Anpassung einer Funktion an Messwerte - TCI @ Uni-Hannover.de

Messwerte einer Größe wurden bestimmt!1800016000140001200010000800060004000200000 10 20 30 40 50 60 70Zeit [min].Messwertet 1m 1t 2t 3m 2m 3t 4m 4....t nm n.Funktion zur Beschreibung der Messwerteist gesucht!m i ≈f(t i ,a 0 ,a 1 ,a 2 ……)Bernd Hitzmannt i =unabhäng. Variablea j =Modellparameter

Messwerte einer Größe wurden bestimmt!180001600014000120001000080006000400020000MesswerttheoretischerWertAbstand0 10 20 30 40 50 60 70Gütekriterium:Abstand vontheoretischenWerten undMesswertenGroße Abweichung des Modellsvon den MesswertenBernd Hitzmann

Messwerte einer Größe wurden bestimmt!180001600014000120001000080006000400020000Bernd Hitzmann0 10 20 30 40 50 60 70Der AbstandzwischenMesswertenundModellwertensoll natürlichklein sein !Wie gut oder schlecht ist überhauptein Messwert?Mehrfachmessungen

Die ersten hundert Messwerte von insgesamt3000 Mehrfachmessung(=eine Größe 3000 gemessen)9Messwert [Units]876543210Anzahl 8Anzahl 7Anzahl 6Anzahl 5Anzahl 4Anzahl 3Anzahl 2Anzahl 1Anzahl 00 20 40 60 80 100Messwert NummerBernd HitzmannAnzahl der Messwerte, die in demIntervall vorkommen (∆m=1 Unit)!

Intervallbreite ∆m=1 unit folgt:900800Anzahl pro IntervallBernd Hitzmann70060050040030020010000 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10Messgröße [Units]

Wenn Intervallbreite ∆m=0,1 units folgt:120Anzahl pro Intervall1008060402000 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10Messgröße [Units]Bernd Hitzmann

Wenn Intervallbreite ∆m 0 unitsund Anzahl der Messwerte ∞ folgteine ideale Verteilung der Messwerte!Übertragen auf die Intervallbreitevon ∆m=0,1 units erhält man:Bernd Hitzmann

Reale und ideale Häufigkeitsverteilung fürIntervallbreite ∆m=0,1 units120Bezogen auf Intervallbreite!Häufigkeit [Anzahl]1008060402000 2 4 6 8 10Messgröße [Units]Bernd Hitzmann

Wird die erhaltene Funktion normiertG(m)G=alle( m−µ)1 −( m)= e22σσ∫Messwerte2H ( m)H ( m)dmSo erhält man die Gauß-Funktionπ2Häufigkeit derMesswerteim Intervall dmHäufigkeit allerMesswerteBernd Hitzmann

Bernd Hitzmann

G( m−µ)1 −22σ( m)= eσ2π2µ Mittelwertσ StandardabweichungWahrscheinlichkeitsdichte-Verteilung02σµMessgröße [Units]G(m) Wahrscheinlichkeitsdichte-VerteilungG( m i) dm = Wahrscheinlichkeit einenMesswert im IntervalldmBernd Hitzmann m i ± zu erhalten2m+∞∫−∞G( m)dm = 1

µ + σ∫µ −σG( m)dm =0.68292σWahrscheinlichkeitsdichte-Verteilung0µ−σ2σµMessgröße [Units]µ+σzu integrierendeFlächemNormalverteilung vorausgesetzt:68,29 % der Messwerte liegen im Bereich µ±σBernd Hitzmann

N 0 Gesamtzahl der MesswerteWahrscheinlichkeitsdichte-Verteilung02σµMessgröße [Units]m+∞∫−∞N ( dm = N0G m)0Da G(m i )dm die Wahrscheinlichkeit ist einenMesswert im Intervall [m i -dm,m i +dm] zu erhaltenund N 0 die Gesamtzahl aller Messungen angibt,ist N 0 G(m i )dm die Anzahl der Messwerte imIntervall [m i -dm,m i +dm]Bernd Hitzmann

