über die relationen für erzeuger einer spiegelungsgruppe und ...

ÜBER DIE RELATIONEN FÜR ERZEUGER EINERSPIEGELUNGSGRUPPE UND PARABOLISCHERUNTERGRUPPEN VON SPIEGELUNGSGRUPPEN19.05.2011SEMINARARBEITDENNIS DRUDE1

ERZEUGER UND RELATIONEN, PARABOLISCHE UNTERGRUPPEN 21. VorbemerkungIn dieser Ausarbeitung wollen wir die Relationen für Erzeuger einer Spiegelungsgruppeuntersuchen. Des Weiteren werden wir das Konzept der parabolischenUntergruppen von Spiegelungsgruppen kennenlernen. Diese Arbeit istTeil eines Proseminars und wir werden einige Ergebnisse aus anderen Ausarbeitungennutzen, welche wir kurz zitieren werden.Wir treffen folgende Vereinbarungen, um ständige Wiederholungen zu vermeiden.Wir meinen mit:(1) W eine endliche Spiegelungsgruppe, die durch Spiegelungen erzeugtwird.(2) Φ das Wurzelsystem aus Spiegelungsvektoren, welches mit den Spiegelungens α , α ∈ Φ, die Spiegelungsgruppe W erzeugt.(3) ∆ das einfache System (Menge der einfachen Wurzeln) im WurzelsystemΦ.(4) S die Menge aller einfachen Spiegelungen, also {s α , α ∈ ∆}. (Wir wissen,S erzeugt W . Siehe Satz 1 Vortrag Hakobyan)2. Erzeuger und RelationenSei m(α, β) die Ordnung von s α s β (s α , s β ∈ S) in W .Wir könnten ebenso m(s α , s β ) schreiben. Beachte: m(α, α) = 1.Es ist nun möglich eine Tabelle zu erstellen, die die entsprechenden Werte fürm(α, β) enthält.m(x, y) α β γ · · ·α 1 m(α, β) m(α, γ) · · ·β m(β, α) 1 m(β, γ) · · ·γ m(γ, α) m(γ, β) 1 · · ·. . . ... .Bemerkung 2.0.1. Wir stellen fest, dass diese Tabelle symmetrisch ist. Wenns α s β s α s β · · · s α s β = 1, folgt durch Multiplikation von s β s α · · · s β s α an der rechtenSeite der Gleichung, 1 = s β s α · · · s β s α und m(α, β) = m(β, α).

ERZEUGER UND RELATIONEN, PARABOLISCHE UNTERGRUPPEN 3Diese Tabelle lässt sich in eine Matrix übertragen.⎛⎞1 m(α, β) m(α, γ) · · ·m(α, β) 1 m(β, γ) · · ·⎜⎟⎝m(α, γ) m(β, γ) 1 · · · ⎠.. . . ..Bemerkung 2.0.2. Diese Matrizen werden auch Coxeter-Matrizen genannt.Für diese Matrizen gilt:(1) Für Einträge der Matrix gilt, M ii = 1, M ij > 1 ∈ N, wenn i ≠ j füri, j = 1, 2, . . . , n,(2) M ist symmetrisch und somit M = M T .Nun wollen wir zeigen, dass jede Identität in W , eine bestimmte Gestalt hat.Wir werden sehen, dass Ausdrücke s 1 · · · s r = 1 ∈ W (s i ∈ S), aus Ausdrücken(s α s β ) m(α,β) = 1 (α, β ∈ ∆) folgen. Dazu werden wir zunächst ein Lemma formulierenund uns klar machen, dass r in diesem Fall gerade sein muss.Bemerkung 2.0.3. Seien s 1 , . . . , s r ∈ S. Es gilt det(s i ) = −1 und det(Id) =1. Da det ein Gruppenhomomorphismus bezüglich Gl(n, R) und R ist, erhaltenwir det(s 1 · · · s r ) = det(s 1 ) · · · det(s r ) = (−1) r = 1 = det(Id) und es folgt, dassr = 2q, q ∈ N.Lemma 2.0.4. Seien s 1 , . . . , s r ∈ S, r = 2q, q ∈ N.Betrachte die folgenden Identitäten:(a) s 1 · · · s r = 1.Für 1 ≤ i < j ≤ q + 1:(b i,j ) s i+1 · · · s j = s i · · · s j−1 (⇔ s i+1 · · · s j s j−1 · · · s i = 1),(c i,j ) s 1 · · · ŝ i · · · ŝ j · · · s r = 1.Dann gelten die folgenden Implikationen:1) (a) ⇒ ∃ 1 ≤ i < j ≤ q + 1 mit (b i,j ) und (c i,j ),2) (b i,j ) und (c i,j ) ⇒ (a).

