Übertragung des Drehmoments in Balken mit doppelflanschigemQuerschnitt. ZAMM 6:85–97.[7] Trefftz, E. 1935. Über den Schubmittelpunkt in einem durch eine Einzellast gebogenenBalken. ZAMM 15:220–225.