4) Zusammensetzen und Zerlegen von Kräften in der Ebene - Goepf ...

BAULEITER HOCHBAUS T A T I K / F E S T I G K E I T S L E H R E4) ZUSAMMENSETZEN UNDZERLEGEN VON KRAEFTENIN DER EBENE1) Kräfte greifen in einem Punkt ana) Zusammensetzen (Reduktion) von Kräften - graphischb) Zusammensetzen (Reduktion) von Kräften - analytischc) Zerlegen von Kräften - graphisch2) Kräfte greifen an verschiedenen Punkten anGraph. Methode für die Reduktion beliebig vieler Kräfte3) Das statische Moment und das Kräftepaar4) Analytische Bestimmung der Resultierenden bei Kräftenmit parallelen WirkungslinienGöpf Bettschen

Statik - Zusammensetzen und Zerlegen von Kräften - göpf bettschen - Seite 21) Kräfte greifen in einem Punkt ana) Zusammensetzen (Reduktion) von Kräften - graphische MethodeWirken auf einen Körper an einer Stelle mehrere Kräfte, so kann man diese zu einer Kraftzusammenfassen. Man bezeichnet diese zusammengefasste Kraft dann als resultierendeKraft. Diese kann man sowohl grafisch als auch rechnerisch bestimmen.Zusammensetzen von Kräften in einer EbeneZuerst einen Kräftemassstab wählen. Dannreiht man die Kräfte aneinander, indem derAnfangspunkt der folgenden Kraft mit demEndpunkt der vorliegenden Kraft zusammenfällt.Die Reihenfolge der Kräfte spielt dabeikeine Rolle, selbstverständlich muss jedochderen Wirkungsinn berücksichtigt werden.F1 F2 F3Die Resultierende ist dann die Verbindung vom Anfangspunkt der ersten Kraft zumEndpunkt der letzten Kraft.Beispiel 1-a:F1 = 4 kNF2 = 10 kNF3 = -8 kNF3F1F2Massstab für Lösung: 1 cm = 2 kNZusammenfassung:Wenn an einem Körper mehrere Kräfte angreifen, so können sie durcheine einzige Kraft ersetzt werden, welche auf den Körper die gleicheWirkung ausübt, wie die Gesamtheit der anderen Kräfte.Man nennt dann diese Kraft die Resultierende der Kräftegruppe und die einzelnen Kräftewelche sie ersetzt die Komponenten.Die Kräfte greifen in einem Punkt an,liegen aber nicht mehr auf der gleichen Wirkungslinie- zwei Kräfte:ASBFDie Physik lehrt uns, dass ein quer zur Stromrichtungvorwärtsgetriebenes Boot in seiner Bewegung und damitin seinem Zielort von der vorwärtstreibenden Kraft undder Strömung bestimmt wird. Dabei seien die StrömungS und die das Boot vorwärtstreibende Kraft F währendder Überquerung von konstanter Grösse.Von Isaac Newton ( 1642 - 1727 ) stammt die klassische Formulierung desKräfteparallelogramms:CSARFZB“Wird ein Körper von zwei Kräften gleichzeitig ergriffen,von welchen die eine die Bewegung AB, die andere dieBewegung AC in derselben Zeit hervorrufen würde, sobewegt sich der Körper in derselben Zeit nach AZ”

Statik - Zusammensetzen und Zerlegen von Kräften - göpf bettschen - Seite 3F1F2R(12)Die vorher gezeigte Formulierung des Kräfteparallelogrammsgilt allgemein für das Zusammensetzen vonzwei KräftenWenn die Kräfte nicht auf der gleichen Wirkungslinieliegen, wird analog wie vorher vorgegangen.R(12) ist die Diagonale, welche durch dasParallelogramm F1 und F2 gebildet wird.- mehrere Kräfte:Auch hier werden die Kräfte nach obigen Regeln in einer beliebigen Reihenfolgeaneinandergereiht.F2 F3LageplanKräfteplanF1F2R(12)4F4F4F3F1 R(23)R