ERZEUGER UND RELATIONEN, PARABOLISCHE UNTERGRUPPEN 4Beweis. Zeigen 1). Es gelte (a).Wir wissen s 1 · · · s r = 1 ⇔ s 1 · · · s q+1 = s r · · · s q+2 .Für die Längen der Ausdrücke gilt, l(s 1 · · · s q+1 ) ≤ q + 1 und l(s r · · · s q+2 ) ≤q − 1, demnach ist s 1 · · · s q+1 kein reduzierter Ausdruck und wir finden nachSatz 1.1 (Vortrag Weis) Indizes 1 ≤ i < j ≤ q + 1, sodass:s i+1 · · · s j = s i · · · s j−1 , d.h. (b i,j ).In (a) folgt nun aus (b i,j ):1 (a) (b i,j )= s 1 · · · s r = s 1 · · · s i (s i · · · s j−1 )s j+1 · · · s r = s 1 · · · ŝ i · · · ŝ j . . . s r ,d.h. (c i,j ).Zu 2). Es gelte (b i,j ) und (c i,j ).1 (c i,j)(b i,j )= s 1 · · · ŝ i · · · ŝ j · · · s r = s 1 · · · s i (s i · · · s j−1 )s j+1 · · · s r = s 1 · · · s r , d.h.(a).□Proposition 2.0.5. Seien s 1 , . . . , s r ∈ S, r = 2q, q ∈ N.Betrachte die Identitäten:(d α,β ) (s α s β ) m(α,β) = 1 α, β ∈ ∆.Wenn s 1 · · · s r = 1 gilt, dann lässt sich dies aus entsprechenden (d α,β ) undden Gruppenaxiomen folgern.Beweis. Wir wollen die Proposition mit einer Induktion über r zeigen:Induktionsbehauptung:Ausdrücke der Form s 1 · · · s rGruppenaxiomen herleiten.= 1 in W lassen sich aus den (d α,β ) und denInduktionsanfang: r=2Es gilt s 1 s 2 = 1 ⇔ s 1 s 1 = 1 = s 2 s 2 und daraus folgt m(s 2 , s 2 ) = 1 undm(s 1 , s 1 ) = 1. Da wir äquivalente Ausdrücke betrachtet haben, folgt s 1 s 2 = 1aus (s 1 s 1 ) m(s 1,s 1 ) = 1 und der Induktionsanfang ist gezeigt.

