Anpassung einer Funktion an Messwerte - TCI @ Uni-Hannover.de
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<strong>Messwerte</strong> <strong>einer</strong> Größe wur<strong>de</strong>n bestimmt!1800016000140001200010000800060004000200000 10 20 30 40 50 60 70Zeit [min].<strong>Messwerte</strong>t 1m 1t 2t 3m 2m 3t 4m 4....t nm n.<strong>Funktion</strong> zur Beschreibung <strong>de</strong>r <strong>Messwerte</strong>ist gesucht!m i ≈f(t i ,a 0 ,a 1 ,a 2 ……)Bernd Hitzm<strong>an</strong>nt i =unabhäng. Variablea j =Mo<strong>de</strong>llparameter
<strong>Messwerte</strong> <strong>einer</strong> Größe wur<strong>de</strong>n bestimmt!180001600014000120001000080006000400020000MesswerttheoretischerWertAbst<strong>an</strong>d0 10 20 30 40 50 60 70Gütekriterium:Abst<strong>an</strong>d vontheoretischenWerten und<strong>Messwerte</strong>nGroße Abweichung <strong>de</strong>s Mo<strong>de</strong>llsvon <strong>de</strong>n <strong>Messwerte</strong>nBernd Hitzm<strong>an</strong>n
<strong>Messwerte</strong> <strong>einer</strong> Größe wur<strong>de</strong>n bestimmt!180001600014000120001000080006000400020000Bernd Hitzm<strong>an</strong>n0 10 20 30 40 50 60 70Der Abst<strong>an</strong>dzwischen<strong>Messwerte</strong>nundMo<strong>de</strong>llwertensoll natürlichklein sein !Wie gut o<strong>de</strong>r schlecht ist überhauptein Messwert?Mehrfachmessungen
Die ersten hun<strong>de</strong>rt <strong>Messwerte</strong> von insgesamt3000 Mehrfachmessung(=eine Größe 3000 gemessen)9Messwert [<strong>Uni</strong>ts]876543210Anzahl 8Anzahl 7Anzahl 6Anzahl 5Anzahl 4Anzahl 3Anzahl 2Anzahl 1Anzahl 00 20 40 60 80 100Messwert NummerBernd Hitzm<strong>an</strong>nAnzahl <strong>de</strong>r <strong>Messwerte</strong>, die in <strong>de</strong>mIntervall vorkommen (∆m=1 <strong>Uni</strong>t)!
Intervallbreite ∆m=1 unit folgt:900800Anzahl pro IntervallBernd Hitzm<strong>an</strong>n70060050040030020010000 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10Messgröße [<strong>Uni</strong>ts]
Wenn Intervallbreite ∆m=0,1 units folgt:120Anzahl pro Intervall1008060402000 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10Messgröße [<strong>Uni</strong>ts]Bernd Hitzm<strong>an</strong>n
Wenn Intervallbreite ∆m 0 unitsund Anzahl <strong>de</strong>r <strong>Messwerte</strong> ∞ folgteine i<strong>de</strong>ale Verteilung <strong>de</strong>r <strong>Messwerte</strong>!Übertragen auf die Intervallbreitevon ∆m=0,1 units erhält m<strong>an</strong>:Bernd Hitzm<strong>an</strong>n
Reale und i<strong>de</strong>ale Häufigkeitsverteilung fürIntervallbreite ∆m=0,1 units120Bezogen auf Intervallbreite!Häufigkeit [Anzahl]1008060402000 2 4 6 8 10Messgröße [<strong>Uni</strong>ts]Bernd Hitzm<strong>an</strong>n
Wird die erhaltene <strong>Funktion</strong> normiertG(m)G=alle( m−µ)1 −( m)= e22σσ∫<strong>Messwerte</strong>2H ( m)H ( m)dmSo erhält m<strong>an</strong> die Gauß-<strong>Funktion</strong>π2Häufigkeit <strong>de</strong>r<strong>Messwerte</strong>im Intervall dmHäufigkeit aller<strong>Messwerte</strong>Bernd Hitzm<strong>an</strong>n
Bernd Hitzm<strong>an</strong>n
G( m−µ)1 −22σ( m)= eσ2π2µ Mittelwertσ St<strong>an</strong>dardabweichungWahrscheinlichkeitsdichte-Verteilung02σµMessgröße [<strong>Uni</strong>ts]G(m) Wahrscheinlichkeitsdichte-VerteilungG( m i) dm = Wahrscheinlichkeit einenMesswert im IntervalldmBernd Hitzm<strong>an</strong>n m i ± zu erhalten2m+∞∫−∞G( m)dm = 1