Mehrfachmessung (Stichprobe)Messwertem 1m 2m 3m 4.Bernd Hitzmann..m NSchätzwerte einer Stichprobe:Mittelwert:Standardabweichung:Varianz:ms=N∑i== 1N∑i=1N∑2 i=1var = s =Nm( mN( mNi−m−1−m−1ii))22

Zurück zur eigentlichen Aufgabe:1800016000140001200010000800060004000200000 10 20 30 40 50 60 70Zeit [min].Messwertet 1m 1t 2t 3m 2m 3t 4m 4....t nm n.Funktion zur Beschreibung der Messwerteist gesucht!t i =unabhäng. Variablem i ≈f(t i ,a 0 ,a 1 ,a 2 ……) a j =ModellparameterBernd Hitzmann

Annahme: σ 1 =σ 2 =σ 3 …….=σ 8 =σ18000Messwerte [units]1600014000120001000080006000400020000Zeit t0 10 20 30 40 50 60 70Wahrscheinlichkeit, dass das theoretische Modelldie Messpunkte beschreibt:W=σe2πBernd Hitzmann2( m1− f ( t1))( m2− f ( t2))( m8− f ( t8))1 −−−2222σ2σ2σ1dm*eσ 2π21dm*...*eσ 2π2dm

W=σ( m1− f ( t1))( m2− f ( t2))( m8− f ( t8))1 −−−2222σ2σ2σe2π21dm*eσ 2π21dm*...*eσ 2π2dmW( m − f (81 −2σei=1 σ 2π= ∏i t i2))2dmWahrscheinlichkeit maximalFehlerquadratsumme minimal!Fehlerquadratsumme=8∑i=1( m−f(it i2))Methode der kleinsten FehlerquadrateBernd Hitzmann

Gauß: Methode der kleinstenFehlerquadrate1800016000140001200010000800060004000200000 10 20 30 40 50 60 70+++[m 8 -f(t 8 )]²[m 7 -f(t 7 )]²[m 6 -f(t 6 )]²………………[m 1 -f(t 1 )]²SummeBernd Hitzmann

Gauß: Methode der kleinstenFehlerquadrate8Summe= [m i -f(t i )]²Σi=1+++[m 8 -f(t 8 )]²[m 7 -f(t 7 )]²[m 6 -f(t 6 )]²………………[m 1 -f(t 1 )]²SummeBernd Hitzmann

8Summe= [f(t i )-m i ]²Σi=1Wovon hängt die Summe ab?Zeit [min]t 1m 1t 2t 3m 2m 3t 4m 4...Messwerte..t nm n.f(t i )≈f(t i ,a 0 ,a 1 ,a 2 ……)zum Beispiel:f( ti) =a0e−a21 ( ti−a2)Bernd Hitzmann

Summe= [m i -f(t i )]²Σi=1f( ti)Bernd Hitzmann..=aZeit [min]0t 1m 1t 28[ ]2−a( t −a)Summe = m1− a0e[ ]2−a( t −a)+ m2− a0e[ ]2−a( t −a)+ m3− a0e2−a1 ( ti−a2)e[ ]2−a( t −a)+ m4− a0eMesswerte[ ]2−a( t −a)+ m5− a0e[ ]2−a( t −a)+ m6− a0e[ ]2−a( t −a)+ m7− a0e.[ ]−a( t −a)+ m − a e2t 3m 2m 3t 4m 4..t nm n.Die Summe ist eine Funktionvon a 0 , a 1 und a 2 !8011111111123456782222222222222222

Abhängigkeit vom Parameter a 2Fehlersumme [Units²]300002500020000150001000050000Minimumgesucht!15 25 35 45 55 65Parameter a 2Bernd HitzmannFür die anderen Parameter gibt es eineähnliche Abhängigkeit!

Das Minimum derFehlerquadratsumme ist gesucht!Es kann mit dem Newton-Verfahrenberechnet werden!Wenn f(x M ) Minimum ist, dann ist f‘(x M )=0!Bernd Hitzmann