ERZEUGER UND RELATIONEN, PARABOLISCHE UNTERGRUPPEN 5Induktionsvoraussetzung:Die Behauptung gelte für Ausdrücke wie oben mit weniger als r einfachen Spiegelungen.Induktionsschritt: r − 2 → r(a) s 1 · · · s r = 1 ist äquivalent zu jeder der folgenden Identitäten:(a (k) ) s k · · · s r s 1 · · · s k−1 = 1 für 1 ≤ k ≤ r.Beachte: s 1 · · · s r = 1 ⇔ s 1 · · · s r−1 = s r ⇔ s r s 1 · · · s r−1 = 1 usw.Setze: s (k)1 := s k , . . . , s (k)r−k+1 := s r, s (k)r−k+2 := s 1, . . . , s r(k) := s k−1 und(b (k)i,j ) s(k) i+1 · · · s(k) j= s (k)i · · · s (k)j−1 sowie(c (k)i,j ) s(k) 1 · · · ˆ s(k) i · · · ˆ s(k) j · · · s (k)r = 1.Wenden wir nun das Lemma auf die (a (k) ) an, dann finden wir nach Satz1.1 (Vortrag Weis) Indizes 1 ≤ i (k) < j (k) ≤ q + 1 mit entsprechenden (b (k)i (k) ,j (k) )und (c (k)i (k) ,j (k) ).1. Fall Es existiert ein k mit 1 ≤ k ≤ r, sodass 2(j (k) − i (k) ) < 2q = r (Anzahlder einfachen Spiegelungen in den (b (k)i,j )’s). Dann finden wir(b (k)i (k) ,j (k) ) s (k)i (k) +1 · · · s(k) j (k)und= s (k)i (k) · · · s (k)j (k) −1⇔ s(k)· · · s (k)i (k) j (k) −1 s(k) · · · s (k)j (k) i (k) +1} {{ }weniger als r einfache Spiegelungen= 1(c (k)) s (k)i (k) ,j (k) 1 · · · ˆ s(k) i (k) · · · ˆ s(k) j (k) · · · s (k)r = 1.} {{ }weniger als r einfache SpiegelungenNach Induktion lassen sich (b (k) ) und (c (k) ) aus den (di (k) ,j (k) i (k) ,j (k) α,β ) herleiten.Dann gelten (b (k) ) und (c (k) ) ⇒ (a (k) ) ⇒ (a) und die Proposition ist füri (k) ,j (k) i (k) ,j (k)diesen Fall gezeigt.2. Fall Es gilt ∀ k mit 1 ≤ k ≤ r: i (k) = 1, j (k) = q + 1.Dann gilt:(b (k)1,q+1) s (k)2 · · · s (k)q+1 = s (k)1 · · · s (k)q ⇔ s (k)1 · · · s (k)q s (k)q+1 · · · s (k)2 = 1,} {{ }r einfache Spiegelungen

(c (k)1,q+1) s (k)ERZEUGER UND RELATIONEN, PARABOLISCHE UNTERGRUPPEN 61 · · · ˆ s(k) i (k) · · · ˆ s(k) j (k) · · · s (k)r = 1.} {{ }weniger als r einfache SpiegelungenWir können unser Lemma nicht anwenden, also werden wir zu (b (k)1,q+1) äquivalenteAusdrücke betrachten, und zwar:(∗ (k) ) s (k)2 (s (k)1 · · · s (k)q−1s (k)q ) (s (k)q+1 · · · s (k)3 )} {{ } } {{ }q+1 Spiegelungen q−1 Spiegelungenvon links multiplizieren)= 1 (s (k)2 von rechts an (b (k)1,q+1), dannNun können wir das Lemma wie gewohnt anwenden, denn aus (∗ (k) ) ⇒ (b (k)1,q+1)und aus (b (k)1,q+1) und (c (k)1,q+1) ⇒ (a), falls nicht folgendes gilt:(∗∗ (k) ) s (k)1 · · · s (k)q = s (k)2 s (k)1 s (k)2 · · · s (k)q−1 (“ 2. Fall “ von (∗ (k) ))} {{ } } {{ }q Spiegelungen q SpiegelungenWenn wir (∗∗ (k) ) aus den (d α,β ) folgern können, haben wir es geschafft. Wasbedeutet es also, wenn (∗∗ (k) ) für alle k mit 1 ≤ k ≤ r gilt. (∗∗ (k) ) bedeutet:s k · · · s q+k−1 = s k+1 s k s k+1 · · · s q+k−2 ,und (b (k)1,q+1) ∀ 1 ≤ k ≤ r heißt:s k · · · s q+k−1 = s k+1 · · · s q+k .Folglich gilt (b (k)1,q+1) auch für k − 1 mit k ≥ 2. Betrachte nun (b (k−1)1,q+1):s k−1 · · · s q+k−2 = s k · · · s q+k−1Dann folgt aus (∗∗ (k) ) und (b (k−1)1,q+1):s k−1 s k s k+1 · · · s q+k−2 = s k+1 s k s k+1 · · · s q+k−2 d.h.s k−1 = s k+1 für alle 2 ≤ k ≤ r − 1.Dann ist (a) von der Gestalt:s 1 · · · s r = (s 1 s 2 ) q = 1 ⇒ m(s 1 , s 2 ) = q und damit folgt s 1 · · · s r = 1 ausden (d α,β ).□

ERZEUGER UND RELATIONEN, PARABOLISCHE UNTERGRUPPEN 7Ausdrücke ∏ j∈J sk jj = 1 (s j ∈ S, k j ∈ Z) werden Relationen in W genannt.Wenn nun W durch eine Teilmenge S ⊂ W erzeugt wird und die oben erarbeitetenRelationen gelten, schreiben wir W = 〈 S | (s α s β ) m(α,β) = 1 〉 . JedeGruppe (ob endlich oder unendlich) mit solchen Relationen zwischen den Erzeugernbezüglich einer erzeugenden Menge S wird Coxeter Gruppe genannt.Genauer wird das Paar (W, S) ein Coxeter System genannt. Die Ordnungm(α, α) = 1 ist in jedem Fall notwendig, jedoch kann auf (s α , s β ) m(α,β) = 1verzichtet werden, um dem Produkt eine unendliche Ordnung zu ermöglichen.