Statik - Zusammensetzen und Zerlegen von Kräften - göpf bettschen - Seite 6Göpf Bettschen23-Nov-03Berechnungvon Resultierenden18090yF10 GradF3270F2HorizontallasteVertikallasten nBezeichnung Kraft F alphaLastfakt. x Fv x * Fv y Fh y * Fh0.0F1 4.00 30.00 1.00 0.00 2.00 0.0 0.00 3.46 0.0F2 5.00315.00 1.00 0.00 -3.54 0.0 0.00 3.54 0.0F3 8.00240.00 1.00 0.00 -6.93 0.0 0.00 -4.00 0.0F4 6.00180.00 1.00 0.00 0.00 0.0 0.00 -6.00 0.00.00 0.0 0.00 0.0S u m m e n -8.46 0.0 -3.00 0.0xyK o o r d i n a t e nres. = 0.00res. = 0.00R e s u l t i e r e n d e R = 8.98alpha= 19.52Resultierende auf x - Achse x = 0.00Dieses Excel-Programm dient auch zur analytischen Bestimmung der Resultierenden wenndie Kräfte an verschiedenen Punkten angreifen (siehe Kapitel 2), dann müssen einfach dieentsprechenden x- und y- Abstände vom selber gewählten Nullpunkt eingegeben werden.

Statik - Zusammensetzen und Zerlegen von Kräften - göpf bettschen - Seite 7c) Zerlegen von Kräften - graphische MethodeDas Zerlegung geschieht wieder nach dem Parallelogrammprinzip;wir legen je durch den Anfangspunkt und den Endpunkt der gegebenen Kraft eine Richtung;durch den Schnittpunkt der beiden Richtungen werden die einzelnen Beträge auf denRichtungen bestimmt.2) Kräfte greifen an verschiedenen Punkten anGraphische Methode für die Reduktion beliebig vieler KräfteEs ist für den Körper unbedeutend,wo die Kraft F1 angreift, sie mussaber unbedingt auf der gleichenWirkungslinie liegen.Wir können daraus schliessen:Eine Kraft kann auf ihrer Wirkungslinie verschoben werden. Ohne dass sich IhreWirkung auf den Körper ändert, sofern der Angriffspunkt in Richtung der Wirkungsliniestarr mit dem Körper verbunden ist.* Zusammensetzen von zwei KräftenDie Kräfte F1 und F2 werden auf Ihren Wirkungslinien verschoben, bis sie sich im Punkt Aschneiden. Durch diesen Punkt A muss ebenfalls die Resultierende R (12) gehen.

Statik - Zusammensetzen und Zerlegen von Kräften - göpf bettschen - Seite 8* Schrittweises Zusammensetzen mehrerer KräfteGrösse und Richtung der Resultierenden findet man wieder durch Aneinanderreihen derKräfte im Kräfteplan.Die Lage lässt sich dann in der Hauptfigur durch schrittweis - paarweises Zusammensetzender Einzelkräfte ermitteln.So ergeben z.B. im obigen Bild die Kräfte F1 und F2 die Teilresultierende R(12), die durchden Schnittpunkt a dieser beiden Kräfte verlaufen muss. R(12) mit F3 ergibt dieTeilresultierende R(123), die durch den Schnittpunkt b von R(12) und F3 geht; und so fort, bisman zur letzten endgültigen Resultierenden R aller Kräfte gelangt.Wichtig:Die drei Kräfte, die im Kräfteplan ein Kräftedreieck bilden,müssen sich im Lageplan in einem Punkt schneiden.Im obigen Beispiel:Die drei Kräfte F1, F2 undR(1,2) im Lageplanentsprechen dem KräftedreieckF1, F2, R(1,2) im Kräfteplan

Statik - Zusammensetzen und Zerlegen von Kräften - göpf bettschen - Seite 9Schrittweises Zusammensetzen mehrerer KräfteGesucht: Die Resultierende der Kräfte F1, F2, F3 und F4LageplanGrösse und Richtung der Resultierenden findet man wie worher gezeigt, wieder durchAneinanderreihen der Kräfte im Kräfteplan.Die Lage lässt sich dann in der Hauptfigur durch schrittweis - paarweises Zusammensetzender Einzelkräfte ermitteln.Schritt 1) Schnittpunkt der Kräfte F1 und F2LageplanKräfteplan für Punkt aDie Richtung von R(1,2) durch Parallelverschieben vom Kräfteplan in den LageplanübertragenSchritt 2) Ersetzen von F1 und F2 durch die Resultierende R(1,2)LageplanSo ergeben z.B. die Kräfte F1 und F2 die Teilresultierende R(1,2), die durch den Schnittpunkta dieser beiden Kräfte verlaufen muss. R(1,2) mit F3 ergibt die Teilresultierende R(1,2,3), diedurch den Schnittpunkt b von R(12) und F3 geht; und so fort, bis man zur letzten endgültigenResultierenden R aller Kräfte gelangt.Wichtig:Die drei Kräfte, die im Kräfteplan ein Kräftedreieck bilden,müssen sich im Lageplan in einem Punkt schneiden.

