Anleitung und Beispiele

Zapfenspiralen-Studenten-klein.doc 1ZapfenspiralenFrage: Sind die vom Auge wahrgenommenen Spiralen als archimedische oder als logarithmische Spiralen zumodellieren?Untersuchung in Dynageo:Durch zwei bewegliche Punkte P 0 und P 1 wird eine logarithmische Spirale gelegt und versucht, dieSchuppenspiralen damit anzunähern.876543P0876543P02121-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 Pol 1 2 3 4 5 6 7P1-1-2-3-4-5-6-7Datei: Spiralen-Zapfen1-Logarithmisch.geo-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 Pol 1 2 3 4 5 6 7P1 -1-2-3-4-5-6-7Datei: Spiralen-Zapfen2-Logarithmisch.geoDie Anzahl der Spiralen im 1.System beträgt 13, im 2.System 8.Jetzt der Versuch, die Spiralen durch archimedische Spiralen zu beschreiben:8765P18765434P13P021P021-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 Pol 1 2 3 4 5 6 7-1-2-3-4-5-6-7Datei: Spirale-Zapfen1-Archimedisch.geo8-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 Pol 1 2 3 4 5 6 7-1-2-3-4-5-6-7Datei: Spirale-Zapfen2-Archimedisch.geo

Zapfenspiralen-Studenten-klein.doc 2Problem:Durch zwei Punkte P 0 und P 1 sollen logarithmische und archimedische Spiralen mit dem Pol O(0/0)gelegt werden, so dass wie üblich die Punkte P 0 und P 1 unmittelbar hintereinander durchlaufenwerden.a) Zunächst soll die Polarachse durch P 0 verlaufen, der Winkel zwischen P 0 und P 1 soll δ sein.( → Abbildung 1).Geben Sie mit Hilfe der in DynaGeo leicht messbaren Größen r = Pol P = d Pol,) ,0 0( P0r = Pol P = d Pol,) und dem Winkel δ = ∠P Pol P = w P ; Pol;) die Gleichungen für die1 1( P10 1(0P1logarithmische und die archimedische Spirale durch P 0 und P 1 an.b) Jetzt soll die Polarachse die positive x-Achse sein. Der Winkel zwischen P 0 und P 1 soll nochimmer δ sein, P 0 liegt jetzt aber nicht mehr auf der Polarachse ( → Abbildung 2).Der Winkel zwischen der positiven x-Achse und der Strecke Pol P0wird mit φ 0 bezeichnet.Dieser Fall tritt ein, wenn man dem Koordinatensystem ein Bild unterlegt, das durchSpiralenmodelliert werden soll. DynaGeo lässt wie fast alle Graphiksysteme nur die x-Achseunmittelbar als Polarachse zu.Geben Sie auch für diesen Fall die Gleichungen für die logarithmische und die archimedischeSpirale durch P 0 und P 1 an.9876598765P143P14321 δP0-2 -1 1 2 3 4 5 6Pol-12P0δ1-3 -2 -1 1 2 3 4 5 6Pol-1ϕ0Abbildung 1 Abbildung 22Damit kann man in DynaGeo versuchen, reale Objekte durch Spiralen zu modellieren. Ein Bild wirddem Koordinatensystem als Hintergrund unterlegt und so verschoben, dass der geschätzte Pol imZentrum des Koordinatensystems liegt. Man konstruiert zwei freie Punkte P 0 und P 1 , misst dieentsprechenden Längen und Winkel zum Pol in O(0/0) und lässt einen weiteren Punkt P die Spiraledurch P 0 und P 1 als Ortslinie erzeugen. Durch Variation der Punkte P 0 und P 1 kann die Spirale derVorlage angepasst werden. Wie gut das jeweilige Modell (logarithmische Spirale, archimedischeSpirale oder andere Spirale) die Realität beschreibt ist hier eine Frage der Einschätzung, es stehtkein quantitatives, berechenbares Kriterium für die Güte der Annäherung zur Verfügung.