ERZEUGER UND RELATIONEN, PARABOLISCHE UNTERGRUPPEN 83. Parabolische Untergruppen und kleinsteNebenklassenvertreterWir wissen nun über endliche Spiegelungsgruppen, dass sie durch eine kleineMenge von erzeugenden Spiegelungen erzeugt werden können. Diese einfachenSpiegelungen beziehen sich auf ein einfaches System von linear unabhängigenVektoren, welches sich auf das Wurzelsystem der endlichen Spiegelungsgruppebezieht. Was passiert nun, wenn wir aus der Menge der einfachen Spiegelungeneinige Spiegelungen entfernen?Definition 3.0.6. Definiere W I als Untergruppe von W für eine beliebige TeilmengeI ⊂ S, die durch die einfachen Spiegelungen s ∈ I erzeugt wird.Alle so entstandenen Untergruppen von W werden parabolische Untergruppengenannt.Weiter sei ∆ I := {α ∈ ∆|s α ∈ I} und Φ I := Φ∩V I , wobei V I := span(∆ I ) ⊂ V .Bemerkung 3.0.7. In den extremsten Fällen ist W ∅ = {1} und W S = W .Lemma 3.0.8. Sei w ∈ W . Wenn die einfachen Spiegelungen bzgl. ∆, dieSpiegelungsgruppe W erzeugen, dann erzeugen die einfachen Spiegelungen bzgl.w∆ die Spiegelungsgruppe wW w −1 .Beweis. Sei t ∈ W . Hier nutzen wir die Tatsache s tα = ts α t −1 , die aus Proposition2.1 (Vortrag Gemmeke) folgt.Es gilt nach Voraussetzung, für alle w ∈ W existiert eine Darstellung durcheinfache Spiegelungen s α ,α ∈ ∆ mit w = s α1 · · · s αr . Wenn wir mit t∆ eineSpiegelungsgruppe erzeugen, werden die Elemente der erzeugten Gruppeaus s tα gebildet. Es folgt w ′ = s tα1 · · · s tαr = ts α1 t −1 ts α2 t −1 · · · ts αr t −1 =ts α1 · · · s αr t −1 = twt −1 ∈ W ′ . Nun ist klar die durch t∆ erzeugte SpiegelungsgruppeW ′ ist tW t −1 .□Proposition 3.0.9. Sei I ⊂ S. Dann gilt:(1) W I wirkt wesentlich auf V I (lässt nur den Ursprung von V I fix). Φ Iist ein Wurzelsystem in V I und erzeugt die Spiegelungsgruppe W I , mitdem dazugehörigen einfachen System ∆ I .(2) Betrachtet man W I als Spiegelungsgruppe mit der Längenfunktion l Ibzgl. I und sei l die Längenfunktion bzgl. S (siehe Definition 1.6 VortragHakobyan). Dann gilt l = l I auf W I .