Statik - Zusammensetzen und Zerlegen von Kräften - göpf bettschen - Seite 10Im obigen Beispiel:Die drei Kräfte F1, F2 undR(1,2) im Lageplanentsprechen dem KräftedreieckF1, F2, R(1,2) im KräfteplanSchritt 3) Schnittpunkt der Kräfte R(1,2) und F3LageplanKräfteplan für Punkt bSchritt 4) Ersetzen R(1,2) und F3 durch Resultierende R(1,2,3)LageplanAm Körper greifen also jetzt nur noch die zwei Kräfte R(1,2,3) unf F4 anSchritt 5) Schnittpunkt der Kräfte R(1,2,3) und F4LageplanKräfteplan für Punkt cSchritt 6) Eintragung der Gesamtresultierenden Rim LageplanDie Resultierende R ersetzt die vorherigen Kräfte F1, F2, F3,und F4.Sie ist in Lage, Richtung und Grösse graphisch bestimmt wordenIn der Praxis werden die vorher aufgezeigten Einzelschritte alle im gleichen Lageplanund im gleichen Kräfteplan eingezeichnet.

Statik - Zusammensetzen und Zerlegen von Kräften - göpf bettschen - Seite 11Man kann so die bessere Genauigkeit erreichen und ist auch schneller. Der Vorgang inEinzelschritten bleibt aber genau wie oben aufgeführt.Lageplan M 1: ……..Kräfteplan1 cm entspricht ……. kNDie drei Kräfte, die imKräfteplan ein Kräftedreieckbilden,müssen sich im Lageplan ineinem Punkt schneiden.Die Resultierende Rersetzt die Kräfte F1,F2, F3,und F4.Sie ist in Lage,Richtung und Grössebestimmt.

Statik - Zusammensetzen und Zerlegen von Kräften - göpf bettschen - Seite 12Vier Beispiele zur graphischen Bestimmung von Resultierenden:

Statik - Zusammensetzen und Zerlegen von Kräften - göpf bettschen - Seite 13LösungenBeispiel 2-a: StützmauerGesucht: Die Resultierende aus Eigengewicht und ErddruckMauerteil M1Mauerteil M2ErddruckFundament FAufteilung vom Mauerquerschnitt in Rechtecke und Dreiecke.Berechnung der Teil-Eigengewichte und dem Erddruck pro m’MauerHorizontaler Erddruck: 1.0 ∙ 13.0 = 13.0 kN/m’Eigengewichte Mauer: (Stahlbeton γ = 25.kN/m 3 )Mauerteil M1: 1.0 ∙0.2 ∙ 1.6 ∙ 25 = 8.0 kN/m’Mauerteil M2: 1.0 ∙1/2 ∙ 0.16 ∙ 1.6 ∙ 25 = 3.2 kN/m’Fundament F: 1.0 ∙0.5 ∙ 0.8 ∙ 25 = 10.0 kN/m’

Statik - Zusammensetzen und Zerlegen von Kräften - göpf bettschen - Seite 14Schrittweises Zusammensetzen der Kräfte- E und M1 → Resultierende a im KräfteplanDann a vom Kräfteplan parallel in Lageplan verschieben- a und M2 → Resultierende b im Kräfteplandann b vom Kräfteplan parallel in Lageplan verschieben- b und F → Gesamtresultierende R im Kräfteplandann R vom Kräfteplan parallel in Lageplan verschiebenM1, M2 und F wirken in denSchwerpunkten derTeilflächen.

Statik - Zusammensetzen und Zerlegen von Kräften - göpf bettschen - Seite 15Beispiel 2-b: Resultierende von drei KräftenSchrittweises Zusammensetzen der Kräfte- 30 kN und 50 kN → Resultierende R1 im KräfteplanDann R1 vom Kräfteplan parallel in Lageplan verschieben- R1 und 40 kN → Resultierende R im Kräfteplandann R vom Kräfteplan parallel in Lageplan verschiebenDie drei Kräfte, die imKräfteplan einKräftedreieck bilden,müssen sich im Lageplanin einem Punkt schneiden.

Statik - Zusammensetzen und Zerlegen von Kräften - göpf bettschen - Seite 16Beispiele 2-c und 2-d: Resultierende von KräftenDarstellungen sind nichtmassstabsgetreu !