µ + σ∫µ −σG( m)dm =0.68292σWahrscheinlichkeitsdichte-Verteilung0µ−σ2σµMessgröße [<strong>Uni</strong>ts]µ+σzu integrieren<strong>de</strong>FlächemNormalverteilung vorausgesetzt:68,29 % <strong>de</strong>r <strong>Messwerte</strong> liegen im Bereich µ±σBernd Hitzm<strong>an</strong>n
N 0 Gesamtzahl <strong>de</strong>r <strong>Messwerte</strong>Wahrscheinlichkeitsdichte-Verteilung02σµMessgröße [<strong>Uni</strong>ts]m+∞∫−∞N ( dm = N0G m)0Da G(m i )dm die Wahrscheinlichkeit ist einenMesswert im Intervall [m i -dm,m i +dm] zu erhaltenund N 0 die Gesamtzahl aller Messungen <strong>an</strong>gibt,ist N 0 G(m i )dm die Anzahl <strong>de</strong>r <strong>Messwerte</strong> imIntervall [m i -dm,m i +dm]Bernd Hitzm<strong>an</strong>n
Mehrfachmessung (Stichprobe)<strong>Messwerte</strong>m 1m 2m 3m 4.Bernd Hitzm<strong>an</strong>n..m NSchätzwerte <strong>einer</strong> Stichprobe:Mittelwert:St<strong>an</strong>dardabweichung:Vari<strong>an</strong>z:ms=N∑i== 1N∑i=1N∑2 i=1var = s =Nm( mN( mNi−m−1−m−1ii))22
Zurück zur eigentlichen Aufgabe:1800016000140001200010000800060004000200000 10 20 30 40 50 60 70Zeit [min].<strong>Messwerte</strong>t 1m 1t 2t 3m 2m 3t 4m 4....t nm n.<strong>Funktion</strong> zur Beschreibung <strong>de</strong>r <strong>Messwerte</strong>ist gesucht!t i =unabhäng. Variablem i ≈f(t i ,a 0 ,a 1 ,a 2 ……) a j =Mo<strong>de</strong>llparameterBernd Hitzm<strong>an</strong>n
Annahme: σ 1 =σ 2 =σ 3 …….=σ 8 =σ18000<strong>Messwerte</strong> [units]1600014000120001000080006000400020000Zeit t0 10 20 30 40 50 60 70Wahrscheinlichkeit, dass das theoretische Mo<strong>de</strong>lldie Messpunkte beschreibt:W=σe2πBernd Hitzm<strong>an</strong>n2( m1− f ( t1))( m2− f ( t2))( m8− f ( t8))1 −−−2222σ2σ2σ1dm*eσ 2π21dm*...*eσ 2π2dm
W=σ( m1− f ( t1))( m2− f ( t2))( m8− f ( t8))1 −−−2222σ2σ2σe2π21dm*eσ 2π21dm*...*eσ 2π2dmW( m − f (81 −2σei=1 σ 2π= ∏i t i2))2dmWahrscheinlichkeit maximalFehlerquadratsumme minimal!Fehlerquadratsumme=8∑i=1( m−f(it i2))Metho<strong>de</strong> <strong>de</strong>r kleinsten FehlerquadrateBernd Hitzm<strong>an</strong>n
Gauß: Metho<strong>de</strong> <strong>de</strong>r kleinstenFehlerquadrate1800016000140001200010000800060004000200000 10 20 30 40 50 60 70+++[m 8 -f(t 8 )]²[m 7 -f(t 7 )]²[m 6 -f(t 6 )]²………………[m 1 -f(t 1 )]²SummeBernd Hitzm<strong>an</strong>n
Gauß: Metho<strong>de</strong> <strong>de</strong>r kleinstenFehlerquadrate8Summe= [m i -f(t i )]²Σi=1+++[m 8 -f(t 8 )]²[m 7 -f(t 7 )]²[m 6 -f(t 6 )]²………………[m 1 -f(t 1 )]²SummeBernd Hitzm<strong>an</strong>n
8Summe= [f(t i )-m i ]²Σi=1Wovon hängt die Summe ab?Zeit [min]t 1m 1t 2t 3m 2m 3t 4m 4...<strong>Messwerte</strong>..t nm n.f(t i )≈f(t i ,a 0 ,a 1 ,a 2 ……)zum Beispiel:f( ti) =a0e−a21 ( ti−a2)Bernd Hitzm<strong>an</strong>n
Summe= [m i -f(t i )]²Σi=1f( ti)Bernd Hitzm<strong>an</strong>n..=aZeit [min]0t 1m 1t 28[ ]2−a( t −a)Summe = m1− a0e[ ]2−a( t −a)+ m2− a0e[ ]2−a( t −a)+ m3− a0e2−a1 ( ti−a2)e[ ]2−a( t −a)+ m4− a0e<strong>Messwerte</strong>[ ]2−a( t −a)+ m5− a0e[ ]2−a( t −a)+ m6− a0e[ ]2−a( t −a)+ m7− a0e.[ ]−a( t −a)+ m − a e2t 3m 2m 3t 4m 4..t nm n.Die Summe ist eine <strong>Funktion</strong>von a 0 , a 1 und a 2 !8011111111123456782222222222222222
Abhängigkeit vom Parameter a 2Fehlersumme [<strong>Uni</strong>ts²]300002500020000150001000050000Minimumgesucht!15 25 35 45 55 65Parameter a 2Bernd Hitzm<strong>an</strong>nFür die <strong>an</strong><strong>de</strong>ren Parameter gibt es eineähnliche Abhängigkeit!
Das Minimum <strong>de</strong>rFehlerquadratsumme ist gesucht!Es k<strong>an</strong>n mit <strong>de</strong>m Newton-Verfahrenberechnet wer<strong>de</strong>n!Wenn f(x M ) Minimum ist, d<strong>an</strong>n ist f‘(x M )=0!Bernd Hitzm<strong>an</strong>n