ERZEUGER UND RELATIONEN, PARABOLISCHE UNTERGRUPPEN 9(3) Definiere W I := {w ∈ W | l(ws) > l(w) ∀ s ∈ I}. Sei w ∈ W gegeben,dann existieren eindeutige u ∈ W I und v ∈ W I , sodass w = uv. Fürdie Länge gilt l(w) = l(u) + l(v). Zudem ist u das einzige Element inder Nebenklasse wW I mit minimaler Länge.Beweis. Zu (1).Wir zeigen: W I wirkt wesentlich auf V I = span(∆ I ).Sei 0 ≠ v ∈ V I mit v = ∑ c i α i (c i ∈ R, α i ∈ ∆ I ).Da v ≠ 0 ⇒ ∃c j ≠ 0, denn α i ≠ 0 gilt in jedem Fall (siehe Definition von∆, Vortrag Gemmeke). Wir finden dann eine einfache Spiegelung s αj mits αj (v) = s αj ( ∑ c i α i ) = ∑ c i s αj (α i ) ≠ v, da s αj (α j ) = −α j und die Darstellungeindeutig ist (∆ I ⊂ ∆ linear unabhängig). Also wirkt W I wesentlichauf V I .Wir zeigen: Φ I Wurzelsystem in V I (siehe Definition 2.4, Vortrag Gemmeke).Es gilt nach Definition Φ I ⊂ V I und Φ I ⊂ Φ. Sei α ∈ Φ I = Φ ∩ V I beliebig.Offensichtlich folgt α ≠ 0, da Φ I ⊂ Φ.Bedingung (R1):Nach Voraussetzung gilt: Φ ∩ Rα = {α, −α} ∀ α ∈ Φ ⇒ Φ ∩ Rα = {α, −α} ∀α ∈ Φ I ⇒ Φ I ∩ Rα = {α, −α} ∀ α ∈ Φ I .Bedingung (R2):Zu zeigen: s α Φ I = Φ I ∀ α ∈ Φ I .Es gilt ∀ α ∈ Φ : s α Φ = Φ ⇒ ∀ α ∈ Φ I : s α Φ = Φ ⇒ ∀ α ∈ Φ I : s α Φ I ⊂ Φ. Dawir Elemente aus Φ I als Linearkombination von Vektoren δ i ∈ ∆ I schreibenkönnen, folgt für alle α, β ∈ Φ I : s α β = ∑ c i δ i − 2 ∑ (δc i ,α)i α ∈ span(∆ (α,α) I). DieInklusion s α Φ I ⊂ Φ I ∀α ∈ Φ I ist gezeigt.Es folgt s α Φ I ⊃ Φ I ∀α ∈ Φ I .Sei γ ∈ Φ I , dann suchen wir für alle α ∈ Φ I ein β ∈ Φ I mit s α β = γ. DieGleichung s α β = γ ist äquivalent zu β = s α γ und s α γ ∈ Φ I ist bereits bekannt.Bleibt noch zu zeigen: ∆ I ist ein einfaches System (siehe Definition 1.4 VortragBudde).Es gilt ∆ I ⊂ ∆ und daher ist die Menge ∆ I linear unabängig. Aus der Definitionvon Φ I = Φ∩span(∆ I ) folgt, dass die Elemente aus Φ I durch den R-Spanvon ∆ I erzeugt werden können. Ebenso folgt, dass die Koeffizienten bei derDarstellung der Wurzeln aus Φ I als Linearkombination von einfachen Wurzelnaus ∆ I das selbe Vorzeichen haben, denn es gilt für ∆ bzgl. Φ und in Φ I ⊂ Φsind gerade nur die Wurzeln enthalten, die durch ∆ I dargestellt werden können.W I ist nach Definition die erzeugte Spiegelungsgruppe durch die einfachenSpiegelungen s α , α ∈ ∆ I . Wir wissen nach Satz 1 (Vortrag Hakobyan), dassdie einfachen Spiegelungen bzgl. eines Wurzelsystems die Spiegelungsgruppe