Statik - Zusammensetzen und Zerlegen von Kräften - göpf bettschen - Seite 183) Das statische Moment und das KräftepaarUm das folgenden Kapitel (analytische Berechnung der Resultierenden) zu verstehen, mussvorher der Begriff vom statischen Moment bekannt sein.* Das statische MomentDefinition :Das statische Moment einer Kraft bezüglicheines Punktes P ist das Produkt aus Kraftbetragmultipliziert mit dem senkrechten Abstand ades Punktes auf die Wirkungslinie der Kraft F.F.PaMoment = Kraft x HebelarmM = F x aDas statische Moment hat die Dimension : Nm ( kN m, N mm).Uhrzeigersinn positiv + , Gegenuhrzeigersinn negativ -.(Je nach Drehsinn kann also das Moment negativ oder positiv sein ).z.B: F= 8.0 kN, a = 3.0 m,(Drehung in diesem Beispiel: Gegenuhrzeigersinn)→ Das Drehmoment M um den Punkt P beträgt also M P = - 8.0 x 3.0 = - 24 kNm* Das KräftepaarZwei Kräfte mit gleichem Betrag, die auf zwei parallelen Wirkungslinien liegen undentgegengesetzten Wirkungsinn haben, nennt man ein Kräftepaar.Die Summe von F1 und F2 beträgt 0.Berechnet man aber die statischenMomente um zwei beliebige Punkte, soerhält man folgende Resultate :P2P1M P1 = - F1 x + F2 (x+5) = -2x + 2x + 2.0 5.0 = +10 kNmM P2 = 2.0 5.0 = 10.0 kNmDie obigen Resultate zeigen, dass die Momentensumme auf einen beliebigen Punkt immerkonstant bleibt. Diese beiden Kräfte wollen den Körper nicht verschieben, sondern verdrehen.Man sagt, dass diese beiden Kräfte zusammen ein Kräftepaar bilden.Definition: Zwei Kräfte mit gleichem Betrag, die auf zwei parallelen Wirkungslinien imAbstand a liegen und entgegengesetzten Wirkungsinn haben, nennt manein Kräftepaar.Das Kräftepaar hat die Grösse eines Momentes F a.Ein Kräftepaar a kann nur durch ein Kräftepaar b ersetzt werden.

Statik - Zusammensetzen und Zerlegen von Kräften - göpf bettschen - Seite 194) analytische Bestimmung der Resultierenden beiKräften mit parallelen WirkungslinienOft schneiden sich die Kräfte nicht mehr auf der Zeichenfläche oder sind sogar parallel, sogibt es bei deren Wirkungslinien keinen Schnittpunkt. Um die Resultierende graphisch zubestimmen, kann die Lösung mit dem Seilpolygon erarbeitet werden (siehe Kap. 2).Das ganze ist etwas aufwändig, einfacher kann man aber die Resultierende bei parallelenKräfte anhand folgender analytischer Methode bestimmen:1) Wir kennen die Lage und Grösse der einzelnenKräfte:2) Wir können also das statische Moment aller dieserKräfte um einen von uns gewählten Punkt rechnen.Also: F1 x1 + F2 x2 + ….3) Wir kennen die Grösse der Summe aller Kräfte:R = F1 + F2 + ….4) Diese Resultierende ersetzt ja die Einzelkräfte, sie istalso gleichbedeutend wie alle Einzelkräfte zusammen5) Das statische Moment R x res um den gleichen Punktist deshalb gleich gross wie das statische Momentaller Einzelkräfte um diesen Punkt.6) x res ist also die einzige Unbekannte.7) Aus F1 x1 + F2 x2 + … = R x res ergibt sich so x res = F1 x1 + F2 x2 + … / Roder x res = Summe (Fn xn) / Summe aller KräfteDrehung im Uhrzeigersinn : +Drehung im Gegenuhrzeigersinn : -x+Für die Bestimmung von Auflagerkräften (siehe nächstes Kapitel) wird die Kenntnis vomstatischen Moment und die Methode der analytische Berechnung von Resultierendenvorausgesetzt.

Statik - Zusammensetzen und Zerlegen von Kräften - göpf bettschen - Seite 20Beispiel:Die Resultate um die drei frei gewählten Punkte zeigen folgendes:Die Lage des Drehpunktes hat keinen Einfluss auf das Resultat - Lage und Grösse derResultierenden sind immer gleich. Es müssen aber immer die Momente mit den Vorzeichengemäss Drehsinn und die Distanz x res vom gewälten Drehpunkt aus eingezeichnet werden.Oft wird aus praktischen Gründen der Drehpunkt an der Stelle der ersten Kraft linksangenommen.