ERZEUGER UND RELATIONEN, PARABOLISCHE UNTERGRUPPEN 10erzeugen. Demnach ist Φ I das erzeugende Wurzelsystem.Zu (2).Wir wollen einmal die Eigenschaften der Längenfunktion l aufzeigen:l(w), w ∈ W ist die Anzahl der positiven Wurzeln, die durch w zu negativenWurzeln werden.Ähnliches gilt auch für l I , wobei die positiven Wurzeln im Bezug auf ∆ I , dieaus Φ + ∩ Φ I sind.Wenn wir eine Spiegelung mit Wurzel als Spiegelungsvektor auf eine Wurzelanwenden, erhalten wir wieder eine Wurzel. Für Wurzeln gilt zusätzlich, dassdie Koeffizienten einer Linearkombination einfacher Wurzeln um eine Wurzelzu erzeugen, immer das selbe Vorzeichen haben.Sei α ∈ Φ + \Φ I mit α = ∑ c i δ i (δ i ∈ ∆), dann enthält die Linearkombinationmindestens eine einfache Wurzel δ j /∈ ∆ I mit positiven Koeffizienten. Es folgtfür β ∈ ∆ I , dass s β α = ∑ c i s β (δ i ) = ∑ c i (δ i −2 (δ i,β)β) = ∑ c(β,β) i δ i −2 ∑ (δc i ,β)i β (β,β)nach wie vor δ j mit positiven Koeffizienten enthält, da δ j ≠ β. Es folgt, dasss β α > 0, da alle Koeffizienten das selbe Vorzeichen haben müssen. Demnachgilt ∀ w ∈ W I : wα > 0 (w = s β1 · · · s βr ). Dann können also nur Wurzeln ausΦ + ∩ Φ I durch w zu negativen Wurzeln werden.Wir sehen also, die Wurzeln in Φ + , die durch w ∈ W I zu negativen Wurzelnwerden, sind genau nur die Wurzeln in Φ + I, die durch w zu negativen Wurzelnwerden. Folglich gilt l(w) = l I (w) in W I .Zu (3).Sei w ∈ W .Wähle ein Element u der Nebenklasse wW I = {ww ′ |w ′ ∈ W I } mit minimalerLänge und schreibe w = uv mit passendem v ∈ W I .Für dieses u ∈ wW I gilt also: ∃ w ′ ∈ W I : u = ww ′ . Aus w = uv folgt v = w ′−1 .Es gilt für alle s ∈ I, us ∈ wW I (beachte w ′ s ∈ W I , da s ∈ I und multiplizierew von links). Dank Bemerkung 1.3 (Vortrag Weis) wissen wir, dassl(ws) = l(w) ± 1 für w ∈ W und s ∈ S gilt. Da wir u als Element mitminimaler Länge gewählt haben, folgt l(us) = l(u) + 1 und somit sind dieBedingungen ein Element der Menge W I zu sein erfüllt.Wir wählen reduzierte (kürzeste) Ausdrücke für u und v:u = s 1 · · · s q (s i ∈ S) und v = s ′ 1 · · · s ′ r (s ′ i ∈ I). Dann gilt l(w) ≤ l(u) + l(v) =q + r (∗).Wenn die Ungleichung (∗) echt kleiner wäre, dürften wir durch die Entfernbedingung,zwei der Faktoren s i oder s ′ i streichen, ohne w zu verändern. Doch ausu können keine Faktoren gestrichen werden, da dieser als kürzestes Elementaus wW I (sonst gäbe es ein s ∈ I mit us ∈ wW I kürzer als u) gewählt wurde.Also müssten zwei Faktoren s ′ i, s ′ j gestrichen werden können, jedoch ist v schon

ERZEUGER UND RELATIONEN, PARABOLISCHE UNTERGRUPPEN 134.2. Parabolische Untergruppen. Bevor wir eine interessante Eigenschaftparabolischer Untergruppen von S n betrachten, wollen wir uns die symmetrischeGruppe genauer betrachten.4.2.1. Die Symmetrische Gruppe. Die symmetrische Gruppe, bezeichnet mitS n , ist die Menge aller bijektiven Abbildungen (Permutationen) τ : {1, · · · , n} →{1, · · · , n}. Die Gruppenoperation ist die Komposition von Abbildungen. DieGruppenaxiome sind gegeben durch:Seien dazu τ 1 , τ 2 ∈ S n . Da τ 1 und τ 2 jeweils die n-elementige Menge auf sichselbst abbilden und die Verknüpfung von bijektiven Abbildungen wieder bijektivist, gilt τ 1 ◦ τ 2 ∈ S n . Inverse Elemente und folglich auch ein neutralesElement in Form der Identität sind ebenfalls vorhanden. Die Assoziativität beider Verknüpfung gilt.Eine Transposition (i, j) ist eine Permutation, die gerade die Elemente an derStelle i und j vertauscht.Sei v = (v 1 , . . . , v n ) ein Vektor, dann vertauscht eine Permutation (i, j) dieEinträge v i und v j in v und lässt die restlichen Einträge fix (siehe LA-Skript).Die für uns interessante Eigenschaft von S n ist, dass die Gruppe durch Transpositionender Form (i, i + 1), 1 ≤ i ≤ n − 1 erzeugt werden kann.Proposition 4.2.1. Sei τ ∈ S n eine beliebige Permutation, dann sind folgendeAussagen wahr:(i) ∃ (i, i + 1) ∈ S n , 1 ≤ i ≤ n − 1 : τ = (i 1 , i 1 + 1) ◦ · · · ◦ (i r , i r + 1),(ii) die Transposition (i, i + 1) ist eine Spiegelung bezüglich der Wirkung aufVektoren,(iii) die Menge {e i − e i+1 , e i+1 − e i+2 , . . . , e n−1 − e n } ist linear unabhängig.Beweis. Zu (i). Sei τ ∈ S n beliebig und beschreibe τ wie folgt:( )1 2 · · · nτ =(1 ≤ τ(i) ≤ n, ∀ i ≠ j : τ(i) ≠ τ(j)).τ(1) τ(2) · · · τ(n)Wir bilden nun eine Komposition aus den Transpositionen (i, i + 1), 1 ≤ i ≤n − 1 (siehe LA-Skript Beispiel 4.1.17)(i, i+1)◦· · ·◦(j−2, j−1)◦(j−1, j)◦(j−2, j−1)◦· · ·◦(i+1, i+2)◦(i, i+1) = (i, j)( )1 · · · i · · · j · · · n(i, j) =(1 ≤ i < j ≤ n).1 · · · j · · · i · · · n

ERZEUGER UND RELATIONEN, PARABOLISCHE UNTERGRUPPEN 14Mit dieser Transposition ist es uns möglich beliebige Elemente zu vertauschen.Wir werden nun versuchen τ mit Hilfe von Verknüpfungen der Transposition(i, j) auf die Identität zurückzuführen. Dies geschieht mit einem induktivenVerfahren mit weniger als n Schritten.Sei k ∈ {1, . . . , n}.Sei k = 1. Nun überprüfen wir folgende Gleichung: τ(k) = k.Der erste Fall, die Gleichung gilt nicht: Ergänze τ zu (k, τ(k)) ◦ τ = τ ′ , nunwird das τ(k)’te Element durch τ ′ nicht mehr vertauscht.Dies wiederholen wir mit τ ′ und überprüfen τ ′ (k) = k. Falls die Gleichungwieder nicht gilt, fahren wir fort wie oben und erhalten (k, τ ′ (k)) ◦ τ ′ = τ ′′ , dasτ ′ (k)’te Element wird nicht mehr vertauscht. So fahren wir fort.Wenn jedoch der Fall eintritt, dass die Gleichung τ ∗ (k) = k gilt, dann erhöhenwir k um Eins und setzten wieder bei der Überprüfung ein und ergänzen τ ∗gegebenenfalls (es wäre also als nächstes τ ∗ (k + 1) = k + 1 zu überprüfen).Wenn k = n sind wir fertig. Da die Gleichung höchstens n − 1-mal falsch seinkann, endet das Verfahren.Für die so entstandene Komposition gilt τ ∗ = (i r , j r ) ◦ · · · ◦ (i 1 , j 1 ) ◦ τ = 1(r < n) und daraus folgt das (i 1 , j 1 ) ◦ · · · ◦ (i r , j r ) = τ.Zu (ii). Sei (i, i + 1) ∈ S n , dann folgt (i, i + 1)(e i − e i+1 ) = −(e i − e i+1 ).Der geforderte Vektor ist mit α = e i − e i+1 gegeben und H α besteht aus denVektoren mit gleichen Einträgen bei i und i + 1.Zu (iii). Gegeben sei∑die Menge {e 1 − e 2 , e 2 − e 3 , . . . , e n−1 − e n }. Es ist zuzeigen, dass aus c i (e i − e i+1 ) = 0 folgt, dass alle c j = 0. Dies ist jedochi=1,...,n−1leicht zu sehen, denn der erste Eintrag kommt nur einmal in der Summe vor.Daraus folgt c 1 = 0, dann wiederholt sich der Sachverhalt und wir könnenc j = 0 durch eine Induktion leicht zeigen.□Bemerkung 4.2.2. Bezug nehmend auf die vorherige Proposition, ist dieMenge {e 1 − e 2 , e 2 − e 3 , . . . , e n−1 − e n } ein einfaches System.Proposition 4.2.3. Sei W = S n . Zeige das jede parabolische Untergruppe vonW isomorph zu einem direkten Produkt von symmetrischen Gruppen ist.Beweis. Wir wissen, dass die symmetrische Gruppe durch Transpositionen derForm (i, i + 1) (1 ≤ i ≤ n − 1), erzeugt wird. Diese Transpositionen bildenunsere Menge S der Erzeuger. Bezeichne W := S n . Es gilt |S| = n − 1 =: r.Sei I ⊂ S eine Teilmenge von S. Betrachten wir zunächst den Fall |I| = r − 1,

ERZEUGER UND RELATIONEN, PARABOLISCHE UNTERGRUPPEN 15dann ist I = {(1, 2), . . . , (i, i + 1), (i + 2, i + 3), . . . , (n − 1, n)}. Durch das Vorgehenbei dem Beweis von Proposition 4.2.1 sehen wir, dass wir nun beliebigeTranspositionen (m, n) mit 1 ≤ m < n ≤ i+1 und (k, l) mit i+2 ≤ k < l ≤ n,als Produkt von Elementen aus I bilden können. Mit diesen Transpositionenkönnen also beliebige Elemente von 1 bis i + 1 und dann wieder von i + 2 bisn vertauscht werden, jedoch könnten wir die Transposition (1, n) nicht bilden.Betrachten wir nun die entsprechende Permutationsmatrix (vgl. Skript-LA):( )A 00 BDie Permutationsmatrix bezüglich W I ist eine n × n-Matrix, bestehend auszwei Blockmatrizen. Die so erhaltenen Blockmatrizen sind offensichtlich Permutationsmatrizen.A ist eine (i + 1) × (i + 1)-Matrix und B eine (n − (i +1)) × (n − (i + 1))-Matrix.Entfernen wir ein weiteres Element aus I, wird eine der Blockmatrizen in 2Teile geteilt.So induktiv fortfahrend, erhalten wir im Fall |I| = 0, die 1-Matrix als Permutationsmatrixzu W I (vgl. Bemerkung 3.0.7). Nun beschreiben wir den Isomorphismusϕ : W I → S i1 × S i2 × . . . × S ir (wobei ∑ i = n) wie folgt: ϕ bildetdie jeweiligen Blockmatrizen nacheinander auf eine symmetrische Gruppe S iab.□

ERZEUGER UND RELATIONEN, PARABOLISCHE UNTERGRUPPEN 16Literatur[1] Achim Brunnermeier. Endliche Spiegelungsgruppen. 1998. Zulassungsarbeit zumersten Staatsexman für das Lehramt an Gymnasien im Bereich Mathematik.[2] Michael Artin. Algebra. 1998. ISBN 3-7643-5938-2.[3] J.L. Alperin Rowen B. Bell. Groups and Representations. 1995. ISBN 0-387-94525-3.[4] Jospeh J. Rotman. An Introduction to the Theory of Groups. 1994. ISBN 3-540-94285-8.[5] Gerd Fischer. Lineare Algebra. 2010. ISBN 978-3-8348-0996-4.[6] James E. Humphreys. Reflection Groups and Coxeter Groups. 1990. ISBN 0512-43613-3.